Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

, k + 1.296Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3nПрименим к обеим частям равенства (27.3) л.э. ψk+1:nnnnψk+1(ak+1 ) = µ1 ψk+1(a1 ) + µ2 ψk+1(a2 ) + ... + µk ψk+1(ak ).(27.6)В левой части это применение, в силу (27.5), даст нулевой векnтор. Иначе будет обстоять дело в правой части: там оператор ψk+1действует на векторы ai из "чужих" корневых подпространств Ui(с номерами i = 1, ... , k). Каждое из этих подпространств являетсяинвариантным относительно ψk+1 , причем как указанный оператор,так и все его натуральные степени обратимы на Ui (см. третье утверждение предложения 26.1).

Следовательно, при любом i = 1, ... , kвектор-образn(ai )(27.7)bi = ψk+1снова принадлежит подпространству Ui и, к тому же, отличен от нуля (поскольку под действием обратимого оператора ненулевые векторы переходят в ненулевые). Значит, векторы (27.7) образуют системуB = [ b1 , b2 , ... , bk ](27.8)из k корневых векторов, отвечающих тем же (попарно различным)собственным значениям λi . По предположению индукции, с.в.

(27.8)линейно независима.В то же время имеет место соотношение (27.6), которое в обозначениях (27.7) приобретает вид0 = µ1 b1 + µ2 b2 + ... + µk bk(27.9)и, ввиду линейной независимости (27.8), влечет обращение в нульвсех коэффициентов µi (i = 1, ... , k).Возвращаясь к (27.3), получаем ak+1 = 0, что противоречит определению корневого вектора. Убеждаемся в ошибочности предположения о линейной зависимости с.в. A0 .Следовательно, эта система линейно независима; шаг индукцииуспешно завершен; предложение доказано. ¤Перенос свойства собственных векторов, выраженного предложением 19.3, на корневые векторы потребовал, хотя и не очень серьезного, но все же — усложнения доказательства.

А вот очередной шагникаких дополнительных ухищрений не потребует.Следующая теорема выводится из предложения 27.1 посредствомрассуждений, идентичных тем, с помощью которых теорема 19.1 выводилась из предложения 19.3. [Разве что обозначения будут слегка§ 27Корневая сумма. Большая теорема Жордана297отличаться: вместо собственных подпространств Wi = Sλi (ϕ) будутфигурировать корневые подпространства Ui = Qλi (ϕ), вместо геометрических кратностей ni собственных значений — алгебраическиекратности mi .]Это позволяет: автору — опустить доказательство, читателям —получить удовольствие от несложного упражнения по его восстановлению. Но прежде теоремы подлежит переносу определение.Определение 27.1.

Корневой суммой для л.э. ϕ называется сумма всех его корневых подпространств. Используются обозначения:0U =sXUi .(27.10)U 0 = Q(ϕ).(27.11)i=1и(В случае пустоты спектра корневая сумма считается нулевымподпространством.)Теперь — собственно теорема, описывающая важнейшие свойствакорневых подпространств для линейного эндоморфизма.Теорема 27.1. Пусть ϕ — л.э., действующий в конечномерномлинейном пространстве V.

Тогда1) корневые подпространства Ui = Qλi (ϕ) [i = 1, ..., s] независимыв совокупности;2) корневая сумма является прямой:Q(ϕ) =sMQλi (ϕ);(27.12)i=13) в подпространстве U 0 = Q(ϕ) можно выбрать базис видаB0 = [ B1 , B2 , ... , Bs ],(27.13)где все Bi (i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих корневых подпространствах Ui ;4) размерность подпространства (27.12) равняется сумме m0 алгебраических кратностей всех собственных значений:00dim(U ) = m =sXi=1mi . ¤(27.14)298Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

327.2. Жорданов базис в корневой сумме. Большая теорема Жордана. Корневая сумма (27.10), будучи суммой ϕ-инвариантных подпространств, сама является ϕ-инвариантным подпространством (см. замечание 19.1). Далее, согласно теореме 27.1, этасумма является прямой, так что к ней применима методика построения базисов, приспособленных к прямому разложению, изложеннаяв п.

20.5. Все это делает практически очевидным следующий результат, занимающий центральное место во всей спектральной теориилинейных эндоморфизмов.Теорема 27.2 (большая теорема Жордана, БТЖ). Пусть ϕ —линейный эндоморфизм, действующий в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ); σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs } — его спектр (в поле P , предполагаемый непустым), mi — алгебраические кратностисобственных значений λi , Ui = Qλi (ϕ) — соответствующие корневые подпространства (i = 1, ... , s), m0 — сумма всех алгебраическихкратностей, U 0 = Q(ϕ) — корневая сумма для л.э. ϕ.Тогда в подпространстве¯ U 0 существует жорданов базис G 0 для ϕ,в котором сужению ϕ0 = ϕ¯U 0 отвечает квадратная (m0 × m0 )-матрица J 0 , являющаяся блочно-диагональной и содержащая s "больших"¯диагональных (mi × mi )-блоков Ji , отвечающих сужениям ϕ0i = ϕ¯U 0 ,iкаждый из которых, в свою очередь, имеет блочно-диагональнуюструктуру, описываемую теоремой 26.1.Доказательство.

