Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 47
Текст из файла (страница 47)
нижеп. 25.4).В итоге мы получим базис в U , приспособленный к прямому разложению (25.3) и организованный в столбчатую диаграмму.2. С помощью перегруппировки базисных векторов, описаннойв п. 25.2, перейдем к прямому разложению (25.10) подпространства U в сумму ϕ-инвариантных циклических подпространств Zj(j = 1, ... , d(1) ) и рассмотрим перенумерованный в согласии с новымразложением базис (25.11).¯В силу предложения 20.4, в этом базисе эндоморфизму ϕ0 = ϕ¯Uбудет отвечать блочно-диагональная матрица, имеющая d(1) диагональных блоков, соответствующих сужениям¯ϕ0j = ϕ¯Z ∈ L(Zj ); j = 1, ... , d(1) .(25.13)jЭндоморфизм (25.13) переводит каждый вектор из j-го столбцадиагр. 25.1 в вектор, расположенный под ним (самый нижний векторпереходит в нуль). Значит (см. объяснения в примере 23.2), сужению ϕ0j отвечает в базисе Yj матрица Jkj (0) .Таким образом, доказано, что каждому столбцу в столбчатой диаграмме 25.1 отвечает в матрице J0 (см.
диагр. 25.2 в прил. 3) н.ж.я.,размер которого совпадает с высотой столбца.274Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3В соответствии с определением 25.1, базис (25.11) будет жордановым базисом для ϕ0 .3. Третье и четвертое утверждения теоремы установленны попутно, при доказательстве второго. ¤Следствие. Характеристический многочлен для сужения ϕ0 линейного эндоморфизма ϕ на его стабильное ядро определяется формулой:hϕ0 (λ) = λm ,(25.14)где m = d(l) .Доказательство. Как известно, hϕ0 (λ) = hA0 (λ) = det(λE − A0 ),а последний определитель равен λm , поскольку (m × m)-матрицаλE − A0 имеет верхний треугольный вид и ее главная диагональсплошь заполнена скалярами λ. ¤25.4. Стабильный дефект как алгебраическая кратностьнулевого собственного значения.
Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V. Если ϕ обратим, то какядро, так и стабильное ядро для него тривиальны.В первом же "спектральном" параграфе, в примере 16.2 было отмечено, что необходимым и достаточным условием необратимости ϕявляется принадлежность нуля его спектру:0 ∈ σ(ϕ).(25.15)При этом ядро эндоморфизма является не чем иным, как собственным подпространством, отвечающим нулевому собственномузначению:N (1) = Ker(ϕ) = S0 (ϕ),(25.16)а (первый) дефект — имеет смысл соответствующей геометрическойкратности:d(1) = dfc(ϕ) = dim(S0 (ϕ)).(25.17)Следующее (очень важное для дальнейшего) предложение интерпретирует "в спектральных терминах" понятие стабильного дефектадля л.э.§ 25Малая теорема Жордана275Предложение 25.1.
Стабильный дефект d(l) для (необратимого) л.э. ϕ ∈ L(V ) равен алгебраической кратности нулевого собственного значения (25.15).Доказательство. Воспользуемся результатом предложения 23.2.Наличие прямого разложения (23.14), в котором оба слагаемых —ϕ-инвариантны, влечет (в силу второго утверждения предложения 22.1) следующее разложение для hϕ (λ):hϕ (λ) = hϕ0 (λ)hϕ00 (λ),(25.18)¯¯где ϕ0 = ϕ¯N (l) и ϕ00 = ϕ¯M (l) , причем оператор ϕ00 обратим, и, следовательно, его характеристический многочлен не делится на λ.С другой стороны, согласно следствию из МТЖ, характеристический многочлен для ϕ0 определяется формулой (25.14).
Такимобразом, мы приходим к разложениюhϕ (λ) = λm h(λ),(25.19)m = d(l) ,(25.20)в которома многочлен h(λ) = hϕ00 (λ) (в силу обратимости ϕ00 ) не имеет нульсвоим корнем, т. е. h(0) 6= 0.Значит, показатель степени m есть не что иное, как кратностьнулевого характеристического корня (или, равносильно: алгебраическая кратность нулевого собственного значения). ¤25.5. Жорданов базис для нильпотентного л.э. В силу предложения 23.3, сужение л.э.
