Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Воспользуемся свойством (30.2):(Eλ − A)∨ · (Eλ − A) = det(Eλ − A) · E = h(λ)E = H(λ).(30.36)Из (30.36) следует, что двучлен Eλ−A является правым (а можнозаметить, что и левым) делителем матричного многочлена (30.35m).По теореме Безу, правое значение этого многочлена на матрице Aдолжно равняться нулю. Но многочлен (30.35m) произошел от скалярного многочлена (30.35) и его значение (все равно: правое илилевое) на матрице A совпадает со значением на A скалярного многочлена (30.35).Тем самым доказано равенство hA (A) = O, составляющее содержание теоремы Гамильтона — Кэли.Замечание 30.4. Maple оперативно реагирует на вновь возникающие потребности вычислительной алгебры.
Так, в последних версиях системы появился новый пакет MatrixPolynomialAlgebra, которыйумеет выполнять с матричными многочленами все, что описано (илиупомянуто) выше (например, вычислять НОлД’ы и НОпД’ы.)30.4. Подобие квадратных матриц (над полем) и эквивалентность их характеристических матриц (над кольцоммногочленов). В предыдущем пункте на арене матричной полиномиальной алгебры уже появились линейные матричные двучленывида Eλ − A. Каждый такой двучлен связан с некоторой квадратной матрицей A ∈ L(n, P ), и, как мы покажем в данном пункте, этасвязь весьма интересна с точки зрения спектральной теории.Следующая теорема служит своего рода "мостом" между алгеброй квадратных матриц над полем, в которой наибольший интереспредставляет выявление критериев подобия, и алгеброй полиномиальных квадратных матриц, где основным рабочим инструментомслужат эквивалентные преобразования матриц, т.
е. элементарныепреобразования над их строками и столбцами.378Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Теорема 30.4. Квадратные матрицы A, B ∈ L(n, P ) подобны тогда и только тогда, когда их характеристические матрицы Eλ − A иEλ − B эквивалентны.Доказательство. 1. В одну сторону утверждение теоремы совер◦ ◦ B, т. е.шенно очевидно: если A ∼B = T −1 AT(30.37)для некоторой обратимой матрицы T, то, как мы уже знаем из предложения 17.1, их характеристические матрицы также будут подобны:Eλ − B = T −1 (Eλ − A)T.(30.38)Формуле (30.37) можно придать видEλ − B = U (λ)(Eλ − A)V (λ),(30.39)с постоянными (в данном случае) обратимыми (n × n)-матрицамиU (λ) = T −1 и V (λ) = T.2.
Доказательство обратного утверждения гораздо менее тривиально. Пусть выполнено (30.39) с некоторыми (обратимыми надкольцом многочленов) матрицами U (λ) и V (λ). Докажем [с явнымуказанием обратимой матрицы T ∈ GL(n, P )], что матрицы A и Bсвязаны соотношением типа (30.37).С этой целью перепишем соотношение (30.39) в видеW (λ)(Eλ − B) = (Eλ − A)V (λ),(30.40)где W (λ) = (U (λ))−1 также [в силу постоянства det(U (λ))] являетсяполиномиальной матрицей.Затем поделим с остатком (как матричные многочлены)— W (λ) слева на Eλ − A:W (λ) = (Eλ − A)W1 (λ) + M0 ;(30.41)— V (λ) справа на Eλ − B:V (λ) = V1 (λ)(Eλ − B) + N0 ,(30.42)где, согласно матричной теореме Безу,←M0 = W (A)(30.43)§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 379является левым значением матричного многочлена W (λ) на матрице A, а→N0 = V (B)(30.44)— правым значением V (λ) на B.Подставляя выражения (30.41) и (30.42) в равенство (30.40) и перераспределяя члены по разным стронам этого равенства, мы придем к соотношению(Eλ − A)(W1 (λ) − V1 (λ))(Eλ − B) == −M0 (Eλ − A) + (Eλ − A)N0 .