Следуя теореме 26.1, выберем в каждом из корневых подпространств Ui жорданов базис Gi и объединим эти базисыв с.в.G 0 = [ G1 , G2 , ... , Gs ],(27.15)которая будет базисом в прямой сумме (27.12), причем — жордановым для ϕ.¯Действительно, согласно предложению 20.4, сужению ϕ0 = ϕ¯U 0оператора ϕ на корневую сумму U 0 будет соответствовать в базисе(27.15) блочно-диагональная матрица J 0 , вид которой представленна диагр. 27.1 в прил. 3.

В этой матрице каждый диагональныйблок Ji (называемый "большим"), в свою очередь, имеет блочнодиагональный вид, показанный на диагр. 26.2, содержащий "средние" и "малые" диагональные блоки (последние суть жордановыящики).Условие m0 = n обеспечивает совпадение корневой суммы со всемпространством V и, тем самым, — существование во всем V жорданова базиса для ϕ. (В этом случае мы будем опускать в обозначениях§ 27Корневая сумма. Большая теорема Жордана299штрихи: жорданов базис во всем пространстве будем обозначать G,а ж.н.ф.

матрицы — просто J.) ¤Ниже формулируется критерий сущестования жорданова базисаво всем пространстве.Предложение 27.2. 1. Жорданов базис для л.э. ϕ ∈ L(V ) существует во всем пространстве V тогда и только тогда, когда суммаалгебраических кратностей всех собственных значений для ϕ равняется размерности n = dim(V ).2.

Если поле P алгебраически замкнуто, то жорданов базис вовсем пространстве существует для произвольного линейного эндоморфизма.Доказательство. 1. В одну сторону первое утверждение предложения немедленно следует из теоремы 27.2: если m0 = n, то U 0 = Vи базис G 0 = G является жордановым для ϕ во всем V.Докажем обратное утверждение. Пусть в некотором базисе G пространства V эндоморфизму ϕ соответствует матрицаJ =Jk1 (λ1 )Jk2 (λ2 )...(27.16)Jkt (λt )блочно-диагонального вида, с ж.я.

Jki (λi ) (i = 1, ... , t) на диагонали(среди скаляров λi могут быть повторяющиеся). Переставляя, еслипотребуется, базисные векторы, можно добиться того, чтобы блокис одинаковыми λi располагались подряд и в порядке убывания ихразмеров. Тогда для каждого из попарно различных λi (пусть этобудут, скажем, λ1 , λ2 , ... , λs ; s 6 t) сформируется "большой" блок Ji ,размер которого мы обозначим mi .Полученная матрица (мы сохраним за ней обозначение J) является верхней треугольной; на ее главной диагонали расположеныскалярыλ1 , ... , λ1 , λ2 , ... , λ2 , ...

, λs , ... , λs ,| {z } | {z }| {z }m1 разm2 разms разпричем m1 +m2 +...+ms = n; на первой наддиагонали стоят (вообщеговоря, не сплошь) единицы; все остальные элементы равны нулю.300Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Характеристический многочлен для данного л.э. может быть определен по его матрице относительно произвольного базиса. Вычислим его по описанной выше матрице J. Для этого рассмотримхарактеристическую матрицу λE − J. Она тоже является верхнейтреугольной; ее главная диагональ имеет видλ − λ1 , ... , λ − λ1 , λ − λ2 , ... , λ − λ2 , ...

, λ − λs , ... , λ − λs ,|{z} |{z}|{z}m1 разm2 разms раза на первой наддиагонали расположены (может быть, не сплошь)элементы −1. Следовательно,hϕ (λ) = det(λE − J) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms .(27.17)Формула (27.17) влечет следующие факты:1) спектр ϕ исчерпывается скалярами λi ,2) каждое из этих собственных значений имеет алгебраическуюкратность mi ,3) сумма m0 всех алгебраических кратностей совпадает с размерностью n.Первое утверждение предложения доказано в обе стороны.2.

В предположении алгебраической замкнутости основного поля P всякий многочлен над этим полем разлагается на линейныемножители и, следовательно (см. замечание 18.2), условие m0 = nвыполняется автоматически, для произвольного л.э. ϕ.Значит, для любого л.э. существует жорданов базис во всем пространстве. ¤Замечание 27.1.

Если для л.э. ϕ ∈ L(V ) существует жордановбазис (во всем пространстве V ), то ϕ представляется в виде суммыдиагонализируемого и нильпотентного эндоморфизмов: ϕ = δ + υ.В самом деле, в жордановом базисе данному оператору отвечаетблочно-диагональная матрица J, причем каждый из ее "больших"блоков, в свою очередь, является блочно-диагональной матрицей,с "малыми" блоками — жордановыми ящиками.

Всякий жордановящик можно представить как сумму скалярной матрицы и нильпотентного жорданова ящика. Проделав это для всех ящиков, мыразобьем матрицу J в сумму диагональной матрицы D (на ее диагонали стоят собственные значения λi , каждое из которых повторяетсястолько раз, какова его алгебраическая кратность) и нильпотентнойматрицы Y (которая получается из J заменой всех ж.я. на нильпотентные).

Характеристики

Список файлов книги