Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 55
Текст из файла (страница 55)
. . . . . . . . . . . . . . ,0 O O . . . Js Cs OO...O(28.5)C 00с (mi × m00 )-блоками Ci0 (i = 1, ... , s) и (m00 × m00 )-блоком C 00 .Замечание 28.1.∗ Характерной особенностью описанного выше алгоритма (как и четырех предыдущих) является то, что он рассчитанна абсолютно точные вычисления.Практически это означает, что если мы работаем с числами, товынуждены оставаться в пределах поля рациональных чисел Q.Алгоритм будет работать и в других полях, если в них удаетсяорганизовать точное вычисление характеристических корней, ранговматриц и т. д.Это можно сделать, например,— в некоторых полях алгебраических чисел, таких как√поле рациональных гауссовых чисел Q[i], или (более общее)√поле Q[ d], котороесостоит из комплексных чисел вида z = a + b d; a, b ∈ Q (где d —фиксированное бесквадратное целое число);— в конечных полях Fq (q = pn — примарное число, т.
е. натуральная степень простого натурального числа), элементы которогодопускают представление в виде многочленов над простым полем Fp(классов вычетов по модулю p), с выполнением алгебраических действий по модулю некоторого неприводимого многочлена степени nнад Fp .Разумеется, все это требует применения достаточно сложной алгебраической техники и далеко выходит за рамки нашего курса. Ниже, во всех вычислительных примерах линейные пространства и линейные эндоморфизмы будут рассматриваться над Q.318Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3С нашими алгоритмами обречена на неудачу любая попытка рассмотрения приближенных значений для корней характристическогомногочлена. В самом деле, "приближенный корень" λ0 многочленаhA (λ) = det(λE − A) доставляет этому многочлену (хотя и малое,но — ненулевое) значение hA (λ0 ) = det(λ0 E − A). При этом матрица B0 = A − λ0 E оказывается невырожденной и, следовательно,ее ядро Ker(B0 ) — тривиальным.
Собственное подпространство неподдается определению.Что же делать физикам, инженерам и другим людям, работающим с заведомо приближенными данными? Для их нужд применяется совсем другая, очень сложная наука — методы вычислений.В вычислительной линейной алгебре (и, в частности, в вычислительной спектральной теории линейных операторов) изобретаютсяпринципиально иные (не алгебраические) алгоритмы, позволяющиеприближенно (с достаточной точностью) описать "спектральные характеристики" операторов.28.3. Типовой расчет по теме "Жорданов базис для линейного эндоморфизма".
Приступаем к описанию индивидуального задания (ТР2 — типовой расчет № 2) на применение алгоритма 28.1 построения жорданова (или, по крайней мере, частично жорданова) базиса для линейного эндоморфизма.Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве V (над полем P )линейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ) Зафиксировав в пространстве Vнекоторый базис B, отождествляем V с арифметическим линейнымпространством P n (B отождествляется с En ). При этом л.э. ϕ отождествляется со своей арифметизацией Φ ∈ L(P n ); его действие определяется квадратной матрицей A ∈ L(n, P ).Конкретизируем основное поле: в качестве P в типовом расчетебудет фигурировать поле рациональных чисел P = Q (как уже отмечалось, алгоритм сохраняет практическую работоспособность и наднекоторыми расширениями этого поля, и над конечными полями,однако в данном расчете эти версии не понадобятся).Далее, вычислив наименьший общий знаменатель β всех элементов матрицы A ∈ Mat(n, Q), мы, с помощью вынесения за знак матрицы числа 1/β, можем, очевидно, свести задачу к исследованиюцелочисленной матрицы βA.
Поэтому достаточно отработать алгоритм на целочисленных матрицах.§ 28Алгоритм построения жорданова базиса319Общее условиетипового расчета по теме"Ж о р д а н о в б а з и сд л я л и н е й н о г о э н д о м о р ф и з м а"В линейном пространстве V = Qn задан линейный эндоморфизмϕ : V −→ V ; ϕ(x) = A · x,где A — (целочисленная) квадратная матрица размера n × n.Требуется— вычислить спектр σ(ϕ) и сумму m0 алгебраических кратностейвсех собственных значений для л.э. ϕ; в случае пустоты спектра(m0 = 0) сделать заключение об отсутствии у ϕ (даже частично)жорданова базиса и остановить вычисления;— в случае 0 < m0 6 n найти корневую сумму U 0 = Q(ϕ) дляданного л.э.
(являющуюся m0 -мерным линейным подпространствомв V ) и жорданов базис G 0 в ней; последний представить записаннымв матрицу G0 размера m0 × n;— вычислить квадратную матрицу J 0 размера m0 × m0 , отвечающую сужению¯ϕ0 = ϕ¯U 0 : U 0 −→ U 0в базисе G 0 ;— если m0 = n, то выдать заключение о том, что во всем пространстве V существует жорданов базис G = G 0 [записанный в (n × n)матрицу G = G0 ], в котором л.э. ϕ соответствует матрица J = J 0 ,имеющая ж.н.ф.; выполнить проверки: G · J = A · G и det(G) 6= 0;— если 0 < m0 < n, то выдать заключение о том, что не существует жорданова базиса для ϕ в пространстве V ; базис G 0 в U 0продолжить до базиса T во всем пространстве (частично жорданова базиса для ϕ), записав его в (n × n)-матрицу T ; вычислить поформулеA0 = T −1 · A · Tматрицу, отвечающую ϕ в базисе T (частично жорданову формуматрицы A); выполнить проверку: det(T ) должен быть ненулевым;северо-западный (m0 × m0 )-блок матрицы A0 должен совпадать с J 0 .320Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Исходные данныек д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:−9 1 −6 0n = 8; A := −1 11−6−50−61−110−5−30 −8212−51 −90 −11−10 −3111100−21 −8−7 132 −3 −5 12 10.−122 −2 −1 −2−59−3−1−4−10−30−4Решение демонстрационного варианта1. Вычисляем характеристический многочлен:¯30837¯ λ+9 5¯λ−2−1−21−2¯ −1¯6λ+5−1945¯ 6¯−10λ+1−11−1¯ 0hϕ (λ) = ¯110λ+301¯ 1¯¯ −1 −1 −1 −1 −1 λ+3 −2¯0−1000λ+1¯ −1¯652−1845¯¯3 ¯¯−12 ¯¯0 ¯¯=−2 ¯¯2 ¯¯2 ¯¯−13 ¯λ−9= λ8 + 13λ7 + 70λ6 + 196λ5 + 280λ4 + 112λ3 − 224λ2 − 320λ − 128.Именно этот этап является наиболее трудоемким при ручных вычислениях. Для матриц порядка n > 6 "ручное" вычисление характеристического многочлена может стать непосильной задачей.Но мы заинтересованы именно в таких размерностях, поэтому приходится рекомендовать студентам обязательное обращение к Maple(подробности см.