(30.45)В правой части (30.45) стоит матричный многочлен степени, непревышающей единицы; в левой — произведение трех матричныхмногочленов, два из которых (крайние) являются регулярными линейными двучленами. Если бы средний сомножитель в левой частибыл отличен от нуля, то вся левая часть имела бы степень не нижедвух, и равенство было бы невозможным.Выходит, чтоW1 (λ) = V1 (λ),(30.47)и равенство (30.45) сводится кM0 (Eλ − A) = (Eλ − A)N0 .(30.48)Раскрывая скобки в (30.48) и приравнивая члены при первой инулевой степенях λ, мы получим соотношения:M0 = N0 ;(30.49)M0 B = AN0 .(30.50)Будь нам известно, что матрица M0 обратима, мы немедленнополучили бы из (30.49) и (30.50) соотношение подобия (30.37), с сопрягающей матрицей→T = M0 = N0 = V (B).(30.51)Значит, нам следует заняться доказательством обратимости M0 .В силу определения W (λ), имеет место равенствоE = W (λ)U (λ).(30.52)380Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Снова применяя матричную теорему Безу, поделим U (λ) слевана Eλ − B:U (λ) = (Eλ − B)U1 (λ) + K0 ,(30.53)где←K0 = U (B).(30.54)Подставляя выражения (30.41) и (30.53) в (30.52), раскрывая скобки и пользуясь равенствами (30.48), (30.49), (30.42) и (30.47) [именнов таком порядке], мы получим следующую цепочку преобразований:¡¢ ¡¢E = (Eλ − A)W1 (λ) + M0 · (Eλ − B)U1 (λ) + K0 == (Eλ − A)W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ) ++ (Eλ − A)W1 (λ)K0 + M0 (Eλ − B)U1 (λ) + M0 K0 == M0 K0 + (Eλ − A)W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ)++ (Eλ − A)W1 (λ)K0 + (Eλ − A)M0 U1 (λ) == M0 K0 + (Eλ − A)F (λ),(30.55)гдеF (λ) = W1 (λ)(Eλ − B)U1 (λ) + W1 (λ)K0 + M0 U1 (λ) =¡¢= W1 (λ)(Eλ − B) + M0 U1 (λ) + W1 (λ)K0 == W (λ)U1 (λ) + W1 (λ)K0 . (30.56)Замечаем, что равенство (30.55) было бы невозможным в случае ненулевого матричного многочлена (30.56), ибо тогда его праваячасть имела бы степень не ниже первой, в то время как левая —имеет нулевую степень.Значит, F (λ) = O и (30.55) сводится кE = M 0 K0 .(30.57)Обратимость матрицы M0 доказана.Окончательный вывод: эквивалентность (30.39) характеристических матриц для матриц A и B влечет подобие (30.37) для самихэтих матриц; в качестве сопрягающей матрицы T можно выбратьправое значение (30.51).
¤§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 38130.5. Инвариантные многочлены и элементарные делители для квадратных матриц над полем. Критерий подобия. Как следует из теоремы 30.4, задача о подобии квадратныхматриц над полем сводится к задаче об эквивалентности соответствующих характеристических матриц над кольцом многочленов,которая, в свою очередь, в силу теоремы 30.2, сводится к сравнению либо инвариантных многочленов, либо элементарных делителей для характеристических матриц. В связи с этим нам предстоитприменить материал п. 30.2 в специальном случае, когда полиномиальные матрицы имеют вид нормализованных линейных двучленов C(λ) = Eλ − A.Прежде всего отметим, что характеристическая матрица всегданевырожденна, т.
е. rank(C(λ)) = n (над кольцом многочленов P [λ]).В самом деле, старший НОДМ для C(λ) есть не что иное, как характеристический многочлен для A:d(C)n (λ) = hA (λ).(30.58)(Имеется лишь один минор n-го порядка, совпадающий с определителем матрицы C(λ). Определитель этот имеет степень n по λи, разумеется, отличен от нуля. Напомним, что в случае матрицнад кольцом невырожденность отнюдь не влечет обратимость. Дляобратимости матрицы нужно, чтобы ее определитель являлся ненулевой константой.)Далее, условимся о сопоставлении (постоянной) матрице A полиномиальных характеристик (таких как и.м.
