И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Уравнение окружности в полярных координатах г=2асоыр записать в декартовых координатах. линии н их хгзвнкния (гл. и Выражаем г и соз ф через х и у х х г = - - у х' -)- у', сов ф = — = У хз+ у* Подставляя этн выражения в данное уравнение, после упрощений получим: х'+ у' — 2ах = О. Упражнения 1"'. Построить кривую, заданную уравненяем х у=-4а'(2а — у). (Зта кривая носит название лакана Аиьеэи.) 2э.
Построить кривую, заданную уравнением г= 1О з!и 2ф. (Зта кривая называешься четырехлзаесглкозой розой.) 3. Построить кривые, заданные уравнениями: — 4 а) у = х*; б) у = х'! в) у = х'! г) у = к' + 2; д) у = — хь — 6; е) у' = х'.
4. Построить кривые, которым в полярных координатах соответствуют уравнения: а) с=аз!пЗф; б) г=а сов Зф; в) г=а сов 2ф; г) г=а(! — соя ф). 6. Построить кривые, заданные в полярных координатах уравнениями: а) г=2 — сов ф; б) г=З вЂ” 2з1п2ф! в) г=2 — з!пЗф. 6. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от точки А ( — 5, 3).
7. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Ох и от точки Р (О, 4). Построить кривую. 6. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки А (3, 0) остается вдвое меньше расстояния от точки В ( — 6, 0). 9. Определись траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки Р ( — 1, 0) остается вдвое меньше расстояния ог лг' прямой х= — 4.
д !Оь. Найти уравнение геометрического ме- В сга точек, произведение расстояний которых до а двух данных точек Р и !) есть величина постоянная, олвиая т*. Расстояние между Р и О равно А 2а. (Зто геометрическое место точек называется авилом Кассини,) 11остроить эту линию. 1!ь. Овал Кассини (см. упражнение 10) для Рис.
35. случая, когда т =- а, называется лемиискатой Бернулли. Найти >равнение лемнискаты: а) в декартовых координатах н б) в полярных координатах.Построи~ь шу кривую. 12ч. Даны прямая Ох и на расстоянии а от нее точка А (рис. 35). Если прямая АВ будет вращагься около точки А, то точки М, и Мз, лежащие иа этой прямой и отстоящие от точки В пересечения прямой АВ с основной прямой Ох на данное расстояние Ь, опишут гу некоторую линию. Она называется конхоидой г Никомеда. Найти уравнение копхонды и ностра- !уз ить ее для случаев а ) Ь, а = Ь и а ( Ь.
А а д 1Зь. Даны прямая Оу и точка А на расстоянии а от нее (рис. Зб). Вокруг точки А вращается луч Рнс. 36. АВ и на нем в обе стороны от точки В (точки пересечения луча с осью Оу) отложены переменные отрезки ВМ, и ВМ, равные по длине ОВ. При вращт!ин луча АВ точки М, и М, описывают криву!о, пазы. ваемую строфоидой. Составить уравнение этой крйвой и построить ее. эчнгджнгпия 45 14".
Даны окружность диаметра 00 = 2а н касательная к ней ОЕ (рис, 37). Через точку О, диаметрально пропгвоноложную точке О, проведен луч ОЕ н на нем отложен отрезок ОР, равный отрезку ВЕ, закжочающемуся между окружностью и касательной. Если луч ОЕ будет вращаться око- У ло точки О, то точка Р опишет кривую, называемую цнссоидой Аиокле- В са, Найти уравнение этой кривой н Я построить ее. р 1йе.
Ланы окружность радиуса а н па ней точка О (рис. 38). Если прямая д Яа ОВ будет вращаться около ~очки О, то точки М, и М„находящиеся на данной прямой н отстоящиенаданноерасстояннет от точки В пересечения пря- Рис. 37. Рнс. 38. мой с окружностью, опишут кривую, называемую у гнткой Паскилл '), Найти уравнение этой кривой в полярных координатах и построить ее. (Кривыс вычерзнть для случаев т > 2а, т= 2а и т < 2а.) 16. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. 17. Лве пряные вращаются вокруг двух неподвижных точек, оставаясь все время перпенднкулярпымн друг к другу.
Найти уравнение линии, описываемой точкой нх пересечения. !8. Из точки М нроведепы к двум окружностям радичсов В и г две равные касательные. Найти уравнение геометрического места точек М при условии, что расстояние между пснтрамн окружностей равно 2й. 19.
