Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Как мы убедимся в следующем пункте, при переходе к новому базису B0 новый изоморфизм ιB0будет, вообще говоря, иным.Напомним вам в связи с этим замечание 6.1 о "случайных" и канонических изоморфизмах. Изоморфизмы типа (31.15) не являютсяканоническими, поскольку зависят от случайного выбора базиса.Рассмотрим теперь произвольную линейную форму (31.4) и соответствующую ей в базисе (31.1) матрицу-строку (31.5). Убедимся втом, что элементы (31.6) этой строки совпадают с соответствующими координатами данной формы относительно двойственного базиса (31.13).
Последнее утверждение требует некоторого уточнения.Дело в том, что, согласно нашим договоренностям, координаты векторов записываются в столбец. Так вот, координатный столбец для402Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4формы f ∈ V ∗ в базисе B∗ будет равен a, где at есть ее матрицастрока. Или, другими словами, будет справедлива формула:f=nXαj b∗j ,(31.17)j=1которую очень легко проверить, вычисляя значения левой и правойчастей на произвольном векторе x ∈ V и пользуясь формулами (31.6)и (31.14):(31.7)f (x) ===nX(31.14)αj xj ===j=1nXαj b∗j (x)j=1=(nXαj b∗j )(x).j=1Пришла пора подвести первые итоги иучения двойственного пространства.Предложение 31.1.
Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем P. Двойственное пространство V ∗ = L(V, P ) такжеимеет размерность n и, следовательно, изоморфно V.Всякому базису (31.1) в пространстве V однозначно соответствуетдвойственный базис (31.13) в V ∗ ; эти базисы связаны соотношениями (31.12).Любая линейная форма f ∈ V ∗ может быть представлена своимразложением (31.17) по базису (31.13); коэффициенты этого разложения определяются формулами (31.6).Доказательство см. выше. ¤Пример 31.4. Рассмотрим арифметическое линейное пространство P n , составленное, как мы хорошо помним (с первой лекциипервого семестра), из векторов-столбцов видаx1x x = 2 ; xi ∈ P (i = 1, ...
, n)...xnи наделенное естественным базисомE = [ e1 , e2 , ... , en ].§ 31Линейные формы. Двойственное пространство403∗Что из себя представляет двойственное пространство P n ? (Звездочку мы поместили над обозначением пространства, чтобы она немешала верхнему индексу.)Всякая линейная форма f : P n → P задается (в базисе E) формулой [см. (31.7)]nXtf (x) = a · x =αi xi ,i=1т. е.
однозначно определяется вектором-строкойat = (α1 α2 ... αn ).Следовательно, именно из таких строк можно считать составлен∗ным двойственное пространство P n . (Этим, кстати, объясняетсяи наше обозначение для арифметического линейного пространствавекторов-строк, введенное еще в самом начале курса; см. формулу (2.3) в [A1 ], а также формулу (1.3) в настоящем пособии.)Итак, двойственным к арифметическому линейному пространствувекторов-столбцов является арифметическое линейное пространствовекторов-строк (такой же размерности). Базисом, двойственным кестественному базису E, является, очевидно, аналогичный (тоже —естественный) базисE ∗ = [ e1 t , e2 t , ...
, en t ],составленный из единичных векторов-строк.31.4. Влияние замены базиса на линейные формы. Пусть,помимо базиса (31.1), в пространстве V задан еще один базис:B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ](31.10 )и матрицей перехода от старого базиса к новому служит матрица T.Для каждого из этих базисов однозначно определен двойственный базис: B∗ и (B0 )∗ соответственно. Выясним, какова матрицаперехода от старого двойственного базиса к новому двойственному.Предварительно мы выпишем формулы пересчета для матрицстрок, соответствующих произвольной линейной форме в базисах Bи B0 . (Любопытно, что раньше мы действовали в противоположномпорядке: сначала определялась матрица перехода, а затем производился пересчет координат.)404Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Предложение 31.2. Матрицы-строки at и (a0 )t , отвечающие линейной форме f ∈ V ∗ в базисах B и B0 , связаны соотношениями:at = (a0 )t · T −1 ; (a0 )t = at · T.(31.18)Доказательство. Второе из соотношений (31.18) немедленно следует из общей формулы A0 = Q−1 AT для пересчета матрицы линейного отображения [см. (13.2а)]. В данном случае рассматриваютсялинейные отображения из пространства V в поле (одномерное пространство) P , базис в котором остается неизменным (естественным);так что Q = E1 = (1). Первое соотношение получается из второгодомножением обеих частей справа на T −1 .
