Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В самомделе, этот оператор не является нулевым (иначе второе ядро совпадало бы с первым), и, в то же время, нулевым является его квадрат:¯¯(ϕ¯N (2) )2 = ϕ2 ¯N (2) = o.Столь же просто устанавливается следующий более общий факт:Предложение 23.3. Рассмотрим ϕ-инвариантную фильтрациюO = N (0) < N (1) < N (2) < ...
< N (l) 6 V(23.18)стабильного ядра N (l) для л.э. ϕ ∈ L(V ).Сужение этого эндоморфизма на любое из ядер N (k) (k = 1, ..., l)нильпотентно с показателем k.В частности, сужение на стабильное ядро имеет показатель нильпотентности, равный показателю стабилизации. ¤Теперь подойдем к проблеме с другой стороны: рассмотрим л.э.,нильпотентный (с показателем l) на всем пространстве V, и перескажем для него теорему о стабилизации.Предложение 23.4. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном пространстве V и является нильпотентным с показателем l. Тогда1) показатель стабилизации для ϕ совпадает с показателем нильпотентности l;2) стабильное ядро совпадает со всем пространством: N (l) = V ;3) стабильный дефект равен размерности: d(l) = n;4) стабильный образ тривиален: M (l) = O;5) стабильный ранг равен нулю: r(l) = 0.Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости первых двух утверждений: остальные из них, очевидно, следуют.Имеем, по предположению: ϕl = o и ϕl−1 6= o.
Следовательно,N (l) = V и N (l−1) 6= V. Приходим к выводу, что стабилизация итерированных ядер происходит ровно при показателе l, причем в качествестабильного ядра достигается все пространство V. ¤262Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Замечание 23.2. Очевидно также и обратное утверждение: еслистабильное ядро совпадает со всем пространством, то данный л.э.нильпотентен (на всем пространстве).Замечание 23.3. Из предложения 23.4 вытекает оценка показателя нильпотентности l для нильпотентного л.э.
ϕ ∈ L(V ):l 6 n = dim(V ).В самом деле, это неравенство, в силу теоремы 23.1, справедливодля показателя стабилизации.Пример 23.1 (продолжение примера 19.2). Следующая последовательность вложенных друг в друга линейных пространств многочленовO < R = R0 [x] < R1 [x] < R2 [x] < ... < Rn [x] = V(23.19)[ср. с (19.3)] является не чем иным, как фильтрацией (23.18) итерированных ядер для оператора дифференцирования ϕ = 0 .Теперь поговорим о нильпотентности квадратных матриц.
Определение нильпотентной матрицы является "матричной калькой" операторного определения 23.4.Определение 23.40 . Матрица A называется нильпотентной,n×nlс показателем l, если A = O, а для k = 1, ... , l − 1 матрица Ak 6= O.Из общей теоремы 12.1 (о соответствии между линейными операторами и матрицами) вытекает, что л.э. ϕ ∈ L(V ) является нильпотентным тогда и только тогда, когда нильпотентна его матрица A(в произвольном базисе пространства V ).Пример 23.2. Рассмотрим л.э. n-мерного пространства V , которому в некотором базисе B = [b1 , b2 , ... , bn ] пространства V соответствует матрица, имеющая вид н.ж.я. (см. пример 13.4):0 1 0 0 ...
0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 A = Jn (0) = (23.20). ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 0 ... 0 10 0 0 0 ... 0 0§ 24Приращения дефектов. Теорема Фробениуса263На векторы базиса B этот л.э. действует следующим образом:ϕϕϕϕϕbn 7→ bn−1 7→ .... 7→ b2 7→ b1 7→ 0.(23.21)Отсюда ясно, что оператор ϕ нильпотентен с показателем l = n иего итерированные ядра имеют вид:N (k) = hb1 , b2 , ... , bk i ; k = 1, ...
