Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 61
Текст из файла (страница 61)
J матрицы A каждому собственному значению λi отвечает лишь один ж.я.В частности, если A имеет простой спектр (т. е. n попарно различных собственных значений), то равенство (29.33) справедливо.В заключение пункта разберем два простых примера вычисленияминимальных аннулирующих многочленов (которые будут служитьпродолжениями для ранее рассмотренных примеров на приведениематриц к ж.н.ф.).Пример 29.3. Снова обратимся к матрице A из демонстрационного примера к ТР2 (см.
п. 28.3). Характеристическими корнямидля этой матрицы, как мы уже знаем, являются λ1 = 1 (кратностиm1 = 1) и λ2 = −2 (кратности m2 = 7). Найдены уже и показателистабилизации: l1 = 1 и l2 = 4.Этого достаточно для представления характеристического и минимального аннулирующего многочленов (в виде разложений на линейные множители):hA (λ) = (λ − 1)(λ + 2)7 ;gA (λ) = (λ − 1)(λ + 2)4 .§ 29Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены357Пример 29.4. Рассмотрим теперь матрицу A из п.
2 прил. 1, накоторой мы опробовали процедуру-сценарий jord. Характеристический многочлен для нее найден:hA (λ) = (λ − 2)5 (λ + 1)6 .Вычислены и показатели стабилизации: l1 = 4; l2 = 3. Следовательно,gA (λ) = (λ − 2)4 (λ + 1)3 .Добавим, что в пакете LinearAlgebra системы Maple предусмотрена специальная команда для вычисления м.а.м.:> MinimalPolinomial( A, lambda );29.4.∗ Функции от матриц. В пункте 29.1 мы определили значения многочленов от квадратных матриц (а также — от л.э.). Введенное в п. 29.2 понятие минимального аннулирующего многочленапозволяет (в случае, если м.а.м.
gA (λ) известен) существенно упростить вычисление значения f (A) для многочлена f ∈ P [λ].В самом деле, можно произвести делениеf (λ) = gA (λ)q(λ) + fe(λ),(29.34)где остаток fe(λ) — либо нулевой, либо имеет степень, меньшую l[см. (29.32)], и тогда, в соответствии с матричной версией свойств(29.6a) и (29.6b), окажется, чтоf (A) = (gA q + fe)(A) = gA (A) · q(A) + fe(A) = O · q(A) + fe(A) = fe(A),т. е.f (A) = fe(A).(29.35)Таким образом, дело сводится к вычислению значения на A многочлена, степень которого меньше, чем сумма всех показателей стабилизации (для A).Если в качестве поля P фигурирует числовое поле R или C, то кматрицам могут буть применены не только полиномиальные функции, но и многие другие, лишь бы они удовлетворяли некоторымпростым аналитическим условиям.А именно, чтобы быть применимой к матрице A, функция f (λ)должна быть определена, непрерывна и иметь производные до порядка li − 1 в каждой точке спектра λi ∈ σ(A).358Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3По такой функции однозначно определяется многочлен p(λ) (называемый интерполяционным полиномом Эрмита), степени, не превышающей l − 1, такой, что в каждой точке λi совпадают значенияэтого многочлена и данной функции, а также — значения всех их(соответствующих) производных, вплоть до порядка li − 1:p(k) (λi ) = f (k) (λi ); k = 0, 1, ...
, li − 1; i = 1, ... , s.(29.36)К сожалению, объяснить способ отыскания полинома Эрмита вобщем случае (для произвольной функции f (λ) описанного класса,по произвольным попарно различным точкам λi и произвольным натуральным показателям li ) здесь было бы затруднительным (ввидутого, что наши читатели-первокурсники пока не обладают соответствующей аналитической подготовкой).В то же время, в частном случае простого спектра, когда имеется n попарно различных точек и все показатели li = 1, соответствующий многочлен выписать очень легко. В этой ситуации он именуется интерполяционным полиномом Лагранжа, имеет степень невыше n−1 и совпадает с данной функцией в точках λi . (Вообще: интерполяция — это замена какой-либо функции на некоторую болеепростую функцию, связанную с данной некоторыми соотношениямив некоторых точках.)Чтобы не "затемнять суть дела многоточиями", мы покажем многочлен Лагранжа для n = 4:(λ−λ2 )(λ−λ3 )(λ−λ4 )(λ−λ1 )(λ−λ3 )(λ−λ4 )p(λ)=f (λ1 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +f (λ2 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +121314212324(λ−λ1 )(λ−λ2 )(λ−λ4 )(λ−λ1 )(λ−λ2 )(λ−λ3 )+f (λ3 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) +f (λ4 ) (λ −λ )(λ −λ )(λ −λ ) .313234414244После интерполирования данной функции f (λ) полиномом Эрмита p(λ) реализуется основная идея: по определению полагается, чтоf (A) = p(A),(29.37)т.
