Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

→0 0 00108323324Спектральная теория линейных эндоморфизмовµ→(3)F2¶111/203/21/21−200010−110−3/2−1/2−1−1−1/2000=00000100000101−1001000001000000100100000−16220−243−81−162000000−162−810−243−81−1620000000000000000000000000−162−162−810−243−81−1623/21/21(4)F2 (3) ; d2 = 6;−81→ (1211/20;−162 0 −162 04B2 =  0 0Гл. 3324324 0  → ... →0 0 00324−2 ) ;−1−1/2−3/20−1/2−1000=0000000100001000010000100001000001000001000000 (4) ; d2 = 7.(4)Констатируем достижение стабилизации: d2стабилизации: l2 = 4.= m2 ; показатель22 .2. Определяем параметры столбчатой диаграммы D2 , занося ихв следующую таблицу, с нумерацией строк снизу вверх, что приспособлено к строению будущей диаграммы:§ 28Алгоритм построения жорданова базиса325Таблица 28.1(4)d2(3)d2(2)d2(1)d2(4)= 7;= 6;= 5;= 3;p2(3)p2(2)p2(1)p2= 1;= 1;= 2;= 3;(4)q2(3)q2(2)q2(1)q2= 1;= 0;= 1;= 1.Во втором столбце таблицы приведены приращения итерированных дефектов, равные длинам строк диаграммы D2 .

Сама эта диаграмма приведена в приложении 3 (диагр. 28.1).22 .3. Вычисляем "большой" блок J2 , отвечающий второму собственному значению, общий размер которого равен алгебраическойкратности m2 = 7. Количество "малых" блоков (ж.я.) на диагонали(1)"большого" равняется геометрической кратности n2 = d2 = 3.Распределение ящиков по размерам определяется по абсолютнымвторым приращениям (см. третий столбец табл. 28.1) :(4)— имеется q2 = 1 ящик четвертого порядка J4 (−2) ;(3)— ящиков третьего порядка J3 (−2) нет, поскольку q2 = 0;(2)— имеется q2 = 1 ящик второго порядка J2 (−2) ;(1)— имеется q2 = 1 ящик первого порядка J1 (−2) .Иначе говоря, каждому столбцу в D2 соответствует один ж.я.,размер которого равняется высоте столбца.Обратим внимание на то, что в рассматриваемом примере фактически отсутствует группировка ж.я.

одинакового размера в такназываемые "средние" блоки. Это усматривается как по значениямвторых приращений, так и по столбчатой диаграмме: зоны, объединяющиее столбцы одинаковой высоты, имеют длины, не превышающие единицы.Окончательно:³J2 = diag´J4 (−2) , J2 (−2) , J1 (−2).22 .4. Благодаря вычислениям п. 22 .1, мы располагаем базисами(k)в итерированных ядрах N2 (k = 1, 2, 3, 4) для л.э. ψ2 . Эти бази(k)сы заключены в (фундаментальных) матрицах F2 . Первая из них326Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3содержит базис в первом ядре, совпадающем с собственным подпространством W2 = Sλ2 (ϕ); последняя — базис в корневом подпространстве U2 .

Но это — не те базисы, векторы которых заносятся вячейки столбчатой диаграммы D2 .Найденные базисы подлежат довольно кропотливой обработке.[Данный этап является по-настоящему сложным. Причем еслипредыдущие "сложности" привносились другими (внешними) алгоритмами (такими как алгоритм вычисления определителей или алгоритм отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами), то здесь проявляется "собственная сложность" алгоритма построения жорданова базиса.]На диагр. 28.1 (прил.

3) векторы жорданова базиса G2 уже занумерованы как полагается: столбцы — слева направо, векторы встолбцах — снизу вверх. Однако эти векторы и составленная из них(8 × 7)-матрицаG2 = (g1 | g2 | g3 | g4 | g5 | g6 | g7 )пока неизвестны. И определяться они будут начиная с самых верхних, с продвижением вниз "по стрелкам". По очереди подлежатвычислению следующие матрицы:(4)(3)(2)(1)G2 = (g4 ) ; G2 = (g3 ) ; G2 = (g2 | g6 ) ; G2 = (g1 | g5 | g7 ) .(k)Каждая из матриц G2 содержит базис в некотором прямом до(k−1)(k)полнении к ядру N2в ядре N2 ; выбор дополнений не однозначен, но должен быть согласованным. Вертикальные стрелки надиаграмме предназначены для "визуализации" принципа согласования.22 .4.1. Начинаем процесс с определения самого верхнего вектора g4 . Составляем и приводим к ступенчатому виду следующую матрицу-кокатенацию:(4)M2³=(3)F2¯´¯ (4)=¯F 2§ 28Алгоритм построения жорданова базиса2−1/2−1−1−1/2 200010000001−1100−1/2−3/20−1/20000001000001000000100000001001000001000001000100001 0 0 →0 0 0 10000010000002−3/2−1/2−1−1−1−1/2−3/20−1/21000000010001−100000010001000010−1000010000000000010000010 0 0 .1 0 0000001−1010000→ 0000−1/2 2−1−1000=000−3/2327−1По тем ступенькам, которые приходятся на правую зону, мы должны определить добавочные векторы, дополняющие базис в третьемядре (представленный левой зоной матрицы), до базиса в четвертомядре.

