Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Подмножество N содержится в своей линейной оболочке hN i,и, следовательно, в силу утверждения 2b, имеет место включениеN ◦ ⊇ hN i◦ . Противоположное включение обосновывается так: еслина векторе x аннулируется любая линейная форма, принадлежащаяподмножеству N, то на этом векторе аннулируется также и произвольная (конечная) линейная комбинация таких форм, т. е. произвольная линейная форма, принадлежащая hN i.4a. Возьмем произвольный вектор x ∈ M. Докажем, что x принадлежит второму аннулятору M ◦◦ .
Для любой формы f ∈ M ◦ (поопределению 32.1) имеем: f (x) = 0, а значит (на этот раз — по определению 32.2), вектор x принадлежит аннулятору аннулятора M ◦ ,что и требовалось.4b. Упражнение. ¤32.3. Аннуляторы линейных подпространств. В предыдущем пункте мы изучали аннуляторы для произвольных подмножествв к.л.п. V и в двойственном пространстве V ∗ . В данном пункте мызаймемся аннуляторами линейных подпространств. Двухстолбцовый стиль оформления будет сохранен.Предложение 32.3.
Пусть V — к.л.п. над полем P , V ∗ — соответствующее двойственное пространство. Для любых линейных подпространств M 6 V ; N 6 V ∗ справедливы следующие утверждения:(1a) dim(M ◦ ) = codim(M );(2a) M ◦◦ = M ;(1b) dim(N ◦ ) = codim(N );(2b) N ◦◦ = N.414Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Доказательство. 1a. Пусть dim(V ) = n и dim(M ) = k. Докажем,чтоdim(M ◦ ) = codim(M ) = n − k.(32.26)Выберем произвольный базисB 0 = [ b1 , ... , bk ](32.27)в подпространстве M и продолжим его (см. п.
5.4) до базисаB = [ b1 , ... , bk ; bk+1 , ... , bn ](32.28)во всем пространстве V, а затем рассмотрим двойственный базисB∗ = [ b∗1 , ... , b∗k ; b∗k+1 , ... , b∗n ](32.29)в пространстве V ∗ . Утверждение (32.26) будет доказано, если мыубедимся, что система векторов (или, точнее, ковекторов)C = [ b∗k+1 , ... , b∗n ](32.30)является базисом в аннуляторе M ◦ .Тот факт, что линейные формы b∗j (j = k + 1, ... , n) принадлежат M ◦ вытекает из соотношений (31.12): при i = 1, ... , k форма b∗jаннулируется на векторах bi и, следовательно, на всех векторах подпространства M = hB0 i.Далее, с.в. (32.30) линейно независима, т.к. является подсистемойв базисе (32.29).
Остается убедиться в том, что она порождает M ◦ .Это усматривается из представления [см. (31.17)]:f=nXαj b∗j ; f ∈ V ∗ ; αj = f (bj ),(32.31)j=1которое для f ∈ M ◦ сокращается до представленияf=nXαj b∗j ,(32.32)j=k+1свидетельствующего о том, что f линейно выражается через C.1b. Наметим основные этапы доказательства. (Восстановлениеподробностей поручается читателям.)§ 32Теория двойственности415В пространстве V ∗ строится базисF = [ f1 , ... , fl ; fl+1 , ... , fn ],(32.33)первые l элементов (т.
е. форм, или ковекторов) в котором составляют базис в подпространстве N.Согласно предложению 32.1, базис F является двойственным длянекоторого базисаB = [ b1 , ... , bl ; bl+1 , ... , bn ](32.34)в пространстве V, т. е. F = B ∗ , или fj = b∗j (j = 1, ..., n).Последние n − l векторов в (32.34) будут составлять базис в аннуляторе N ◦ .2a.
