Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Действительно, пусть скалярыλ1 , λ2 , ... , λsпопарно различны и каждый из них встречается на диагонали матрицы A (соответственно)m1 , m2 , ... , msраз. Перестановкой базисных векторов можно добиться того, чтобы одинаковые диагональные элементы шли подряд. Тогда матрицу(21.2) можно будет представить в блочном виде:λ E1 m1A=λ2 Em2..,.(21.4)λs Emsгде каждый диагональный блок λi Emi есть скалярная (mi × mi )матрица, а внедиагональные (нулевые) блоки не показываются.Характеристический многочлен для матрицы (21.4) будет иметьвидhA (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ... (λ − λs )ms ,(21.5)§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы239из которого ясно, что натуральные числа mi (i = 1, ... , s) представляют из себя не что иное, как алгебраические кратности соответствующих собственных значений.Важно также то, что в данном случае сумма всех алгебраическихкратностей равна размерности пространства V :0m =sXmi = n.(21.6)i=1В случае диагонализируемого оператора не составляет труда определить и геометрические кратности ni собственных значений λi(i = 1, ...
, s). Согласно формуле (18.14), они выражаются через ранги матриц Bi = A − λi E:ni = n − rank(Bi ).(21.7)В данном случае, скажем, матрица B1 имеет видOm1B1 = A−λ1 E = (λ2 − λ1 )Em2.. , (21.8).(λs − λ1 )Emsс нулевым (m1 × m1 )-блоком Om1 . Поскольку в остальных блокахна диагонали стоят ненулевые скаляры, то rank(Bi ) = n − m1 и,следовательно, n1 = n − (n − m1 ) = m1 .Аналогичные равенства получаются для остальных i. Таким образом, для любого i = 1, ..., s имеем:ni = m i .(21.9)В силу (21.6), оказывается справедливым следующее равенстводля суммы геометрических кратностей:0n =sXni = n.(21.10)i=121.2. Диагонализируемость на инвариантном подпространстве. В некоторых случаях диагонализируемость линейного эндоморфизма ϕ может иметь место не на всем пространстве V, а нанекотором ϕ-инвариантном подпространстве W 6 V (ϕ(W ) ⊆ W ).240Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Определение 21.10 . Линейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ), называется диагонализируемым на ϕ-инвариантном линейном подпространстве W 6 V (размерности k), если в подпространстве W существует базис B 0 = ¯[ b1 , b2 , ... , bk ], относительно которого суженныйэндоморфизм ϕ0 = ϕ¯W ∈ L(W ) имеет диагональную матрицу.Просто "диагонализируемый" л.э. — это эндоморфизм, диагонализируемый на всем пространстве. С целью достижения единообразия формулировок, считается, что любой л.э. является диагонализируемым на тривиальном (нулевом) подпространстве.Предложение 21.1. Всякий л.э. ϕ диагонализируем на своейсобственной сумме S(ϕ).Доказательство. Во-первых собственная сумма (т. е.
прямаясумма W 0 = S(ϕ) всех собственных подпространств) является (см.предложение 19.2) ϕ-инвариантным подпространством.Во-вторых, это подпространство распадается в прямую сумму(также ϕ-инвариантных) подпространств Wi = Sλi (ϕ) (i = 1, ... , s),причем для любого i сужение данного л.э. на Wi является (см. предложение 19.1) скалярным эндоморфизмом¯ϕ0i = ϕ¯ = λi εi ,(21.11)Wiгде εi = εWi .Значит, если выбрать приспособленный к указанной прямой сумме базис в W 0 , то в этом¯ базисе, в силу предложения 20.4, суженному0эндоморфизму ϕ = ϕ¯W 0 будет отвечать блочно-диагональная (а вданном случае фактически — диагональная) матрицаλ E10=Dn0 ×n0m1λ2 Em2... ¤.(21.12)λs Ems21.3.
Критерий диагонализируемости линейного эндоморфизма. В п. 21.1 выявлены некоторые необходимые условия диагонализируемости л.э. В частности, такие эндоморфизмы обязаныиметь базис из собственных векторов. Другое необходимое условие: сумма геометрических кратностей всех собственных значенийдолжна равняться размерности пространства. Ниже мы докажем,что каждое из этих условий является не только необходимым, но идостаточным для диагонализируемости эндоморфизма.§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы241Теорема 21.1. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном линейном пространстве V и пусть его спектр представляет из себя множествоσ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ...
, λs },(21.13)причем геометрические кратности собственных значений равны (соответственно) n1 , n2 , ... , ns и сумма этих кратностей равна n0 .Следующие три утверждения равносильны:(1) л.э. ϕ является диагонализируемым;(2) в пространстве V существует базис, составленный из собственных векторов для ϕ;(3) сумма геометрических кратностей всех собственных значенийравна размерности данного пространства: n0 = n.Доказательство.
