Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Эти векторы (в их исходномвиде) заносим в (n × p(l) )-матрицу G(l) и в самую верхнюю строкустолбчатой диаграммы (см. диагр. 25.1 в прил. 3).4l → 4l−1 . Расчет предпоследнего этажа.4l−1 .1. Если q (l−1) = 0 (нет ступеньки на предпоследнем уровне),то базис в C (l−1) составят образы векторов верхнего (последнего)этажа при действии оператора ϕ. Для их определения умножаемматрицу G(l) слева на матрицу A и получаем матрицуG(l−1) = A · G(l) ,n×nn×p(l−1)n×p(l)(25.29a)содержащую искомый (обработанный) базис в C (l−1) .4l−1 .2. Если q (l−1) > 0 (есть ступенька на предпоследнем уровне),то C (l−1) не исчерпывается образом ϕ(C (l) ) и надо искать (с помощью алгоритма 10.4) базис в каком-либо прямом дополнении D(l−1)к этому образу.
С этой целью составляется "трехзонная" конкатенация:¯¯µ¶¯¯ (l−1)(l−1)(l−2) ¯(l) ¯M= F.(25.30)¯A · G ¯ Fn×d(l−2)n×p(l)n×d(l−1)Матрица (23.30) приводится к ступенчатому виду; определяютсяномера "проходящих через ступеньки" векторов из третьей зоны; этивекторы (в их исходном виде) заносятся в матрицу H (l−1) размераn × q (l−1) ; она будет содержать базис в искомом прямом дополнении D(l−1) . Базис в C (l−1) фиксируем в матрице¯µ¶¯ (l−1)(l−1)(l) ¯G= A·G ¯ H.(25.29b)n×p(l−1)n×p(l)n×q (l−1)280Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Заметим, что при организации машинного счета приходится формировать матрицу H (l−1) и в том случае, когда D(l−1) = O; естественно, она полагается пустой (ее размер считается равным n × 0).Векторы-столбцы из матрицы (25.29a) [или (25.29b)] заносятся в(l − 1)-ю строку столбчатой диаграммы.4k → 4k−1 .
Расчет промежуточных этажей (3 6 k 6 l − 1) осуществляется совершенно аналогично расчету предпоследнего этажа.Имея (n × p(k) )-матрицу G(k) , содержащую базис в C (k) , мы находим (n × p(k−1) )-матрицу G(k−1) , содержащую базис в C (k−1) , какконкатенацию¯¶µ¯ (k−1)(k−1)(k) ¯,(25.31)G= A·G ¯ Hn×p(k−1)n×p(k)n×q (k−1)в которой правую зону занимает матрица H (k−1) , являющаяся подматрицей в F (k−1) и содержащая базис в подпространстве D(k−1) ,таком, чтоC (k−1) = ϕ(C (k) ) ⊕ D(k−1) .(25.32)Для отыскания H (k−1) составляется и приводится к ступенчатомувиду матрица¯¯µ¶¯¯M (k−1) = F (k−2) ¯¯ A · G(k) ¯¯ F (k−1) ;(25.33)n×d(k−2)n×p(k)n×d(k−1)затем по ступенькам (в третьей зоне) определяются векторы из матрицы F (k−1) , составляющие H (k−1) .В случае q (k−1) = 0 эта матрица оказывается пустой.42 → 41 .
Расчет первого этажа несколько проще предыдущихэтапов, вследствие тривиальности нулевого ядра. Изложенную вышеобщую схему можно сохранить, если считать матрицу F (0) пустой.Тогда конкатенация (25.33) приобретает вид:¯µ¶¯ (1)(1)(2) ¯M = A·G ¯ F;(25.34)n×p(2)n×d(1)добавочные векторы находятся по ступенькам во второй зоне этойматрицы (после ее приведения по Гауссу) и составляют (n × q (1) )матрицу H (1) . Формула (25.31) для завершающего этапа выглядитследующим образом:¯µ¶¯ (1)(1)(2) ¯G= A·G ¯ H.(25.35)n×p(1)n×p(2)n×q (1)§ 26Корневые подпространства281Векторы-столбцы этой матрицы заносятся в первую строку столбчатой диаграммы, после чего ее заполнение завершается.5.