е. фактически вычисление функции от матрицы A заменяется вычислением подходящего многочлена от A. (Обратите внимание нато, что этот многочлен зависит не только от данной функции, но иот данной матрицы.)Замечание 29.7. Возможен и другой (тоже аналитический) подход к введению функций от матрицы. Он использует понятие сходящегося степенного ряда и поэтому также не может быть строго§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 359изложен в учебнике для первокурсников.
Но идея его совсем проста. Продемонстрируем ее на примере матричной экспоненты.Обычная (числовая) экспонента (показательная функция) можетбыть задана как сумма (сходящегося для всех значений аргумента)степенного ряда∞X xk1 21 ke = 1 + x + x + ... + x + ... =.2!k!k!xk=0(Подробности см. в учебниках по математическому анализу; мыприводили этот ряд — без какого-либо обоснования — в [A1 , п. 34.3].)Матричная экспонента определяется как сумма матричного степенного ряда∞X Ak1 21 ke = E + A + A + ... + A + ... =,2!k!k!A(29.38)k=0про который доказывается, что он также сходится для любой матрицы A.Детальнее познакомиться с двумя упомянутыми (и другими) методами построения теории функций от матриц можно по более подробным учебникам (см., например, [7, 11, 16, 17]).∗§ 30.
Каноническая форма Смитадля полиномиальной матрицыи ее применения30.1. Матрицы над кольцом многочленов и алгебраические действия над ними. Бо́льшая часть материала данного параграфа сохраняет свою силу над любым евклидовым кольцом (чтобы вспомнить, что это такое, обратитесь к п. 38.8 пособия [A1 ]). Однако здесь мы не сможем рассматривать линейную алгебру в стольобщей и абстрактной ситуации. Это — задача более "продвинутых"(специальных) курсов.В классе евклидовых колец простейшим является кольцо целыхчисел Z, причем линейная алгебра над Z (или, как еще говорят, целочисленная линейная алгебра) является интересной и богатой приложениями наукой.
В некоторых учебниках и монографиях, с тем360Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3чтобы охватить два важнейших примера евклидовых колец (кольцоцелых чисел и кольцо многочленов над полем), изложение для этихколец ведется параллельно.В нашем обзоре такой подход также вряд ли приемлем. Стремяськ лаконичности и информативности, мы ограничимся рассмотрением матричной алгебры над кольцом P [λ] многочленов (с коэффициентами из поля P ). Но читатель должен иметь в виду, что излагаемая теория является важнейшим, но все-таки лишь частнымразделом более разветвленной и многообразной науки — линейнойалгебры над коммутативными кольцами.Полные доказательства приводимых фактов можно будет прочитать в уже упоминавшихся курсах [11, 16, 17].Будем рассматривать прямоугольные матрицы видаa11 (λ) a12 (λ) a (λ) a22 (λ)A(λ) = 21......am1 (λ) am2 (λ)... a1n (λ)... a2n (λ) ,.........
amn (λ)(30.1)где aij (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n) — многочлены над полем P (отпеременной λ).Над такими матрицами (при обычных предположениях об их размерах) выполнимы обычные алгебраические действия: сложение,умножение на скаляр (многочлен), умножение, транспонирование; ссохранением всех законов матричной алгебры (i) — (xvii); см. п. 2.3в пособии [A1 ].Для квадратных матриц обычным образом (см. п. 23.1 в [A1 ])вводится понятие определителя, причем остаются справедливымипочти все основные свойства определителей: полилинейность, антисимметричность, теорема Лапласа, теорема об определителе блочнотреугольной матрицы, мультипликативное свойство и др.
(Фактически мы уже неоднократно пользовались "полиномиальными обобщениями" свойств определителя; см., например, пп. 17.1 и 22.1 настоящего пособия.)"Кольцевая" (в отличие от "полевой") специфика полиномиальной алгебры начинает проявляться при изучении вопроса об обратимости квадратной матрицы с полиномиальными элементами.Для обратимости (n×n)-матрицы A(λ) отнюдь не достаточно того,чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Матрица A(λ) обратима тогда и только тогда, когда ее определитель det(A(λ)) является§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 361обратимым элементом в кольце P [λ], т. е. является ненулевой константой.Обычным образом определяется присоединенная матрица A∨ (λ)(как транспонированная к матрице из алгебраических дополненийк элементам данной матрицы). Сохраняет силу основное свойствоприсоединенной матрицы (см. п. 28.3 в [A1 ]):A(λ) · A∨ (λ) = A∨ (λ) · A(λ) = det(A(λ)) · E,(30.2)а также вытекающий из него способ вычисления обратной матрицы(в предположении, что она существует):A−1 (λ) =1A∨ (λ); det(A(λ)) = a ∈ P \ {0}.det(A(λ))(30.2а)Для определения ранга полиномиальной матрицы пригодным оказывается "четвертый способ" (через миноры; см. п. 30.2 в [A1 ]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
