Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 49
Текст из файла (страница 49)
к. x 6= 0 и λj − λi 6= 0). Значит, вектор x не принадлежит никакому из итерированных ядер для оператора ψi , в томчисле — и стабильному ядру Ui . Условие (26.8) доказано. ¤26.3.∗ Композиция многочленов. Сдвиг аргумента у многочлена. Настоящий пункт является вспомогательным и относится к теории многочленов. Он найдет свое применение в следующемпункте, при вычислении размерности корневого пространства.
Если ваши интересы (или уровень подготовки) позволяют вам ограничиться линейной алгеброй над бесконечными (например, числовыми) полями, то смело можно переходить п. 26.4. (Хотя "пробежатьглазами" данный пукт, чтобы вспомнить некоторые определения, будет, разумеется, не вредно.)В пособии [A1 ] (см.
п. 48.5) вводилось (причем сразу для случаямногочленов от нескольких переменных) понятие композиции двухмногочленов. Здесь мы более детально рассмотрим это понятие применительно к многочленам от одной переменной.Рассмотрим два многочлена (с коэффициентами из поля P ):иf (λ) = f0 + f1 λ + f2 λ2 + ... + fn λn ; fn 6= 0(26.10)p(λ) = p0 + p1 λ + p2 λ2 + ... + pl λl ; pl 6= 0.(26.11)Композиция F = f ◦ p этих многочленов определяется как подстановка второго многочлена в первый, вместо переменной λ:F (λ) = f0 + f1 p(λ) + f2 (p(λ))2 + ...
+ fn (p(λ))n ,(26.12)с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов.Новый многочлен (26.12) будет иметь степень, равную произведению nl, а его старший коэффициент будет равняться fn (pl )n .Здесь нас будет интересовать так называемый правый дистрибутивный закон для композиции, относительно умножения, выражаемый следующей формулой:(f · g) ◦ p = (f ◦ p) · (g ◦ p),(26.13)где, кроме уже представленных выше многочленов f , p и их композиции F , фигурируют:286Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3— многочленg(λ) = g0 + g1 λ + g2 λ2 + ... + gm λm ; gm 6= 0,(26.14)— многочлен-произведение h = f · g:h(λ) = h0 + h1 λ + ... + hn+m λn+m ; hs =Xfi gj ,(26.15)i,j>0i+j=s— многочлены-композиции G = g ◦ p и H = h ◦ p, определяемыеформулами, аналогичными (26.12).В указанных выше обозначениях закон (26.13) принимает вид:H = F · G.(26.130 )Его справедливость практически очевидна "на уровне функций"(даже не обязательно полиномиальных):H(λ) = (h ◦ p)(λ) = h(p(λ)) = (f · g)(p(λ)) == f (p(λ)) · g(p(λ)) = (f ◦ p)(λ) · (g ◦ p)(λ) == F (λ) · G(λ) = (F · G)(λ).(26.16)Однако многочлены — это "больше, чем функции".
Функциональная точка зрения на многочлены адекватна лишь над бесконеными полями. (Еще раз приходится отсылать читателей к § 39 пособия [A1 ]. Для алгебраистов случай конечного поля коэффициентовявляется не менее существенным и интересным, нежели случай бесконечного поля.)Чтобы доказать закон (26.13) "на уровне многочленов" надо реализовать следующий план:1) проверить равенство (26.130 ) для одночленов f (λ) = fi λi ,g(λ) = gj λj и p(λ) = pk λk ;2) убедиться в том, что если равенство (26.13) справедливо дляодночленов f (λ) и g(λ) (таких, как выше) и для каждого из двухмногочленов, p1 (λ) и p2 (λ), то оно останется справедливым для f (λ),g(λ) и p(λ) = p1 (λ) + p2 (λ); после этого можно будет сделать выводо справедливости (26.13) для произвольных одночленов f и g и произвольного многочлена p;3) провести аналогичное рассуждение применительно к g: еслизакон справедлив для одночлена f , двух многочленов, g1 и g2 , и§ 26Корневые подпространства287многочлена p, то он остается справедливым для f , g = g1 + g2 и p, азначит, он выполняется для любого одночлена f и любых многочленов g и p;4) провести аналогичное рассуждение применительно к f и добиться тем самым полной произвольности всех трех участвующихмногочленов.Как видите, план, хотя и кропотлив, и трудоемок, но — ясен.
Разумеется, здесь не очень уместна его подробная реализация. Важнопонять, чем отличается "техника многочленов" от "техники функций". Тем не менее, первый пункт плана мы раскроем:f (λ) = fi λi ;g(λ) = gj λj ;h(λ) = fi gj λi+j ;F (λ) = (fi pik )λki ;G(λ) = (gj pjk )λkj ;k(i+j)H(λ) = (fi gj pi+j;k )λравенство (26.130 ) справедливо.Частным случаем композиции многочленов (именно он нам понадобится в дальнейшем) является сдвиг аргумента у многочлена:F (λ) = f (λ + λ0 ); λ0 ∈ P ;(26.17)он получается при p(λ) = λ + λ0 .Согласно общему закону (26.13), сдвиг для произведения многочленов равен произведению сдвигов.Имеют место некоторые специфические свойства сдвинутых многочленов:1) элемент λ1 ∈ P является корнем исходного многочлена f (λ)тогда и только тогда, когда элемент λ1 − λ0 является корнем сдвинутого многочлена (26.17);2) исходный многочлен f (λ) не имеет корней в поле P тогда итолько тогда, когда тем же свойством обладает F (λ).26.4.