Отрезок постоянной длины 2а скользит своими конками по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла на этот отрезок опушен перпендикуляр ОМ. Найти уравнение геометрического места оснований этих перпендикуляров в полярных координатах и построить эту линию. 20. Найти геометрическое место тачек, сумма квьдразов расстояний которых от сторон квадрата равьа постоянной величине. 21. Написать уравнение писсоиды х' = — у*(2а — х) в полярных координатах. 22. Написать уравнения кривых: а) г = гл + 2а сов~у (улигка Паскаля); б) г = а зй 2~р (четырехлепестковзя роза) в декартовых координатах.
23е. Круг радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс. Найти параметрические уравнения липин, описываемой прн указанном движении той точкой окружности, которая при начальном положении окружности находилась в начале координат. 24. Тело брошено вверх со скоростью е под углом се к горизонту. Найти, пренебрегая сопротивлением воздуха, параметрические уравнения траектории тела (зз параметр принять время). ') Лля частного случая, когда т = 2а, эта ливня называешься кардиоидой. ГЛАВА В! ПРЯМАЯ ЛИНИЯ й 1.
Угловой коэффициент прямой. В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойство, характсризусощее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами.
Таким образом, мы получим уравнение липни. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий. Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей. Предварительно иы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величии, характеризующих положение прямой на плоскости, Назовем углом наклона прямоо к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей).
Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против нли по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180' тюва совместит ес с примой, то угол наклона прямой Рнс. 39. Рнс. 40. к оси Ох может быть выбран не однозначно )с точностью до слагаемого, кратного и). Тангенс этого угла определяется однозначно )так как изменение угла на и не меняет его тангенса). Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловылс коэффициентом прямой. б 2) хгавнвнив пгямой линии с хгловым коэгмщнвптом 47 Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем лвух взаимно противоположных направлений прямой).
Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол нзклоиа прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффипиент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, ие имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует). 9 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
Рассмотрим прямую линию, ие параллельную осн ординат. Положение ее на плоскости будет вполне определено, если задать угол наклона прямой к осн абсцисс и величину отрезка, отсекаемого 6 — -- ы ею на оси ординат, т. е. величину направ- 1 ленного отрезка оси ординат, началом которого является начало координат, а кон- Ь 1 цом — точка пересечении прямой с осью Оу. 1 Ь а Обозначим угол наклона прямой к оси ! Ох через ~р, а величину отрезка ОВ, ат- О Р секаемого прямой на оси Оу, через Ь.
Пусть М(х, у) — произвольная точка прямой (рис. 41). Когда точка М движется Рнс. 41. по прямой, то ее координаты х и у, изменяясь, остаются все время связанными между собой некоторым условием. Посмотрим, каково это условие. Рассмотрям направленный отрезок ВЧ. Зная координаты его начала и конца В (9, Ь), М (х, У), выразим проекции его на оси координат (гл. 1, 5 9) пр„ВЛ=х, пр ВЛ4=у — Ь. Тогда по формуле (16) гл, 1, б 9 получим: к-ь (в гр= — ° к Отсюда у — Ь=хткф, или у=х(я~р+Ь и окончательно у=йх+Ь, где Ь= (Кгр.
48 [гл. и прямая линия Этому уравнению удовлетворяют лишь координаты точки рассматриваемой прямой; оно нарушается, если точка «е лежит на прямой. Таким образом, полученное уравнение (1) является уравнением заданной прямой линии, Уравнение прямой вида (1) называется уравнением прямой е угловым ковффияиентом, Урзвнение (1) мы получили, считая, что прямая не параллельна оси Оу.
Посмотрим теперь, какое уравнение будет иметь прямая, параллельная оси Оу. Пусть а — абсцисса точки пересечения втой прямой с осью Ох (рис. 42). Очевидно, любая точка прямой имеет абсциссу, равнуго а; если же точка не лежит на прямой, то абсцисса ее будет отлична от а. Следовательно, эта прямая имеет уравнение (2) Итак, если прямая не параллельна оси Оу, то ее уравнение может быть записано в форме (1), если же прямая параллельна оси Оу, то ее уравнение может быть записано в форме (2), Так как уравнения (1) и (2) являются уравнениями первой степени относительно переменных х и у, то тем самым мы доказали, что в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени. В частности, если прямая проходит через начало координат, то Ь= О и уравнение такой примой будет иметь вид: Если прямая параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ес й= О, и уравнение прямой булет у=Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
