Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 59
Текст из файла (страница 59)
А значение f (J) вычисляется поблочно, с применением к каждому блокуформулы (29.22).Подчеркнем, что непосредственное (без перехода к ж.н.ф.) вычисление f (A) может оказаться значительно более сложной задачей.(Причина этого — в высокой вычислительной трудоемкости задачинепосредственного возведения матрицы большого порядка в высокую степень.)Пример 29.2. Попробуйте непосредственно возвести в двадцатую степень матрицу3 0 −1A := 5 1 −3 .−2 1 2Если у вас хватит терпения, то получится:160956416 −49807360 −60293120A20 = 351272960 −109051904 −131072000 .128450560 −39321600 −48758784§ 29Многочлены от матриц.
Аннулирующие многочлены347Тот же результат можно получить "более культурным" (хотя тоже не совсем простым) вычислением. Ж.н.ф. здесь найти довольнолегко:2 1 0J = 0 2 1.0 0 2Можно сразу же возвести эту матрицу в двадцатую 20220 · 219 190 · 2182 2020192019J = 0220 · 2 = 2 0 2002200 0степень:9520 .2Как обычно, более кропотливым является отыскание матрицы перехода T (и обратной к ней):3 1 10251 03 −6 .T = 6 5 0 ; T −1 =273 −2 027 −9 −9Теперь остается перемножить матрицы T · J · T −1 .Отметим, что порядок величины элементов искомой матрицы A20можно оценить уже по виду J 20 .29.2.
Аннулирующие многочлены для л.э. и для квадратных матриц. Для математиков характерен особый взгляд на"вещи" (как реальные, так и "идеальные", т. е. те объекты, которые входят в сферу изучения нашей своебразной науки). Вот, скажем, естественная ("возникшая из жизни", знакомая с самых раннихшкольных классов) задача отыскания всех корней многочлена, т. е.таких элементов (чисел), на которых данный многочлен обращаетсяв нуль.
Всякий обыватель готов поверить, что это — важная задача.Но надо быть математиком, чтобы осознать законность и важностьиного взгляда на тему: а что если элемент дан и надо определитьвсе многочлены, корнем которых он является?Тот вопрос, который выше сформулирован, — совершенно тривиален (и всякий, кто учился в первом семестре, должен сейчас снеобходимостью выдать на него ответ).
Но тривиальные вопросы водной области часто перерастают в нетривиальные и важные проблемы в соседней.В предыдущем пункте мы определили понятие значения обычного (скалярного) многочлена на "нескалярном" объекте — линейном эндоморфизме или квадратной матрице. В этой области задача348Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3отыскания всех многочленов, обращающихся в нуль на заданном элементе (л.э. или квадратной матрице), представляет уже серьезныйинтерес.Определение 29.2. Многочлен f (λ) ∈ P [λ] называется аннулирующим многочленом (а.м.) для л.э. ϕ ∈ L(V ) (для квадратнойматрицы A), если f (ϕ) = o (соответственно f (A) = O).В силу теоремы 12.1, если в некотором базисе B пространства Vэндоморфизму ϕ отвечает матрица A, то многочлен f (λ) являетсяаннулирующим для ϕ в том и только том случае, когда он являетсяаннулирующим для матрицы A.Нулевой многочлен, разумеется, является аннулирующим для любого л.э.
(любой квадратной матрицы). Но и ненулевые аннулирующие многочлены всегда существуют. Действительно, если A — матрица размера n × n, то ее неотрицательные степени Ak (k = 0, ..., n2 )образуют систему, содержащую n2 + 1 векторов в n2 -мерном линейном пространстве L(n, P ). Такая с.в. обязательно линейно зависима,т. е. найдутся скаляры αk ∈ P, не все равные нулю и такие, что2nXαk Ak = O.k=0Тем самым доказано существование многочлена2f (λ) =nXαk λk ,k=0степени, не превышающей n2 , аннулирующегося на матрице A.Вскоре мы убедимся, что эта оценка степени а.м. слишком груба:для матрицы A всегда найдется а.м.
степени, не превышающей n.Но пока нам достаточно того, что для A ∈ L(n, P ) всегда существуетненулевой аннулирующий многочлен.Всякий многочлен, делящийся на аннулирующий, сам являетсятаковым.Среди ненулевых а.м. для A можно выбрать многочлен наименьшей возможной степени. Обозначим любой из таких многочленовсимволом g(λ) и убедимся в том, что любой анулирующий A многочлен f (λ) делится на g(λ).В самом деле, поделим с остатком f (λ) на g(λ):f (λ) = g(λ)q(λ) + p(λ),(29.23)§ 29Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены349где p(λ) = 0 или deg(p(λ)) < deg(g(λ).Остаток p(λ) является а.м.
для A. Действительно,(29.6 a ,b)p(A) = (f − gq)(A) ======= f (A) − g(A)q(A) = O,и теперь, если p(λ) 6= 0, то получается противоречие с определением g(λ). Так что p(λ) = 0 и g(λ)|f (λ).Доказанное свойство влечет единственность с точностью до пропорциональности аннулирующего для A многочлена минимальнойстепени. Действительно, если как g(λ), так и g1 (λ) являются аннулирующими многочленами для A, причем оба они имеют наименьшуювозможную степень, то эти многочлены взаимно делят друг другаи, следовательно, пропорциональны.