Перенумерация векторов в столбчатой диаграмме. Все d(l)векторов, составляющих столбчатую диаграмму, следует перенумеровать в соответствии с правилом: столбцы диаграммы нумеруютсяслева направо, векторы в столбцах — снизу вверх. Именно в такомпорядке они заносятся в матрицуG0n×m= (g1 | g2 | ... | gm ) .(25.36)Результатом работы алгоритма считаются две матрицы: матрицаG0 , содержащая жорданов базис в стабильном ядре л.э., и квад-n×mратная матрица J0 , отвечающая в этом базисе сужению данногоm×mэндоморфизма на его стабильное ядро.Замечание 25.3. Если данный л.э. нильпотентен, то алгоритм 25.1автоматически приводит к построению жорданова базиса во всемпространстве.
(В самом деле, в силу предложения 23.4, стабильноеядро для нильпотентного эндоморфизма совпадает со всем пространством.)Замечание 25.4. Описанный выше алгоритм достаточно сложен,но не он представляет для нас практический интерес. Поэтому лишьпосле изучения БТЖ (большой теоремы Жордана; см. п. 27.2) иалгоритма 28.1 построения жорданова базиса во всем пространстведля произвольного л.э. будут приведены вычислительные примеры.(Работа алгоритма 28.1 будет содержать неоднократные обращения к алгоритму 25.1, причем именно они являются наиболее трудоемкими в вычислительном отношении этапами.)§ 26. Корневые подпространствадля линейного эндоморфизма26.1.
Корневые подпространства и корневые векторы.Пусть V — линейное пространство размерности n над полем P , ϕ —л.э., действующий в пространстве V , σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs } — егоспектр (предполагаемый непустым).282Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Для каждого собственного значения λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , s) рассматривается л.э.ψi = ϕ − λi ε.(26.1)В §§ 16 — 19 определялись и изучались собственные подпространства для л.э. ϕ, т.
е. ядра операторов вида (26.1):Wi = Sλi (ϕ) = Ker(ψi ); i = 1, ... , s.(26.2)Их исследование давало ценную (но не исчерпывающую) информацию о свойствах данного эндоморфизма. Благодаря §§ 23 — 25мы готовы к использованию не толького первого, но и последующих(вплоть до стабильного) итерированных ядер для эндоморфизмов ψi ,рассчитанному на получение более глубокой и полной информацииоб эндоморфизме ϕ.Для каждого из эндоморфизмов ψi (i = 1, ...
, s) рассмотрим последовательность итерированных ядер(k)Ni= Ker(ψik ); k = 1, ... , li ,(26.3)где li — показатель стабилизации для ψi .Обратите внимание на принцип нумерации ядер: нижний номерi — это номер собственного значения, а верхний номер k (в скобках) — это номер итерированного ядра (для оператора ψi ). В правойчасти равенства (26.3) k фигурирует без скобок, поскольку здесь этоне номер, а степень оператора ψi .Определение 26.1. Корневым подпространством для л.э. ϕ, отвечающим собственному значению λi ∈ σ(ϕ), называется стабильноеядро л.э. (26.1):(li )Ui = Qλi (ϕ) = Ni= Ker(ψili ); i = 1, ... , s.(26.4)Ненулевые элементы корневого подпространства (26.4) называются корневыми векторами для л.э.
ϕ, отвечающими собственному значению λi .Замечание 26.1. Поясним различные стили и уровни обозначений, используемые как в уже знакомой формуле (26.2), так и в новойформуле (26.4).Самые лаконичные обозначения, Wi (собственное подпространство) и Ui (корневое подпространство), ничего не говорят об обозначаемых объектах и используются исключительно из соображенийкраткости.§ 26Корневые подпространства283В более пространных обозначениях тех же объектов, Sλi (ϕ) иQλi (ϕ), указывается, какому оператору и какому собственному значению эти подпространства отвечают.Далее в формуле (26.4) раскрывается определение корневого под(l )пространства как ядра Ni i , номер которого равен показателю стабилизации li , т.
