И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 11
Текст из файла (страница 11)
45). Тогда ф,+Е= ря будет, очевидно, углом наклона прямой (И) к оси Ох. Отсюлг Е=ф,— фм и если прямые (!) и (И) не являются перпендикулярными, то (по Я) известной формуле тригонометрии) 1,9=1,(ф,) 1йр* — (йф ' =1+1аф.13%' Заметив, что гяф,=й, и (пфе= =Вы получим: За меча нив 1, формула (9) определяет тангенс угла, образованного вращением вокруг точки Л4 пряРнс. 45. мой с угловым коэффициентом и, до совмещения ее с прямой, имеющей упювой коэффициент йм Это можно запомнить, записывая формулу так: !+Й,а,' 3 а и е ч а н и е 2. Если речь идет об угле между двумя прямымн и не указан порядок, в котором они рассматривзются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, изменение порядка повлечет за собой изменение знака для тангенса угла.
3 а м е ч а н и е 3. Если хотя бы одна из данных прямых параллельна осн Оу, то формула (9) не имеет смысла. В этом случае, считая, например, что параллельна оси Оу вторая прямая, угол между прямыми вычислим по формуле и е= — — р,. 2 П ример 1. Найти угол между прямыми 9=2х — 3 и Зх+у — 2=0. Если перенумеровать прямые в том порядке, кая оня заданы, то угловой козффвпнеят прямой (1) будет «,=2, в для прямой (!1) будет а,=- — 3. — 3 — 2 Тогда по формуле (9) получим 1аа = — =1, откуда 1=45'.
1 — 2 3 $8) услОВия ПАРлллельности и пкРпендикуляРности 55 Пример 2. Найти угол между прямыми л — 2у+З=О и к — 3=0. и 1 Здесь ф,= —. Угловой коэффициент первой прямой равен —, э угол ее г 2 ' 1 наклоня к осн бх равен щ,=эгс!2 —. Согласно замечанию 3 2 ' и 1 з = — — аттй —. 2 ' ф 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямык.
Прямые параллельны н том и только в том случае, если раз ~ы тангенсы углов наклона их к оси Ох, т. е. (К Ч' г = 18 'рэ ~ или (10) Итак, условие (необходимое н достаточное) параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Условие параллельности двух прямых можно получить н непосредственно из формулы (9). В случае перпендикулярности прял~ых (н только з этолг случае) можно считать, что и ч'э гр Отсюда следует, что Р'+ 2 нли Ф р,=(8 ~ р, + — )= — ~)я р„ откуда 18гр 1аф = — 1 А,Ф, = — 1.
нли окончательно (11) П р н и ер 1. Прямые 2к — Зу+1 =0 и 4х — Ор — 3=0 параллельны. 2 В самом деле, угловые коэффициенты этих прямых суть Е = —, 4 2 б 3' = — = —, т. е. условие параллельности зынотмно, Таким образом, условие (необходимое и достаточное) перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно — !. (гл. !и 36 ПРЯМЬЯ ЛИНИЯ Пр имер 2. При каком значении а уравнение я=ах+ ! определяет прямую, перпендикулярную к прямен у=.
2х — !т Угловой коэффициент второй прямой а,=2. Условие перпендикулярности ! лает 2а= — 1, откуда Ф=- — —. 2 ' 9 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть даны точка А(х„у,) и угловой коэффициент й, определяющий направление прямой линии, проходящей через точку А. Уравнение этой прямой будем искать в виде у= Ах+ Ь, (12) !де неизвестное Ь дол кно быть определено нз условии прохождения прямой через точку А(х„ у,). Так как точка А (х„ у,) лежит на данной прямой, то коорлинаты ее должны удовлетворять уравкению (12).
Подставляя в уравнение (12) вместо текущих координат координаты х„ у„ получим; у, =-Фх, +Ь. (13) Из условия (13) нужно определить Ь н подставить найденное значение в уравнение (12). Другими словами, нужно исключить Ь из уравнения (12) и равенства (13), что мы сделаем, вычитая (13) нз (12); таким образом, получим уравнение прямой линии, проходящей через точку (х„ у,) н имеющей направление, определяемое угловым коэффициентом Й: у — у,=й(х — х,).
(14) Ясно, что в форме (14) может быть записано уравнение всякой прямой, ие параллельной оси Оу. Уравнение прнмои, проходящей ~ерез данную точку А(х„у,) параллельно оси Оу, будет иметь вид (гл. !П, 9 2): х=х,. 3 а м е ч а и и е. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку плоскосзи, называется пучкол прямах, а общая ьь точка — кено!ром лучка. Если в уравнении (14) под и будем понимать величину, принимающую всевозможные числовые значения, то это уравнение будет определять совокупность прямых, проходящих через точку А (х„ у,), т, е.