на любое итерированное (в том числеи стабильное) ядро является нильпотентным л.э.; показатель нильпотентности равен номеру ядра. Так что рассмотренный в МТЖл.э. ϕ0 является нильпотентным (с показателем l). Тем же свойствомобладает и его матрица (в любом базисе). В жордановом базисе этопроявляется в том, что нильпотентны все ж.я. матрицы J0 .Для нильпотентного во всем пространстве л.э. ϕ ∈ L(V ), показатель стабилизации равен показателю нильпотентности и стабильноеядро совпадает со всем V (см. предложение 23.4).
Следовательно,справедливо276Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Предложение 25.2. Нильпотентный л.э. ϕ, действующий вn-мерном линейном пространстве V обладает жордановым базисом(во всем пространстве V ). Матрица, отвечающая в этом базисе данному эндоморфизму, является блочно диагональной, с нильпотентными жордановыми ящиками на диагонали. Характеристическиймногочлен определяется формулой:hϕ (λ) = λn . ¤(25.21)Замечание 25.2. Условие (25.21) является не только необходимым,но и достаточным для нильпотентности л.э.
В самом деле, из этогоусловия следует, что стабильный дефект равен n и, значит, стабильное ядро совпадает со всем V.25.6. Алгоритм построения жорданова базиса в стабильном ядре л.э. Доказательство теоремы 25.1 (о существовании жорданова базиса в стабильном ядре N (l) ) было по сути алгоритмическим. Не были конкретизированы лишь выборы прямых дополненийC (l) , D(l−1) , ... , D(2) , D(1) (и базисов в них). Ясно, что для реализации указанных выборов потребуется применение алгоритма продолжения базисов 10.4.
Но для запуска этого алгоритма необходимо,чтобы "было что продолжать": требуется предварительное построение каких-либо базисов (мы будем называть их "необработанными") во всех итерированных ядрах, вплоть до стабильного. Необработанные базисы F (k) в ядрах N (k) (k = 1, ... , l) находятся (см.п. 14.3) с помощью приспособленной к операторным задачам версииалгоритма 10.1. В предложении 25.2 обосновано "правило останова": сигналом к прекращению итераций служит равенство очередного итерированного дефекта и алгебраической кратности нулевого собственного значения.
В доказательстве теоремы 25.1 намеченасхема "обработки" необработанных базисов, позволяющая получитьорганизованный в столбчатую диаграмму базис в N (l) , который иявляется искомым. (Корректность этой схемы на каждом шаге ееприменения обеспечиватеся теоремой 24.1.)А л г о р и т м 25. 1.Построение жорданова базиса в стабильном ядре(необратимого) л.э. ϕ ∈ L(V )и вычисление матрицы, отвечающей в этом базисесужению л.э. на стабильное ядроВ n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) фиксируется§ 25Малая теорема Жордана277базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A. Будем искать жорданов базис G0 в стабильном ядре эндоморфизма ϕ.Как обычно, для записи и хранения всех выстраиваемых базисов используются матрицы, составленные из координатных столбцов вновь определяемых базисных векторов относительно "старого"базиса B.1. Составляем характеристический многочленhϕ (λ) = hA (λ).Если он не делится на λ, то оператор ϕ обратим; стабильное ядротривиально; нечего строить.Если λ | hϕ (λ), то определяем кратность m нулевого характеристического корня.2.
Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.2.1. Находим базис в ядре N (1) = Ker(ϕ) = L0A , представленномкак нуль-пространство матрицы A, т. е. находим фундаментальнуюматрицу F (1) для с.л.у. A · x = 0. Столбцы этой матрицы составляютбазис в первом ядре; их количество равно первому дефекту d(1) .Если d(1) = m, то стабилизация достигнута на первом шаге: l = 1;первое ядро является стабильным; базис в нем содержится в матрице F (1) и автоматически является жордановым (еще точнее: диагонализирующим); ничего обрабатывать не надо (столбчатая диаграмма имеет всего одну строку).2.2. Если d(1) < m, то вычисляем матрицу A2 и повторяем с нейдействия пункта 2.1: находим матрицу F (2) , содержащую (необработанный) базис во втором ядре и вычисляем второй дефект d(2) .Если d(2) = m, то — переход к этапу 3; в противном случае —продолжение: вычисляем A3 и т.