, n.(23.22)Между прочим, предыдущий пример 23.1 (путем использованиябазиса B = [ 1, x, x2 /2!, ... , xn /n! ]) сводится к данному, с единственным отличием: н.ж.я. будет иметь порядок n + 1.§ 24. Приращения итерированных дефектов.Теорема Фробениуса.Вторые приращения дефектов24.1. Приращения итерированных дефектов. Рассмотримл.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V.
Пусть l —его показатель стабилизации и0 = d(0) < d(1) < d(2) < ... < d(l−1) < d(l) = d(l+1) = ...(24.1)— последовательность итерированных дефектов.Введем последовательность приращенийp(k) = d(k) − d(k−1) ; k = 1, 2, ...(24.2)итерированных дефектов.Заметим, что— p(1) = d(1) ;— при k = 1, ... , l приращения положительны: p(k) > 0;— при k > l, по причине стабилизации итерированных дефектов,приращения становятся нулевыми.24.2.
Теорема Фробениуса. По своему смыслу приращения(24.2) являются размерностями (произвольных) прямых дополнений C (k) к предыдущему ядру в последующем [см. (23.15)]:N (1) = C (1) ; N (k) = N (k−1) ⊕ C (k) ; k = 2, ... , l;(24.3)264Спектральная теория линейных эндоморфизмовdim(C (k) ) = p(k) ; k = 1, ... , l.Гл. 3(24.4)В дальнейшем, однако, нам понадобится выбирать эти прямыедополнения отнюдь не произвольно. Руководящим принципом будетследующий:— процесс должен начинаться с последнего по номеру прямогодополнения C (l) ;— построив очередное прямое дополнение C (k) (k = l, l−1, ... , 3, 2),следующее (а по номеру — предыдущее) дополнение C (k−1) мы будемвыбирать так, чтобы оно содержало образ ϕ(C (k) ).Обоснованием возможности реализации описанного выше планаявляетсяТеорема 24.1 (теорема Фробениуса).
Пусть ϕ — л.э., действующий в n-мерном пространстве V , l — показатель стабилизации для ϕ.Рассмотрим последовательности:— итерированных ядер {N (k) }lk=0 ;— итерированных дефектов {d(k) }lk=0 ;— приращений итерированных дефектов {p(k) }lk=1 .Пусть k ∈ {2, ..., l} и выбрано какое-либо прямое дополнение C (k)в ядре N (k) к предыдущему ядру N (k−1) .Сузим л.э.
ϕ на N (k) и рассмотрим это сужение как линейныйоператор (гомоморфизм)¯ϕ¯N (k) : N (k) −→ N (k−1) .(24.5)Тогда1) дальнейшее сужение гомоморфизма (24.5) на подпространство(k)C 6 N (k) является линейным изоморфизмом на образ ϕ(C (k) );2) размерность этого образа определяется формулойdim(ϕ(C (k) )) = p(k) ;(24.6)3) N (k−2) и ϕ(C (k) ) являются независимыми подпространствамив пространстве N (k−1) ;4) прямое дополнение C (k−1) к N (k−2) в N (k−1) можно выбратьтак, чтобы выполнялось включениеϕ(C (k) ) 6 C (k−1) .(24.7)§ 24Приращения дефектов.
Теорема Фробениуса265Если произвольным образом выбрать прямое дополнение C (l) кпредстабильному ядру N (l−1) в стабильном ядре N (l) , то5) выбор всех прямых дополнений C (k) с меньшими номерамиможно осуществить так, чтобы для любого k = 2, ..., l выполнялосьвключение (24.7);6) для любого k = 2, ..., l справедливо неравенствоp(k) 6 p(k−1) ,(24.8)т. е. последовательность {p(k) }lk=1 приращений итерированных дефектов является невозрастающей.Доказательство.