пучок прямых с центром в точке А (х„ у,) [в форме (14) чожно записать уравнение любой из прямых пучка, кроме одной— !юраллельной оси Оу|. П р им ер 1. Сеставнгь уравнение прямой, проходящей через точку ! — 3, 4) н наклоненной х осн Ох под углом в 133'. уравнение прямой можно записать е форме (И). Здесь х, = — 3, р~ — — 4, Ь = !К !35' = — ! ° 9 9) звлвнвние пгямой, проходящий чкгяз данную точку 5? Следовательно, искомое уравнение будет у — 4гс — 1(х+ 3), илн х+у — 1 =О.
П р и м е р 2 Составить уравнение прямой ликии, проходящей через точку (1, 2) параллельно пряной 2х — Зу+ 1 = О. Угловой коэффициент й прялюй линии, для которой нужно состзвиэь 2 уравнение, равен угловому коэффициенту й, = — данной прямой в силу условна параллельности этих пряных.
Такнм образом, полагая в уравнении (14) й = †, х, = 1, у, = 2, получим искомое уравнение: 2 3' 2 р — г= — (. — 1), 3 нли, умножая на 3, Зр — б = 2 (х — ! ), или Зу — б = 2х — 2, откуда окончательно находим: 2х — Зу+ 4 =О. П р и м е р 3. Составить уравнение прямой линик, проходящей через точку ( — 1, 1) перпендикулярно к пряыой Зх — у+ 2=0.
Искоммй угловой козффипиеит обозначим через йо угловой коэффиднепг данной прямой й„кзк видно из ее уравнения, равей 3. Условие перпснди. кулярности й,/г, = — 1 пам дает ! Зй,= — 1, откуда Д = — —. 3 ' Таким образом, искомое уравнение 1 у — 1 = — — (х + 1), или Зр — 3 = — х — 1, 3 и окончательно х+ Зр — 2=0. П р к м е р 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, — 1) и сосзавлвющей угол в 45' с прямой 5х — 2у+З=О. Угловой коэффккиент прямой, для которой требуется составить уравнение, будем искать по формуле (9) ($ 7) Так как в условии задачи не сказано, от какой нз прямых следует вести отсчет угла, то поставленная задача имеет даа решения.
Для получения одного из иих в формуле (9) будем считать 5 > (у!лозой коэффициент данной прямой), З =45', ле — искомыи угловой .,озф фнпиент, Тогда будем иметь. 5 А —— й 2 1= —, 5 1+ — й 7 откуда да= в — и искомое уравнение 3 7 у+ 1= — — (х — 2), 3 58 [гл. >и пгямлн линия илн (носле упрощений) 7х + зу — 11 = О.
Б Другое решение мы получим, положив в формуле (9) В,= —, 1=43' н 3 нахоДЯ йп БУДем иметь В>= —; искомое УРавненне 1 7 3 у+ 1 = — (х — 2), пли Зх — Уу — 13 = О. й 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскостн. Если две прямые лежат на плоскости, то возможны трн различных случаи взаимного расположения их: 1) прямые пересекаются (т. е, имеют олну общую точку), 2) прямые парзллельны и це совпадают, 8) прямые совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если прямые заданы своими уравнениями А,х+В,у+С, =О, А,х+ В,у + С, = О.
(15) Если прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, то коорлинаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям (15). Следовательно, для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить совместно их уравнения. С этой целью всключим сначала неизвестное х, для чего умножим первое уравнение на А„ а второе на А, и вычтем первое из второго. Будем нметгн (А,В, — А,В,) у+ С А, — С А, = О.
Чтобы исключить из уравнений (15) неизвестное у, умножим первое из них на В„ а второе на В, и вычтем второе из первого. Получим: (А,В, — А,В,)х+С,В, — С,В,=О. (15") Если А,В, — А,В, ~ О, то из уравнений (15') н (15") получим ре- шение системы (15): В,С, — В,С, С,А, — С,А, Заметим, что поскольку каждая нэ найденных прямых составляет с данной прямой угол 43О, то между собой онн должны быть перпендикулярны; дейст- 7 3 вительно, угловые коэффициенты этих прямых равны — — и 3 7 э 10) взаимное глсположания двух пгямых на плоскости 59 формулы (16) дают координаты х, у точки пересечения двух прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