е. как стабильного ядра оператора ψi .Формулу (26.2) также можно дополнить в аналогичном стиле.Собственное подпространство представляется как первое из итери(1)рованных ядер: Sλi (ϕ) = Ni .Разумеется, собственное подпространство содержится в корневом;если li = 1, то они совпадают.
Собственные векторы являются частным случаем корневых векторов.26.2. Инвариантность корневых подпространств. В данномпункте устанавливается инвариантность корневых подпространствUi (i = 1, ... , s) как относительно исходного л.э. ϕ, так и относительновсех л.э. ψj (j = 1, ... , s), и, кроме того, характеризуются суженияуказанных эндоморфизмов на корневые подпространства.Предложение 26.1.
Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном линейном пространстве V и имеет непустой спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.Рассмотрим корневые подпространства (26.4) для этого эндоморфизма. Тогда1) каждое из Ui является инвариантным относительно соответствующего эндоморфизма ψi , причем сужение¯ψi0 = ψi ¯U(26.5)iявляется нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, равным показателю стабилизации li ;2) каждое из Ui является ϕ-инвариантным, причем сужение¯ϕ0i = ϕ¯U(26.6)iпредставляется в виде суммы скалярного и нильпотентного эндоморфизмов, а именно:(26.7)ϕ0i = λi εi + ψi0 ,где εi = εUi ;3) каждое из Ui является инвариантным относительно¯ любого изэндоморфзимов ψj с номерами j 6= i, причем сужение ψj ¯U являетсяiобратимым л.э.284Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Доказательство. 1. Согласно предложению 23.1, все итерированные ядра, включая стабильное, инвариантны относительно "своего" оператора (по которому они строятся). Корневое подпространство Ui является стабильным ядром для оператора ψi , и поэтомуψi -инвариантно.Далее, по предложению 23.3, сужение л.э. на свое стабильное ядроявляется нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, равным показателю стабилизации.
Значит, эндоморфизм (26.5) нильпотентен с показателем li .2. Как известно, любое подпространство инвариантно относительно скалярного л.э. Эндоморфизмы ϕ и ψi связаны соотношением (26.1), т. е. отличаются на скалярный эндоморфизм. Следовательно, ψi -инвариантность подпространства Ui влечет его ϕ-инвариантность.Если соотношение (26.1) сузить на Ui , то получится соотношение0ψi = ϕ0i − λi εi , из которого вытекает формула (26.7), являющаясяпредставлением оператора ϕi в виде "скалярный плюс нильпотентный".3. То же рассуждение, что и в предыдущем пункте, приводит квыводу о ψj -инвариантности подпространства Ui не только при j = i(это уже установлено), но и при любом j 6= i. ¯Для доказательства обратимости сужения ψj ¯U достаточно (в сиiлу предложения 15.2) убедиться в независимости подпространства Uiи ядра Ker(ψj ), т.
е. доказать тривиальность пересечения:Ui ∩ Ker(ψj ) = O.(26.8)Пусть x — ненулевой элемент подпространства Ker(ψj ), т. е. собственный вектор для л.э. ϕ, отвечающий собственному значению λj .Имеем равенство ϕ(x) = λj x, из которого, очевидно, следуетψi (x) = (ϕ − λi ε)(x) = ϕ(x) − λi x = λj x − λi x = (λj − λi )x.Результат этого вычисления можно итерировать. На втором шагеполучается:ψi2 (x) = ψi ((λj − λi )x) = (λj − λi )ψi (x) = (λj − λi )2 x.С помощью очевидной индукции приходим к общей формуле:ψik (x) = (λj − λi )k x; k = 1, 2, ...(26.9)§ 26Корневые подпространства285При любом натуральном k правая часть (26.9) является ненулевым вектором (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