1. Тот факт, что ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) , установленв предложении 23.1; благодаря ему сужение л.э. ϕ на N (k) можнорассматривать как гомоморфизм (24.5).Линейное подпространство C (k) 6 N (k) является прямым дополнением к подпространству N (k−1) 6 N (k) , которое, в силу предложения 23.1 (и предположения k > 2), содержит первое из итерированных ядер N (1) = Ker(ϕ). Следовательно, подпространства C (k) иN (1) независимы (имеют нулевое пересечение).Согласно предложению 15.1, сужение (24.5) на C (k) , т. ¯е., как сказано в формулировке теоремы, "дальнейшее сужение" ϕ¯C (k) , является линейным изоморфизмом на свой образ, который, в данном случае, есть не что иное, как ϕ(C (k) ).2.
Наличие изоморфизма ϕ(C (k) ) ∼= C (k) влечет равенство размерностей (24.6).3. Докажем независимость подпространств N (k−2) и ϕ(C (k) ), т. е.тривиальность их пересечения.Пусть x ∈ ϕ(C (k) ) ∩ N (k−2) . С одной стороны, это означает, что xпредставляется в виде x = ϕ(u), где u ∈ C (k) , а с другой — что дляэтого вектора справедливо равенство ϕk−2 (x) = 0.
Объединяя двауказанных факта, получаем: ϕk−1 (u) = ϕk−2 (ϕ(u)) = ϕk−2 (x) = 0.Значит, вектор u принадлежит ядру N (k−1) и, следовательно, —пересечению N (k−1) ∩ C (k) , которое является нулевым (в силу определения прямого дополнения).Получаем, что u = 0 и, следовательно, x = 0.4. Независимость двух линейных подпространств в конечномерном линейном пространстве влечет, в силу предложения 9.4, существование такого прямого дополнения к одному (любому) из этихподпространств, которое содержит другое подпространство. Так что266Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3к подпространству N (k−2) 6 N (k−1) найдется прямое дополнениеC (k−1) , удовлетворяющее включению (24.7).5.
По выбранному произвольным образом дополнению C (l) мы можем, в соответствии с предыдущим утверждением, подобрать дополнение C (l−1) так, чтобы выполнялось требуемое включение. По ужеопределенному C (l−1) аналогичным образом находится C (l−2) ; и т. д.,вплоть до C (2) . Завершающий этап будет иметь некоторую особенность: поскольку N (0) = O, то (единственным) прямым дополнениемк нему будет C (1) = N (1) , и образ ϕ(C (2) ) будет содержаться в немавтоматически.6. Неравенства (24.8) вытекают из включений (24.7), с учетом равенств (24.6). ¤Замечание 24.1. Если строгое возрастание итерированных дефектов (вплоть до стабилизации) является вполне элементарнымсвойством, то невозрастание их приращений есть более глубокийфакт.
Неравенству (24.8) можно придать другую форму, если отприращений итерированных дефектов возвратиться к самим дефектам:d(k) − 2d(k−1) + d(k−2) 6 0; k = 2, ... , l.(24.80 )В таком виде оно известно как неравенство Фробениуса и иногдавыражается следующим образом: последовательность итерированных дефектов обладает свойством вогнутости.[Аналогичный термин употребляется в математическом анализеприменительно к функциям и вам, несомненно, знаком.
Любителям анализа будет совсем не вредно задуматься о взаимоотношениипонятий вогнутости (а также выпуклости) для функций и для последовательностей.]24.3. Вторые приращения итерированных дефектов. Приращения для возрастающей последовательности положительны, дляневозрастающей — неположительны. Вторые приращения — этоприращения для последовательности (первых) приращений.Применительно к последовательности итерированных дефектоввторыми приращениями будут числаp(k) − p(k−1) = d(k) − 2d(k−1) + d(k−2) .(24.9)Именно они фигурировали в формуле (24.80 ), вместе с утверждением об их неположительности.§ 25Малая теорема Жордана267В последующих "рабочих вычислениях" нам удобнее будет пользоваться вторыми приращениями, взятыми с обратным знаком и сосдвигом нумерации на единицу. Эти величины вводятся в следующем определении.Определение 24.2. Абсолютными вторыми приращениями итерированных дефектов будем называть числаq (k) = p(k) − p(k+1) ; k = 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