и э.д.), вычисляемыхпо соответствующей характеристической матрице. Другим словами,мы будем говорить об инвариантных многочленах (элементарных делителях) для A, понимая под этим и.м. (э.д.) для C = C(λ). Например, "список и.м. µ(A)" надо понимать (и вычислять) как "списоки.м. µ(C)".Перемножив все n и.м. для A, с учетом формул (30.17), получим:(A)(A)(A)µ(A)1 (λ) · µ2 (λ) · ... · µn−1 (λ) · µn (λ) =(A)= d1d(A)d(A)d(A)n−1 (λ)n (λ)2 (λ)(λ) · (A)· ... · (A)· (A)=d1 (λ)dn−2 (λ) dn−1 (λ)= dn(A) (λ) = hA (λ),(30.59)т. е. произведение всех и.м.
равно характеристическому многочлену.382Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3То же самое можно сказать и об элементарных делителях (являющихся примарными множителями в разложениях инвариантныхмногочленов): произведение их всех также равно hA (λ).С помощью несложного вычисления (см. любой из указанных вначале параграфа учебников) проясняется смысл старшего инвариантного многочлена.
Он совпадает с минимальным аннулирующиммногочленом (см. п. 29.2):µ(A)n (λ) = gA (λ).(30.60)(Это дает удобный способ вычисления м.а.м.: следует привестик канонической форме Смита характеристическую матрицу и взятьпоследний из диагональных элементов.)Из теоремы 30.2, с учетом теоремы 30.4, получается следующийкритерий подобия квадратных матриц.Теорема 30.5. Две квадратных матрицы A, B ∈ L(n, P ) подобны тогда и только тогда, когда совпадают списки их инвариантныхмногочленов (элементарных делителей):◦ ◦ B ] ⇔ [ µ(A) = µ(B) ] ⇔ [ δ(A) = δ(B) ]. ¤[A∼(30.61)[Ранее был получен и представлен в предложении 27.4 другой критерий подобия матриц (в терминах итерированных дефектов).]30.6. Второй способ приведения квадратной матрицы кж.н.ф. Предположим теперь, что характеристический многочленhA (λ) разлагается на линейные множители.
Тогда тем же свойствомбудут обладать все и.м. [поскольку они делят hA (λ)].Элементарные делители в этом случае будут имет вид (λ−λi )k , гдеλi (i = 1, ..., s) являются характеристическими корнями для матрицы A. Сумма всех показателей k (по всем э.д.) обязана равняться n.Для фиксированного корня λi при переходе от какого-либо и.м.
кследующему значение показателя неубывает.Сконструируем блочно-диагональную (n × n)-матрицу J (с диагональными блоками — жордановыми ящиками) по следующему принципу:— каждому э.д. (λ − λi )k соответствуeт ж.я. Jk (λi ) ;— ящики, отвечающие одному и тому же характеристическомукорню, группируются (в порядке невозрастания размеров) в большиеблоки Ai .§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 383Для обоснования того факта, что матрица J служит ж.н.ф.
дляA, досточно найти э.д. для J и убедиться в том, что они такие же,как у данной матрицы.Делается это в два этапа.1. Сначала доказывается вспомогательный результат: список э.д.для блочно-диагональной матрицы может быть получен объединением соответствующих списков для диагональных блоков.2. Затем, рассмотрев НОДМ’ы для характеристической матрицыEλ − H = λ − λi−1λ − λi−1......λ − λi−1λ − λi,(30.62)отвечающей одному жорданову ящику H = Jk (λi ) , мы обнаруживаем, что все они равны единице, кроме последнего, равного (λ−λi )k .(Дело в том, что для любого порядка, меньшего k, можно указатьминор, по модулю равный единице.)Следовательно, все и.м. для H также равны единице, кроме старkkшего: µ(H)n (λ) = (λ − λi ) . А значит, (λ − λi ) будет единственнымэ.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
