Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Неравенства (23.10) для итерированных рангов вытекают извключений (23.9) для итерированных образов.5. Соотношения (23.10) являются проявлением общей "жесткойсвязи" между рангом и дефектом для линейного отображения [см.формулу (14.25); здесь она применяется в частном случае, когда линейный оператор (гомоморфизм) является эндоморфизмом].6.1. Тривиальное подпространство N (0) = O является, как известно, ϕ-инвариантным.
Если же x ∈ N (k) (k > 1), т. е. ϕk (x) = 0,то ϕ(k−1) (ϕ(x)) = 0 и, следовательно, ϕ(x) ∈ N (k−1) . Этим доказановключение ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) . С учетом (23.7), получаем (23.12).6.2. Если x = ϕk (u) ∈ M (k) , то ϕ(x) = ϕk+1 (u) ∈ M (k+1) , что,вместе с (23.9), приводит к (23.13). ¤23.2. Теорема о стабилизации для л.э. В данном пункте будутустановлены более глубокие свойства последовательностей (23.7) —(23.10), две из которых, первая и третья, являются последовательностями линейных подпространств, а две другие — последовательностями неотрицательных целых чисел.
А именно, будет доказано§ 23Итерированные ядра и образы. Стабилизация257существование такого неотрицательного целого числа l 6 n (котороеполучит название показатель стабилизации для л.э. ϕ), что— при 0 6 k 6 l все четыре последовательности строго монотонны (первые две строго возрастают, две другие — строго убывают);— при k > l они стабилизируются, т. е. в каждой из последовательностей все члены, начиная с l-го, равны между собой.Точнее, имеет место следующаяТеорема 23.1. Пусть ϕ ∈ L(V ); dim(V ) = n. Существует неотрицательное целое число l 6 n, такое, что последовательности (23.7) —(23.10) имеют вид:O = N (0) < N (1) < N (2) < ...
< N (l) = N (l+1) = ... 6 V ;(23.70 )0 = d(0) < d(1) < d(2) < ... < d(l) = d(l+1) = ... 6 n;(23.80 )V = M (0) > M (1) > M (2) > ... > M (l) = M (l+1) = ... > O;(23.90 )n = r(0) > r(1) > r(2) > ... > r(l) = r(l+1) = ... > 0.(23.100 )Доказательство. Прежде чем начинать рассуждение, поясним,что в последовательностях (23.80 ) и (23.100 ) знаки < и > имеют обычный смысл строгих числовых неравенств, а в последовательностях(23.70 ) и (23.90 ) эти же знаки выражают отношения строгого включения между линейными подпространствами.Далее, особым является случай, когда л.э. ϕ является обратимым.Тогда обратимы и все его итерации ϕk (k > 0).
Согласно критериямобратимости л.э. из п. 14.3 (см. сводную таблицу), это равносильно— тривиальности всех итерированных ядер N (k) = O;— обращению в нуль всех итерированных дефектов d(k) = 0;— факту совпадения всех итерированных образов с полным пространством: M (k) = V ;— факту совпадения всех итерированных рангов с размерностьюпространства: r(k) = n.Выходит, что в особом случае стабилизация наступает с самогоначала, при l = 0.Далее считаем, что л.э. ϕ необратим и, следовательно, ядроN (1) = Ker(ϕ) 6= O,или, что равносильно, d(1) > 0.258Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Обратимся к (числовой) последовательности (23.8). По предположению, первое неравенство в ней является строгим. Все неравенствастрогими быть не могут, поскольку дефекты d(k) ограничены сверху размерностью n. Пусть l — номер первого из дефектов, которыйсовпадает со следующим за ним (другими словами: до номера l дефекты строго возрастают, а при k = l наступает первое совпадение:d(l) = d(l+1) ).
Поскольку каждое строгое неравенство дает приращение дефекта как минимум на единицу, этот номер l не может превышать n.В силу свойств размерности (см. предложение 5.6), совпадениедефектов влечет равенство ядер: N (l) = N (l+1) . Докажем, что эторавенство "продолжится до бесконечности", т. е. и все последующиеядра N (k) (k > l + 1) будут совпадать с N (l) .Действительно, имеет место включение N (l+1) 6 N (l+2) . Чтобыубедиться в том, что на самом деле оно является равенством, нужнодоказать противоположное включение.Возьмем произвольный элемент x ∈ N (l+2) .
Имеем: ϕl+2 (x) = 0.Значит, ϕl+1 (ϕ(x)) = 0 и элемент ϕ(x) принадлежит ядру N (l+1) ,которое, по предположению, совпадает с N (l) . Но тот факт, чтоϕ(x) ∈ N (l) , влечет равенство ϕl+1 (x) = ϕl (ϕ(x)) = 0 и, следовательно, принадлежность x ядру N (l+1) . Требуемое включение доказано.Итак, равенство l-го и (l + 1)-го ядер влечет равенство (l + 1)-го и(l + 2)-го ядер. Очевидно, что и дальше, до бесконечности продолжится цепочка из совпадающих ядер.То из утверждений теоремы, которое относится к итерированнымядрам [т. е.
(23.70 )], установлено. Утверждение (23.80 ) из него немедленно следует (по свойствам размерности).Теперь обратимся к последовательности итерированных рангов.Ранги связаны с дефектами соотношениями (23.11), поэтому строгоевозрастание дефектов влечет строгое убывание рангов.