д.На некотором шаге (с номером l 6 n) будет реализована перваяальтернатива: итерированный дефект d(l) сравняется с m и окажется стабильным (номер l фиксируется как показатель стабилизации);матрица F (l) будет содержать (необработанный) базис в стабильномядре N (l) .По завершению данного этапа мы получаем последовательностьматриц (всё возрастающего размера):F (1) ; F (2) ; F (3) ; ... ; F (l−2) ; F (l−1) ; F (l) .n×d(1)n×d(2)n×d(3)n×d(l−2)n×d(l−1)n×d(l)(25.22)Предостережение. Не следует ожидать, что матрица с меньшимномером окажется подматрицей в матрице с бо́льшим номером. (Это278Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3возможно, но лишь — случайно.) Достижение такого состояния вцепочке содержащих базисы матриц как раз и является целью обработки базисов.3. Вычисление матрицы J0 , отвечающей (в жордановом базисе)сужению ϕ0 л.э.
ϕ на стабильное ядро. (Подчеркнем, что матрица J0может быть определена по итерированным дефектам и их первым ивторым приращениям до построения самого жорданова базиса G0 .)3.1. Если l = 1, то матрица является нулевой: J0 = O.3.2. Если l > 1, то по последовательностиd(1) ; d(2) ; d(3) ; ... ; d(l−2) ; d(l−1) ; d(l)(25.23)итерированных дефектов построим последовательностьp(1) ; p(2) ; p(3) ; ... ; p(l−2) ; p(l−1) ; p(l)(25.24)p(1) = d(1) ; p(k) = d(k) − d(k−1) (k = 2, ... , l)(25.25)приращенийи последовательностьq (1) ; q (2) ; q (3) ; ... ; q (l−2) ; q (l−1) ; q (l)(25.26)абсолютных вторых приращенийq (k) = p(k) − p(k+1) (k = 1, ...
, l − 1); q (l) = p(l) .(25.27)3.3. По приращениям (25.24) строится (но пока не заполняется)столбчатая диаграмма D0 вида 25.1 (см. прил. 3): она должна содержать d(l) ячеек, сгруппированных в l строк (занумерованных снизувверх и выровненных по левому краю); на k-м этаже должно располагаться p(k) ячеек (k = 1, ... , l).3.4.
Матрица J0 размера m × m строится как блочно-диагональная: сначала идут q (l) блоков (н.ж.я.) Jl (0) максимального размераl × l, затем ящики идут в порядке убывания их размеров, причем количество (k × k)-ящиков равняется q (k) (если это число равно нулю,то ящики соответствующего размера отсутствуют). Схема строенияматрицы J0 показана на диагр. 25.2 в прил. 3. (В пояснениях к этойдиаграмме о жордановых ящиках говорится как о "малых" блоках;§ 25Малая теорема Жордана279малые блоки одинакового размера объединяются в "средние" блоки. О "больших" блоках пока не говорится: они появятся позже, валгоритме 28.1.)4.
Обработка базисов в итерированных ядрах (заполнение столбчатой диаграммы D0 ; см. диагр. 25.1 в прил. 3).4l . Расчет верхнего этажа. С помощью алгоритма 10.4 находимбазис в каком-либо прямом дополнении C (l) к предстабильному ядрув стабильном. Конкретнее: составляем матрицу-конкатенацию¯¶µ¯M (l) = F (l−1) ¯¯ F (l) ;(25.28)n×d(l−1)n×d(l)приводим ее к ступенчатому виду (с помощью элементарных преобразований над строками) и определяем номера "проходящих черезступеньки" векторов в "правой зоне".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