Размерность корневого подпространства. Вернемсяк изучению спектральной теории для л.э. Следующим нашим шагом в исследовании корневых подпространств будет доказательствотого, что размерность подпространста Ui = Qλi (ϕ), отвечающегособственному значению λi , равняется алгебраической кратности miэтого собственного значения.Данный факт будет следовать из ранее полученного частного результата — предложения 25.1, относящегося к случаю нулевого собственного значения. Сведение общего случая к частному опираетсяна полученные в предыдущем пункте свойства сдвинутых (по аргументу) многочленов.288Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Рассмотрим характеристический многочлен для л.э. ϕ ∈ L(V ):hϕ (λ) = hA (λ) = det(λE − A),(26.18)где A — матрица, отвечающая ϕ в каком-либо базисе B пространства V. Разложим многочлен (26.18) на множители, по типу (17.31):hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms g(λ),(26.19)где λi , mi — собственные значения и соответствующие алгебраические кратности (i = 1, ... , s), а многочлен g(λ) не имеет корней вполе P.Выберем одно из собственных значений (скажем, λ1 ) и рассмотрим соответствующий л.э. [вида (26.1)]: ψ1 = ϕ − λ1 ε.
В том же базисе B этому эндоморфизму будет отвечать матрица B1 = A − λ1 E.Вычислим характеристический многочлен для оператора ψ1 :hψ1 (λ) = hB1 (λ) = det(λE − B1 ) == det(λE − (A − λ1 E)) = det((λ + λ1 )E − A) = hϕ (λ + λ1 ),или, окончательно:hψ1 (λ) = hϕ (λ + λ1 ).(26.20)Замечаем, что характеристический многочлен для ψ1 получается из характеристического многочлена для ϕ сдвигом по аргументу(на λ1 ).В силу свойств, установленных в конце п. 26.3, операция сдвигамногочленов согласована с их умножением.
Стало быть, разложениена множители (26.19) для hϕ (λ) приводит к аналогичному разложениюhψ1 (λ) = λm1 (λ − (λ2 − λ1 ))m2 ... (λ − (λs − λ1 ))ms g(λ + λ1 ), (26.21)причем сдвинутый многочлен g(λ+λ1 ), как и исходный g(λ), не имееткорней в P.Выходит, что сдвиг оператора ϕ (т. е. добавка скалярного оператора −λ1 ε) привел к сдвигу по аргументу (на λ1 ) для характеристического многочлена и, затем, — к сдвигу спектра (на −λ1 ):σ(ψ1 ) = { 0, λ2 − λ1 , ... , λs − λ1 },(26.22)§ 26Корневые подпространства289с сохранением алгебраических кратностей (m1 , m2 , ...
, ms соответственно).В частности, первое собственное значение для ψ1 оказывается равным нулю, и его алгебраическая кратность равна алгебраическойкратности собственного значения λ1 для ϕ.Разумеется, нумерация собственных значений не играет принципиальной роли и утверждения, аналогичные установленным выше,справедливы для всех эндоморфизмов ψi (i = 1, ...
, s).Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать основной результат пункта.Предложение 26.2. Размерность корневого подпространстваUi = Qλi (ϕ), отвечающего собственному значению λi ∈ σ(ϕ), равна алгебраической кратности этого собственного значения:dim(Qλi (ϕ)) = mi ; i = 1, ... , s.(26.23)Доказательство. Корневое подпространство Ui определялось (вп. 26.1) как стабильное ядро для л.э.
ψi . Согласно предложению 25.1,размерность стабильного ядра равна алгебраической кратности нулевого собственного значения. Но проведенный перед формулировкой предложения анализ показал, что алгебраическая кратность дляэлемента 0 ∈ σ(ψi ) совпадает с алгебраической кратностью mi дляэлемента λi ∈ σ(ϕ). ¤Зная размерность корневого пространства, мы можем теперь вычислить характеристический многочлен для сужения ϕ0i [см.
(26.6)]данного л.э. ϕ на подпространство Ui .Предложение26.3. Характеристический многочлен для суже¯0¯ния ϕi = ϕ U определяется формулойihϕ0i (λ) = (λ − λi )mi ,(26.24)где mi — алгебраическая кратность собственного значения λi .Доказательство. По предложению 26.1, л.э. (26.6) представляется в виде [см. (26.7)]: ϕ0i = λi εi + ψi0 , с нильпотентным слагаемым ψi0 , для которого вид характеристического многочлена определяется предложением 25.2 (в показателе фигурирует размерностьтого пространства, на котором рассматривается нильпотентный эндоморфизм; в данном случае — размерность Ui ):hψi0 (λ) = λmi .(26.25)290Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