Зная параметры диаграммы, мы заранее уверены в том, чтотакой вектор окажется единственным. И действительно, на правуюзону пришлась всего одна ступенька. Добавочным будет второй сле(4)ва столбец из матрицы F2 ; именно этот вектор (в его исходномвиде) мы принимаем за g4 : −1(4)G2= (g4 ) = 000001.022 .4.2. Теперь мы совершим первый шаг вниз. На третьем уровне(3)(3)отстутствует ступенька (q2 = 0), поэтому матрица G2 находитсяпростым умножением:(3)(4)G2 = B2 · G2 .328Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

3(Напомним, что матрица B2 задает действие л.э. ψ2 .)В данном случае обе матрицы являются одностолбцовыми и фактически мы вычисляем вектор g3 = B2 · g4 :(3)G2−7−5−30−8−3−72212−12−6−31−9−4−51011−11−1−10−10−11111−121010001−6−5−21−8−4−5 1 −6 0= (g3 ) =  −1 113 −3 −1 12   0  ·2   −2   0−211100000 0 1   1   1 =  . 0   1  0122 .4.3. Следующий шаг вниз осуществляется "в три приема":— сначала "по стрелке" определяется вектор g2 , который должен(2)входить первым в матрицу G2 :    −7−5−30−8−3−72212−12−6−31−9−4−51011−11−1−10−10−11111−121010001−20−1−6−5−21−8−4−51111 1 −6 0g2 = B2 · g3 =  −1 11302−3 1    12   1    0  1· =2  0   −2   1    10100;— затем составляется и приводится к ступенчатому виду следующая тройная конкатенация¯¯³´(2)(1) ¯(3) ¯ (2)M2 = F2 ¯B2 · G2 ¯F2,где левая и правая зоны содержат необработанные базисы в первом ивтором ядрах соответственно, а центральная зона (в данном случае)является одностолбцовой (сводится к уже найденному вектору g2 );вычисления дают:¯¯0−11 ¯ 2 ¯ 1/2 −1/2 −1/2 −1 1¯¯0−1 ¯ 1 ¯ −1−1001 1¯¯01 ¯ 0 ¯ 10000 0¯¯01−1 0  1 −1 0 ¯ 1 ¯ 0(2)M2 = ¯¯→1 ¯ 0 ¯ 01000 −1 0¯¯00 ¯ 0 ¯ 00100 1¯¯010 ¯ −1 ¯ 00010¯¯001100001§ 28Алгоритм построения жорданова базиса100→ ...

→ 000−1−11010000¯¯ 1¯¯ 2¯¯ 0¯¯ −2¯¯ 0¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−1−1001/2−1/2−1/2−110001/23/23/20−3/43/43/4032910 ;−2 10— и, наконец, мы определим вектор g6 как добавочный (из правой зоны), где, в согласии с параметрами столбчатой диаграммы, онобнаруживается в единственном числе (на третью зону приходит(2)ся одна ступенька): можно взять первый столбец матрицы F2 , вего исходном виде (кстати, можно взять не обязательно первый, а,например, второй или третий, но никак нельзя — пятый или четвертый; при алгоритмической организации вычислений естественновыбирать "первый попавшийся" из подходящих векторов); итак, вы(2)бираем g6 и формируем G2 :1/221/21−1011000000−10010 −1  1  0 (2)g6 =  ; G2 = (g2 |g6 ) =  0  0 .22 .4.4.

Последний шаг вниз (на первый уровень) имеет особенность, связанную с тем, что ниже этого уровня уже ничего нет. Поэтому, вместо тройной конкатенации, фигурировавшей на предыдущем шаге, будет использоваться двойная:(1)M2³= B2 ·(2)G2¯´¯ (1)F,¯ 2в которой левая зона, вычисляемая умножением, дает векторы g1 иg5 , а из правой зоны мы должны будем извлечь последний из искомых векторов g7 .330Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

3Результаты вычисленияй:(2)B2 · G2−7−5−30−8−3−72212−12−6−31−9−4−51011−11−1−10−10−11111−121010001−6−5−21−8−4−5 1 −6 0= −1 1=(1)M2=00 −1  ; g1 = −1/2 1/2 1/20100−11−3/201/2001−10−1/201/2−13/200−3/2011001003/2−100¯¯ 0¯¯ 1¯¯ 0¯¯ 1¯¯ −1¯¯ 1¯¯ 0¯01−10113 21/21−101100000−2−101110−3  12   0  ·2   −2   −3/21−1001001001= 1/2  0  −1  ; g5 = ; −1/2  1/2 3/20−1 01 → ... → 00−3/21/20¯¯0¯¯1¯¯0−1001−3/201/20011−100−1/2101/200−13/201001 −1   1   0 (1)g7 =   ; G2 = (g1 |g5 |g7 ) =  1   0  11−1  ;1−1 .22 .4.5.

И вот, наконец, мы можем предъявить матрицу, содержа-§ 28Алгоритм построения жорданова базиса331щую жорданов базис во втором корневом подпространстве:G2 = 120−1−3/21/2101101/2−100100111110−1000000−1/20100101/200−1−1013/2000110001−1 .3 — 4. Остаются завершающие этапы работы.

Характеристики

Список файлов книги