В пункте 21.1 уже установлено, что утверждение (1) влечет (2) и (3). Вполне очевидно, что (2) также влечет (1).(Если все векторы bi , составляющие некоторый базис B пространства V, являются собственными для ϕ, то для любого i = 1, ... , n мыимеем ϕ(bi ) = λi bi , где λi ∈ P. Значит, оператору ϕ в базисе B отвечает диагональная матрица и диагональ ее составляют скаляры λi .)Чтобы "замкнуть круг", достаточно доказать, что (3) ⇒ (1). Ноесли n0 = n, то собственная сумма W 0 = S(ϕ) совпадает со всем пространством V , и диагонализирующий базис, который, в силу предложения 21.1, существует в W 0 , оказывается для ϕ диагонализирующим базисом во всем пространстве.
¤21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализируемость квадратных матриц. Согласно общему факту изоморфизма между алгебраическими системами линейных операторов иматриц, кольцо линейных эндоморфизмов L(V ) изоморфно кольцуквадратных матриц L(n, P ), причем конкретный изоморфизм (арифметизация) фиксируется после выбора какого-либо базиса в пространстве V. Если в базисе B оператору ϕ отвечает матрица A, то вновом базисе B0 (переход к которому от старого базиса B задаетсяматрицей T ) оператор ϕ будет иметь подобную матрицуA0 = T −1 AT.(21.14)Квадратную матрицу A естественно назвать диагонализируемой,если она подобна диагональной матрице. Очевидно следующее242Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Предложение 21.2.
Линейный эндоморфизм диагонализируемтогда и только тогда, когда диагонализируема его матрица. ¤21.5. Линейные эндоморфизмы (квадратные матрицы) спростым спектромОпределение 21.2. Говорят, что линейный эндоморфизм ϕ, действующий в n-мерном пространстве V , имеет простой спектр, еслион имеет ровно n попарно различных собственных значений.Данное определение можно "представить на языке матриц": л.э.обладает простым спектром тогда и только тогда, когда его матрица (в каком-либо и, следовательно, в любом базисе) имеет ровно nпопарно различных характеристических корней.Предложение 21.3. Л.э. с простым спектром является диагонализируемым.Доказательство.
Пусть л.э. ϕ, который действует в n-мерномпространстве V, имеет простой спектр:σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λn }.(21.15)Тогда каждая из алгебраических кратностей mi = 1. Но и геометрические кратности должны быть равны единице, посколькуменьше они быть не могут, а их сумма n0 не должна превышать n.Выходит, что n0 = n, и, следовательно, в силу теоремы 21.1, эндоморфизм ϕ является диагонализируемым. ¤Замечание 21.1. В некоторые вопросы линейной алгебры (какправило, над числовыми полями) может активно "вмешиваться" топология.
Например, оказывается, что любая числовая матрица слюбой степенью точности приближается диагонализируемыми матрицами. Поэтому, доказав какую-либо теорему для диагонализирумых матриц, часто можно утверждать, что "по непрерывности" онаостается справедливой для произвольных матриц.Если вам симпатично такое содружество и взаимодействие алгебры, топологии и анализа, то вы найдете для себя много интересногов оригинальной и очень содержательной книге В. В.
Прасолова [20].21.6. Примеры недиагонализируемых л.э. Если для линейного эндоморфизма удается найти диагонализирующий базис, то мы§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы243можем считать, что узнали об этом операторе всё. Характер его действия полностью определяется его собственными значениями, которые, как мы помним, фигурируют в качестве диагональных элементов в диагональной форме его матрицы.Однако, увы, диагонализирумыми являются не все линейные эндоморфизмы.Пример 21.1.
Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном (гдеn > 1) пространстве V (над произвольным полем P ) и имеющий внекотором базисе этого пространства матрицу следующего вида:λ0 100 ... 000 ... 00 0 λ0 10 λ0 1 ... 00 0(21.16)00 λ0 ... 00 ,A = Jn (λ0 ) = 0n×n ... ... ... ... ... ...
... 0000 ... λ0 10000 ... 0 λ0где λ0 ∈ P.У нас уже имело место предварительное знакомство с матрицамитакого вида — в примерах 13.4 и 13.5; там же был введен терминжорданов ящик (ж.я.) и "небанальное" обозначение (с заключениемящиков в ящики).Характеристический многочлен для матрицы (21.16) имеет, очевидно, следующий вид:hA (λ) = (λ − λ0 )n .(21.17)Единственным характеристическим корнем (алгебраической кратности m0 = n) является λ0 . Найдем геометрическую кратностьn0 собственного значения λ0 . Для этого достаточно вычислить рангматрицы0 1 0 0 ... 0 0 0 0 1 0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