А когда (приk = l) дефекты стабилизируются (начнут совпадать), то же самоепроизойдет и с рангами. Утверждение (23.100 ) доказано; (23.90 ) изнего следует (опять же, в силу свойств размерности). ¤23.3. Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимнаядополнительность. Ниже дается определение уже упоминавшегося (в начале предыдущего пункта) показателя стабилизации, а такжедругих "стабильных характеристик" для л.э.Определение 23.2. Натуральное число (номер) l, начиная с которого наступает (описанная в теореме 23.1) стабилизация итериро-§ 23Итерированные ядра и образы. Стабилизация259ванных ядер, дефектов, образов, рангов, называется показателемстабилизации для л.э. ϕ.Стабильными ядром, дефектом, образом, рангом называются соответственно N (l) , d(l) , M (l) , r(l) .Установим важную особенность взаимного расположения стабильного ядра и стабильного образа как линейных подпространств данного пространства V .
Нулевое ядро тривиально, а нулевой образсовпадает со всем V. С ростом номера k ядро N (k) расширяется, аобраз M (k) сужается. Оказывается, что в момент стабилизации онистановятся взаимно дополнительными.Предложение 23.2. 1. Стабильное ядро N (l) и стабильный образ M (l) линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V ) являются взаимно дополнительными ϕ-инвариантными подпространствами, т. е.V = N (l) ⊕ M (l) .(23.14)2. Сужение ϕ на второе прямое слагаемое в (23.14) является обратимым л.э.Доказательство. 1. Согласно предложению 23.1, свойством ϕ-инвариантности обладают все итерированные ядра и образы, в томчисле и стабильные.
Докажем независимость подпространств N (l)и M (l) (т. е. тривиальность их пересечения).Возьмем любой элемент x ∈ N (l) ∩ M (l) . С одной стороны, этотэлемент должен удовлетворять условию ϕl (x) = 0, а, с другой стороны, — допускать представление в виде x = ϕl (u) для некоторогоu ∈ V. Для элемента u получается равенство:ϕ2l (u) = ϕl (ϕl (u)) = ϕl (x) = 0.Следовательно, u ∈ N (2l) . Но N (2l) = N (l) (поскольку 2l > l).Поэтому u ∈ N (l) , т. е.
ϕl (u) = 0. Вывод: x = 0. Тривиальностьпересечения доказана.Из независимости рассматриваемых подпространств и из того, чтосумма их размерностей равна n, следует (см. предложение 9.2) равенство (23.14).2. Первое ядро N (1) = Ker(ϕ) содержится в стабильном ядре, следовательно (только что доказанная) независимость стабильного образа со стабильным ядром влечет его независимость с ядром Ker(ϕ).260Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3¯Согласно предложению 15.1, сужение ϕ¯M (l) является мономорфизмом. В силу инвариантности M (l) , это сужение есть л.э.
Следовательно, его мономорфность влечет (см. п. 15.4) его обратимость. ¤Замечание 23.1. Вспомним введенное в п. 20.2 понятие фильтрации в линейном пространстве и заметим, что итерированные ядра(с номерами k 6 l) образуют фильтрацию в стабильном ядре. Этафильтрация является ϕ-инвариантной. Подчеркнем, однако, что (вотличие от п. 20.2) происходит она не из какой-либо (ранее введенной) прямой суммы. Имеется, однако, возможность, выбирая в каждом N (k) (k = 1, ..., l) какое-либо прямое дополнение C (k) к болееузкому ядру N (k−1) , такую прямую сумму восстановить:N (k) = N (k−1) ⊕ C (k) ; k = 1, ...
, l;N(l)=lMC (k) .(23.15)(23.16)k=123.4. Теорема о стабилизации в случае нильпотентного л.э.Понятия нильпотентного л.э. и нильпотентной квадратной матрицыуже возникали у нас "мимоходом", в примере 13.4 и п. 13.8 (см.также пример 21.1). Сейчас мы приступаем к их систематическомуизучению.Определение 23.4. Л.э. ϕ ∈ L(V ) называется нильпотентным,если существует натуральная степень k этого эндоморфизма, равнаянулевому оператору: ϕk = o. Наименьшее из таких чисел, т. е.l = min{k ∈ N : ϕk = o},(23.17)называется показателем нильпотентности для л.э.
ϕ.Очевидно, что единственным нильпотентным оператором с показателем нильпотентности l = 1 является нулевой оператор.Всякий нильпотентный л.э. необратим (в противном случае нетолько он, но и все его степени были бы обратимыми эндоморфизмами). Из этого следует, в частности, нетривиальность ядра длянильпотентного л.э.В примере 13.4 (см. также пример 23.1 ниже) показано, что оператор дифференцирования ϕ = 0 на (n + 1)-мерном пространствемногочленов V = Rn [x] нильпотентен с показателем l = n + 1.§ 23Итерированные ядра и образы. Стабилизация261В примере 19.1 объяснялось, что всякий л.э., будучи суженнымна свое ядро, становится нулевым (стало быть нильпотентным с показателем 1). Очевидно, если второе итерированноеядро N (2) для¯оператора ϕ строго шире первого, то сужение ϕ¯N (2) является нильпотентным оператором с показателем нильпотентности 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