¤Транспонируя соотношения (31.18), мы получаем правила пересчета для координатных столбцов, которые, как мы знаем из предложения 31.2, отвечают форме f в двойственных базисах B ∗ и (B0 )∗ :a = (T −1 )t · a0 ; a0 = T t · a.(31.19)Обозначив буквой R искомую матрицу перехода от B ∗ к (B0 )∗ , мы(по предложению 7.3) будем иметь аналогичные формулы:a = R · a0 ; a0 = R−1 · a.(31.20)Как формулы (31.19), так и формулы (31.20) должны выполняться для любой формы f ∈ V ∗ , или, что равносильно, для любогокоординатного столбца a0 ∈ P n (изображающего f в базисе (B0 )∗ ).Рассуждая точно так же, как при доказательстве теоремы 13.1,мы можем заключить, что матрицы R и (T −1 )t равны.Значит, справедливо следующееПредложение 31.3. Если в к.л.п.
V матрицей перехода от базиса B к базису B0 служит матрица T , то в двойственном пространстве V ∗ матрицей перехода от базиса B ∗ к базису (B 0 )∗ служит матрица (T −1 )t . ¤А теперь мы выполним обещание, данное в замечании 31.4, —докажем "неканоничность" изоморфизмов (31.15).Замечание 31.5.∗ Рассмотрим два базиса, B и B0 , в пространстве V , а также матрицы T и S = T −1 , отвечающие переходам отпервого базиса ко второму и обратно. Нам понадобится одна из§ 31Линейные формы.
Двойственное пространство405формул пересчета координатных столбцов (7.12): x = T x0 , или, вподробной записи:nXxi =tij x0j .(31.21)j=1Рассмотрим двойственные базисы B∗ и (B 0 )∗ в пространстве V ∗ .Согласно предложению 31.3, матрицей перехода от первого из них ковторому будет служить матрица R = (T −1 )t = S t , элементы котороймогут быть выражены соотношениямиrij = sji ; i, j = 1, ... , n.(31.22)По определению матрицы перехода (см. п.
7.1), эти элементы будут фигурировать в разложениях(b0j )∗=nX(31.22)rij b∗i ===i=1nXsji b∗i .(31.23)i=1Рассмотрим теперь изоморфизм (31.15), действующий по формуле (31.16), и аналогичный изоморфизмιB0 : V −→ V ∗ ,(31.150 )nnXX0 0ιB0 (x) = ιB0 (x j bj ) =x0j (b0j )∗ .(31.160 )заданный формулойj=1j=1(Лишний раз подчеркнем, что в формулах (31.16) и (31.160 ) участвует один и тот же вектор x ∈ V , но используются его разложенияпо двум различным базисам.)Изоморфизмы (31.15) и (31.150 ) равны тогда и только тогда, когдаони принимают одинаковые значения на произвольном x, т. е. когдадля любого x ∈ V выполняется равенствоnXi=1xi b∗i=nXx0j (b0j )∗ .(31.24)j=1В левую часть (31.24) подставим выражения для xi из (31.21), а вправую — выражения для (b0j )∗ из (31.23).
Произведя стандартные406Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4манипуляции с двойными суммами (в частности, изменив порядоксуммирования в правой части), мы придем к равенствуnXi=1nXtij x0j b∗i =j=1nXnXsji x0j b∗i ,i=1(31.25)j=1которое (в силу того факта, что B∗ есть базис) равносильно системесоотношенийnnXX0tij xj =(31.26)sji x0j ; i = 1, ... , n.j=1j=1Представим (31.26) в векторном виде:T · x0 = S t · x0 .(31.27)Равенство (31.27) должно выполняться тождественно по x0 ∈ P n(поскольку если x пробегает всё V , то соответствующий координатный столбец пробегает всё P n ).
Значит, должны совпадать матрицы T и S t = (T −1 )t , или, что равносильно, для матрицы T должнысовпадать обратная и транспонированная матрицы:T −1 = T t .(31.28)Условие (31.28) выполняется далеко не всегда. (Сами придумайте простой (2 × 2)-контрпример.) Однако случай, когда оно все-такивыполняется, весьма интересен. Забегая вперед (см. п. 40.2), мыукажем название для обратимых квадратных матриц, удовлетворяющих (31.28), — ортогональные матрицы. Матрицы такого типа (исоответствующие операторы) будут играть исключительно важнуюроль в линейной геометрии (точнее, в той ее главе, которую принятоименовать евклидовой геометрией).§ 32.
Теория двойственности32.1. Второе двойственное пространство. Каноническийизоморфизм к.л.п. на его второе двойственное. Конструкциядвойственного пространства (как и многие другие математические§ 32Теория двойственности407конструкции) может быть итерирована. Второе двойственное пространство определяется как пространство, двойственное к (первому)двойственному пространству:V ∗∗ = (V ∗ )∗ ;(32.1)можно определить третье, четвертое и т. д. двойственные пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