Значит, однозначно определеннормализованный а.м. для матрицы A наименьшей возможной степени.Подведем итоги.Предложение 29.1. Для любого л.э. ϕ, действующего в конечномерном линейном пространстве V (для любой квадратной матрицы A), существует и однозначно определен нормализованный аннулирующий многочлен g(λ) наименьшей возможной степени.Этот многочлен делит любой аннулирующий многочлен для ϕ(для A).Доказательство см. выше. ¤Аннулирующему многочлену, существование и единственность которого гарантируется предложением 29.1, присваивается собственноеимя.Определение 29.2.
Нормализованный а.м. наименьшей возможной степени для л.э. ϕ (для квадратной матрицы A) называется минимальным аннулирущим многочленом (м.а.м.) для ϕ (для A) иобозначается gϕ (λ) [соответственно gA (λ)].Ясно, что если матрица A отвечает л.э. ϕ в некотором базисе, том.а.м. для ϕ и м.а.м. для A совпадают.Определение м.а.м. можно, очевидно, пересказать в терминах делимости: минимальный аннулирующий многочлен gA (λ) — это такой (нормализованный) многочлен, что все кратные ему многочлены (и только они) являются аннулирующими для A.Следующее предложение представляет основные свойства м.а.м.для матриц (которые, разумеется, допускают переформулировкуприменительно к случаю л.э.).350Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Предложение 29.2. 1. М.а.м. для блочно диагональной матрицы (29.10) равен наименьшему общему кратному м.а.м. для диагональных блоков:gA (λ) = [gA1 (λ), gA2 (λ), ... , gAs (λ)].(29.24)2. Подобные матрицы имеют одинаковые м.а.м.:◦◦ A) =⇒ ( gB (λ) = gA (λ) ).(B ∼(29.25)Доказательство. 1. Согласно формуле (29.11), значение многочлена f (λ) от блочно-диагональной матрицы (29.10) находится поблочно и, следовательно, может обращаться в нуль в том и толькотом случае, когда f (Ai ) = O (для любого i = 1, ..., s).
Каждое из этихравенств равносильно делимости gAi (λ)|f (λ); их совместное выполнение (по определению НОК) равносильно делимости[gA1 (λ), gA2 (λ), ... , gAs (λ)] | f (λ).(29.26)Итак, многочлен является аннулирующим для A тогда и только тогда, когда он делится на НОК минимальных многочленов длядиагональных блоков. Значит, минимальный многочлен для A совпадает с этим НОК.2. Согласно п.
29.1, B = T −1 AT влечет f (B) = T −1 f (A)T . Следовательно, значения f (A) и f (B) могут обращаться в нуль лишьодновременно, т. е. совокупности аннулирующих многочленов для Aи для B одинаковы. Из последнего обстоятельства вытекает совпадение соответствующих м.а.м. ¤Основным результатом о минимальных аннулирующих многочленах является следующаяТеорема 29.1. 1. Минимальный аннулирующий многочлен дляжорданова ящика A = Jn (λ0 ) может быть определен по формулеgA (λ) = (λ − λ0 )n .(29.27)2. Пусть (n × n)-матрица A приводима к жордановой нормальнойформе, σ(A) = {λ1 , λ2 , ... , λs } — ее спектр. Для каждого характеристического корня λi определим максимальный размер li средисоответствующих ему жордановых ящиков.§ 29Многочлены от матриц.
Аннулирующие многочлены351Тогда минимальный аннулирующий многочлен для матрицы Aзадается формулой:gA (λ) = (λ − λ1 )l1 (λ − λ2 )l2 ... (λ − λs )ls .(29.28)Доказательство. 1. Докажем, что многочлен f (λ) = (λ − λ0 )nявляется аннулирующим для матрицы A = Jn (λ0 ) .[Лишний раз подчеркнем, что обращение с многочленами от нескалярного аргумента требует внимания и осторожности.Как подставить A в f (λ)? Можно ли делать это, "не раскрываяскобки" (т. е. не возводя в степень)?Да, но надо четко понимать, что эта возможность опирается направило "значение произведения многочленов на квадратной матрице равно произведению значений".В данном случае это правило применяется к степени: значениедля степени многочлена равняется степени значения исходного многочлена; см.
п. 29.1 и, в частности, формулу (29.8).Напомним также, что в этой и других аналогичных формулахаргумент может быть как операторным, так и матричным.Уже в следующем параграфе, при изучении многочленов с матричными коэффициентами, мы столкнемся с более сложной ситуацией, когда правило о значении произведения перестанет быть справедливым.]Итак,f (A) = (A − λ0 E)n = (λ0 E + I1 − λ0 E)n = I1n = O,где I1 = Jn (0) — нильпотентная (с показателем n) матрица, представленная в примере 29.1 в развернутой записи (29.17).Значит, f (λ) является а.м. для A. М.а.м. для A обязан делитьf (λ). Однако все нетривиальные (нормализованные) делители f (λ)имеют вид g(λ) = (λ − λ0 )k , где 1 6 k < n.Ни один из этих многочленов не является аннулирующим для A,поскольку n есть показатель нильпотентности для I1 (никакаяменьшая степень этой матрицы не является нулевой).Следовательно, f (λ) = gA (λ) — м.а.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