Согласно утверждению (4a) из предложения 32.2, имеет местовключение (в данном случае — подпространств): M 6 M ◦◦ . Убедиться в том, что на самом деле подпространства равны, можно,вычислив, с помощью утверждений (1a) и (1b), размерность второгоаннулятора: если dim(M ) = k, то(1b)(1a)dim(M ◦◦ ) == n − dim(M ◦ ) == n − (n − k) = k = dim(M ).2b.
Упражнение. ¤Вооружившись предложением 32.3 об аннуляторах линейных подпространств, мы вернемся к вопросу об аннуляторах произвольныхподмножеств и выясним, какой смысл имеет (в общем случае) второйаннулятор.Предложение 32.4. Пусть V — к.л.п. над полем P , V ∗ — соответствующее двойственное пространство. Для любых подмножествM ⊆ V ; N ⊆ V ∗ вторые аннуляторы совпадают с линейными оболочками:(a) M ◦◦ = hM i;(b) N ◦◦ = hN i.Доказательство проведем лишь для утверждения (a); проверка (b) производится аналогично.Согласно утверждению (3a) предложения 32.2, аннулятор подмножества совпадает с аннулятором линейной оболочки этого подмножества: M ◦ = hM i◦ , а значит и вторые аннуляторы для подмножества и его линейной оболочки одинаковы: M ◦◦ = hM i◦◦ . Но hM i,416Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4будучи линейным подпространством совпадает со своим вторым аннулятором, что и доказывает формулу (a).
¤Замечание 32.2. Равенства (a) и (b) приводят к тому, что длялюбого подмножества (в V или в V ∗ ) его третий аннулятор совпадает с первым. Для подпространств же имеет место более сильноесвойство: второй аннулятор равен исходному подпространству.32.4.
Соотношения двойственности. Рассмотрим соответствие между подпространствами в к.л.п. V и подпространствами вдвойственном подпространстве V ∗ , заданное сопоставлением произвольному подпространству его аннулятора:◦V > M 7−→ M ◦ 6 V ∗ ;◦V > N ◦ ←−| N 6 V ∗ .(32.35)Это соответствие можно назвать— антиизотонным (за то, что оно обращает знаки включениймежду подпространствами);— инволютивным (под этим понимается его самообратность: повторное взятие аннулятора возвращает нас к исходному подпространству).Перечесленные выше и некоторые другие свойства соответствия ◦мы соберем в следующееПредложение 32.5. Соответствие (32.35) является биективным,антиизотонным, инволютивным и переводит суммы подпространствв пересечения и обратно.
Точнее, для любых M, M1 , M2 6 V иN, N1 , N2 6 V ∗ справедливы следующие утверждения:(1a)(2a)(3a)(4a)(5a)(6a)(M = O) ⇒ (M ◦ = V ∗ );(M = V ) ⇒ (M ◦ = O);(M1 6 M2 ) ⇒ (M1◦ > M2◦ );M ◦◦ = M ;(M1 + M2 )◦ = M1◦ ∩ M2◦ ;(M1 ∩ M2 )◦ = M1◦ + M2◦ ;(1b)(2b)(3b)(4b)(5b)(6b)(N = O) ⇒ (N ◦ = V );(N = V ∗ ) ⇒ (N ◦ = O);(N1 6 N2 ) ⇒ (N1◦ > N2◦ );N ◦◦ = N ;(N1 + N2 )◦ = N1◦ ∩ N2◦ ;(N1 ∩ N2 )◦ = N1◦ + N2◦ .Доказательство. Утверждения (1a) — (2b) совершенно очевидны: на нулевом подпространстве (и только на нем) аннулируютсявсе формы; нулевая форма (и только она) аннулируется везде.Свойства (3a) — (4b) установлены ранее (см.
утверждения (2а) и(2b) предложения 32.2, а таже утверждения предложения 32.2, с теми же номерами). Поясним только, что биективность соответствия ◦вытекает из его обратимости (самообратности).§ 33Двойственный оператор. Теорема Фредгольма417Докажем соотношение (5а). Каждое из подпространств, M1 иM2 , содержится в сумме M1 + M2 .