в п. 28.4).Далее, с помощью алгоритма из § 42 пособия [A1 ], проводим отбор целых характеристических корней и определение их кратностей.Тот факт, что характеристический многочлен является нормализованным гарантирует целочисленность его рациональных корней. Искать их следует среди делителей свободного члена.И этот этап может потребовать достаточно громоздких (но всеже вполне преодолимых "вручную") вычислений. Вам предлагается§ 28Алгоритм построения жорданова базиса321провести их подробно, с привлечением "многоступенчатой" схемыГорнера. (Разумеется, не повредит Maple-проверка.)В демонстрационном варианте свободный член равен −26 . Поэтому проверке подлежат числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16; ±32; ±64. Проверка не продлится долго: корни λ1 = 1 (кратности m1 = 1) и λ2 = −2(кратности m2 = 7) обнаруживаются на первых же ее шагах.Спектр л.э.
состоит из двух точек σ(ϕ) = {1, −2}; сумма алгебраических кратностей собственных значений m0 = 8 совпадает с размерностью пространства. Поэтому во всем пространстве V = Q8существует жорданов базис для ϕ.21 .1. Первому (однократному) собственному значению отвечаетодномерное собственное (оно же — корневое) подпространство U1 .Для отыскания базиса в U1 находим нуль-пространство матрицыB1 = A − λ1 E = A − E, т. е., решая однородную с.л.у. B1 · x = 0,(1)вычисляем фундаментальную матрицу F1 .
Здесь "обработка бази(1)сов" не понадобится, так что G1 = F1 , и мы получаем описание:U1 = RG1 , где G1 = (g1 ) состоит из единственного столбца.Результаты счета:B1 = −10−5−30−8−3−71−1212−12−6−6−61−9−4−5010−21−11−1−1−10−40−111111−42101000−2−6−5−21−8−4−51000000−100→ 0010000000100000010000001000000010000000113−3 0 → ... →2 −2 12−28 10 1−1 0(1)0 ; G1 = F1= .00 00 00121 .2.
С целью обеспечения единства оформления, нарисуем "одноклеточную" столбчатую диаграмму:g1D1 :↓ ,0322Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3где вертикальная стрелка обозначает л.э. ψ1 = ϕ − λ1 ε = ϕ − ε;показатель стабилизации для него l1 = 1.21 .3.
Должен быть также зафиксирован (так называемый "большой") блок:J1 = J1 (λ1 ) = 1 .Теперь можно объяснить то упорство, с которым в предыдущихпараграфах автор брал в кавычки слово "большой" (применительнок блокам ж.н.ф.). Дело в том, что "большие" блоки названы так неза свою величину (они могут быть совсем маленькими по размерам, идаже одноэлементными), но по причине возможного наличия болеетонкого строения этих блоков: они сами, вообще говоря, имеютблочно-диагональный вид, с "мелкими" блоками (ж.я.) на диагонали(возможно, сгруппированными в "средние" блоки).22 .1.
Вычисляем матрицу B2 = A − λ2 E = A + 2E и ее степени B2k ,(k)следя за дефектами d2 и "ловя момент", когда очередной дефектсравняется с алгебраической кратностью m2 = 7.Разумеется, умножать "вручную" матрицы восьмого порядка —удовольствие ниже среднего. То же самое можно сказать и о решении с.л.у., содержащих восемь неизвестных. Однако этот материалдавно пройден и закреплен. Поэтому совершенно не возбраняется"автоматизировать" рутинные операции.−7−5−30−8−3−72212−12−6−31−9−4−51011−11−1−10−10−11111−121010001−6−5−21−8−4−5 1 −6 0B2 = −1 113−3 0 → ... →2 −2 12−2111000001−10→ 01000−1001000000010−11−1 ;000011010−1§ 28Алгоритм построения жорданова базиса(1)F2−180−1 1 0 1= −1 11−1 001−100100010001 (1) ; d2 = 3;−17−82−26−11−160010−11−18−90−27−9−181111−110000000000000−1−1−1−11−1−18−18−91−27−10−17 0 −18 02B2 = 0 03536 −1 → ... →0 0 01361→ 00(2)F2−540−1/201/21/211101000010−111/2−1/2−1/2−1−10000001−110001000010000 −1 1 0= 0 01−1−1 ;010(2) ; d2 = 5;00001−54−271−81−28−53000000−54−270−81−27−540010−11000000000000000−101−1−54−54−270−81−27−54 0 −54 03B2 = 0 0108108 0 → ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