Значит, в силу (3а), аннулятор(M1 + M2 )◦ содержится в каждом из аннуляторов, M1◦ и M2◦ , и, следовательно, — в их пересечении.Тем самым доказано включение (M1 + M2 )◦ ⊆ M1◦ ∩ M2◦ .Для доказательства противоположного включения возьмем произвольную форму f ∈ M1◦ ∩ M2◦ . Форма f аннулируется как на M1 ,так и на M2 . Значит, она аннулируется на M1 + M2 (в самом деле, всякий элемент x ∈ M1 + M2 представляется в виде x = y + z,где y ∈ M1 и z ∈ M2 ; поэтому f (x) = f (y + z) = f (y) + f (z) = 0).Следовательно, f ∈ (M1 + M2 )◦ .Наметим доказательство (5b). Первое включение получаем, руководствуясь теми же соображениями, что и при доказательстве (5а).Второе включение, (N1 + N2 )◦ ⊇ N1◦ ∩ N2◦ , обосновывается так: есливектор x принадлежит обоим аннуляторам, N1◦ и N2◦ , то на нем аннулируются любая форма f ∈ N1 и любая форма g ∈ N2 , а значит, —и любая форма h = f + g ∈ N1 + N2 , т.
е. x принадлежит аннуляторусуммы.Переходим к доказательству утверждения (6a). Представим данные подпространства M1 , M2 6 V как аннуляторы, M1 = N1◦ иM2 = N2◦ , некоторых подпространств N1 , N2 6 V ∗ и воспользуемся ранее доказанными утверждениями:(5b)(4b)(M1 ∩ M2 )◦ = (N1◦ ∩ N2◦ )◦ == (N1 + N2 )◦◦ == N1 + N2 = M1◦ + M2◦ .Доказательство (6b) совершенно аналогично. ¤§ 33.
Двойственный линейный оператор.Теорема Фредгольма33.1. Понятие двойственного линейного оператора. Мыуже не раз подчеркивали характерную особенность математическихтеорий: наряду с объектами подлежат изучению их морфизмы. Теория двойственности не является исключением. Объектами в линейной алгебре служат конечномерные линейные пространства. Каждому из к.л.п. мы сопоставили двойственное к.л.п. Морфизмы линейных пространств — это линейные отображения (или, как они ещеназываются: линейные гомоморфизмы, линейные операторы). Ниже каждому линейному оператору будет сопоставлен двойственный418Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4линейный оператор, будут изучены свойства двойственных операторов, исследованы связи между различными алгебраическими характеристиками для исходного оператора и для двойственного к нему.Пусть V и W — два линейных пространства (над одним и тем жеполем P ).
Рассмотрим некоторый линейный операторϕ : V −→ W.(33.1)Для любой линейной формыg : W −→ P(33.2)можно, взяв ее композицию с оператором ϕ, получить линейнуюформуf = g ◦ ϕ : V −→ P.(33.3)Следующая диаграмма иллюстрирует описаннное выше построение формы f ∈ V ∗ по форме g ∈ W ∗ .Диагр. 33.1P%fgϕV −−−−→ WТак возникает отображение двойственных пространств:ϕ∗ : W ∗ −→ V ∗ ; g 7→ g ◦ ϕ; g ∈ W ∗ .(33.4)Легко убедиться в том, что (33.4) является линейным оператором. В самом деле, для любых форм g1 , g2 ∈ W ∗ и любых скаляровλ1 , λ2 ∈ P получается (с использованием законов (i) — (xiii) алгебрылинейных операторов; см. предложение 12.1):ϕ∗ (λ1 g1 + λ2 g2 ) == (λ1 g1 + λ2 g2 ) ◦ ϕ = λ1 (g1 ◦ ϕ) + λ2 (g2 ◦ ϕ) == λ1 ϕ∗ (g1 ) + λ2 ϕ∗ (g2 ).§ 33Двойственный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
