И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Воаиодя в квадрат обе части, найдем: х' — 2сх+ с*+у'= =4а* — 4а )г(х+с)*(-у'+х'+2сх+с'+уь, 76 элемвнтлгнля твогия конических сечвний (гл, гт Возводя снова в квадрат, получим: с'х'+ 2а'сх+ а' = а' (х'+ 2сх+ с'+у'), нлн с'х'+ а' = а'х» + а'с'+ а'у', т. е (а' — с*) х' + а'у' = а' (а' — с"). Разделив обе части нз а'(а' — с'), получим: (2) Так как по условию с (а, то а' — с' есть положительная вслнчннз; сс принято обозначать через Ь'. Тогда уравнение эллипса булет: «» у» — + — =1, а' Ь» где положено Ь* = а* — с'.
уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса ') Займемси исследованием формы эллипса. Это легко сделать, отправляясь от составленного уравнения (3). 1) Симметрия зллипса. Так как уравнение (3) содержат только квадраты текущих координат, то если точка (х, у) находится на эллипсе, то и точки (+. х, +-у) находятся иа эллипсе при произвольном выборе знаков у координат; следовательно, осн координат явлиются осями симметрии эллипса.
Ось симметрии эллипса, на которой располагаются фокусы, называется фока«экой осью. Точка пересечении осей симметрии — центр симметрии в называется ламаром эллипса. Для эллипса, заданного уравнением (3), фокальная ось совпадает с осью Ох, а центром явлиется начало координат. 2) Точки пересечения с осями симметрии, Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вергиинами. Эллипс, заданный уравнением (3), имеет вершины в точках пересечения его с осими координат, тзк как последние являются осями сия»петрин„Полагая в уравнении (3) у=О, найдем абсциссы точек пересечения эллипса с осью Ох: к' ໠— =1, о.скула х'=а' и х=+-а. Полагая х = О, найдем ординаты точек пересечения эллипса ') Рчэвндно, уравнению (3) удовлегворяют координаты лобов точки, лежащей на эллипсе, Можно показать, что уравнение (3) не дает «лишних» точек, не прннаалежащнх эллипсу, несмотря на то что лля получения уравнения (3) нам пришлось два раза пол»зова»ься ноззедсннем в квадрат обеих частей размьлва, ТУ й 4! гипегнолА и ее Асныптоты с осью Оу: Вг=1, ОтКуда у'=Ь' И у=.л-й.
Следовательно, верпгинамн эллипса будут точки: А, (а, 0), А,( — а, 0), В,(0, й), В,(0, — д) (рис. 50). Отрезки А,А, и В,В„соединяющие противоположные вершины эллипса, а также нх длины 2а и 26, назывзют соответственно болвшой и лгалой осями эллипса. Длины а и Ь называют соответственно большой и малой полуосями эллипса. З Форма эллипса. Чтобы исследовать форму эллипса, достаточно считать в уравнении (3)х~О и у~О, потому что, как было выше замечено, эллипс симметрично расположен относителыю х' осей координат.
Из уравнения (3) следует, что —,~1, нлн х(а, и* т. е. х может изменяться от 0 до а. С увеличением х от 0 до а ордината у гге уменьшается от Ь до О. Таким образом, эллипс имеет форму, указанную А г на рис. 50. Г й(еханическое построение эллипса. Зная фокусы Р, и Р, и длину 2а большой оси, легко механи- г чески построить эллипс. Нужно взять Рнс. 50. нить длиной 2а, укрепить два ее конца в точках Рг и Р, и, придав ей форму Р,МР„ описать точкой М эллипс (в точке М поместить острие карандзша). При ах б (с = О) уравнение (3) принимает внд х' +у' =а' и определяет окружность. Поэтому окружность можно рассмзтрнвать как эллипс с равными полуосями. й 4.
Гипербола н ее асимптоты. Гиперболой называется геометрическое место токе~, разность расстояний которых до двух данных точек, называелгмх фокусами, еств величина постоянная (эта постоянная должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами) '). Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами через 2с и выберем оси координат так же, как и в й 3. Пусть М (х, у) — произвольная точкз гиперболы. ') Ясно, что эта постоянная не может быть больше расстояния между фокусами Р, н Р;, если она равна расстоянию между фокусами, то рассматриваемое геометрическое место состоит нз совокупности тех точек прямой, проходящей через фокусы, которые лежат вне отрезка Р,Р,. Геометрическим местом точек, разность расстояний хогорых до двух данных точек равна нулю, являегся перпендикуляр, проведенный х отрезку Р,Р, в его середние.
73 ЗЛЕМЕНТЛРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ (гл. 1ч По определению гиперболы Р;М вЂ” Р,М=.+- 2а. В правой части равенства нужно выбрать знак плюс, если ),М > Р,М, и знак минус, если г",Мч. Р;М, Так как 7',М = )г (х+ с)'+у' и РгМ =-)' (х — с)'+у', то последнее равенство можно записать в виде: ')гг(х+с)'+у" — )/(х — с]'+у' = ! 2а. Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Освобождаясь в атом уравнении от радикалов (как и в й 3), можно привести уравнение к простейшему зилу. Переносн первый радикал в правую часть равенства и возводя обе части в квадрат, после очевидных преобразований получим: .+-а)/(х+с)'+у'=а'+сх, Возвели еще раз обе части равенства в квадрат, сделав при- всление подобных членов и разделив на свободный член, получим: У' (2) Так как с >а, то величина с' — а' положительна.
Обозначая ее через Ь', т. е. полагая йа са аа (4') получим каноническое уравнение гиперболы: У 1 (3') Исследуем форму гиперболы. 1) Симметрии гиперболы. Так как уравнение (3') содержит только квадраты текущих координат, то оси координат вшяются осями симметрии гиперболы (см. аналогичное утверждение для эллипса). Ось симметрии гиперболы, на которой расползгаютси фокусы, назывзется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии †цен симметрии в называется центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (3'), фокальная ось совпадает с осюо Ох, а центром являешься начало координат.
2) Точки пересечения с осями симметрии. Найдем точки пересечения гиперболы с осями симметрии — вергиины гиперболы. Полагая в уранненни (3') у = О, найдем абсциссы точек пересечения гиперболы с осью Ох: ь —,=1, откуда х = а и х =+-а. ь г о' ') Очевидно, уравнению (3') удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей гиперболе. Можно показать, чго ему не буд1т удовлетяорять координаты точек, не лежащих на гиперболе, ГипеРБОлА и ее Асиыптоты Следовательно, точки А,(а, 0) и А,( — а, 0) явлнются вершинами гиперболы (рнс.
51); расстояние между ними равно 2а. Чтобы нзйти точки пересечения с осью Оу, положим в уравнении (3') х =О, Получим для определения ординат этих точек уравнение уь — — =1, нли у'= — Ь, ь' откуда у =+-)У:Ъ* =-+- й |~' — 1, т. е. для у мы получили мнимые значения; это означает, что ось Оу не пересекает гиперболы. В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, на- Рнс. 51.
зывзется действиюельной осью симметрии (сйохальной осьюК ось симметрии, которая не пересекает гиперболы, называется мнимой осью симметрии. Для гиперболы, заданной уравнением (3'), действительной осшо симметрии является ось Ох, мнимой осью симметрии — ось Оу.
Отрезок А,А„ соединяющий вершины гиперболы, а также его длина 2а называются дейслгвительной осью гиперболы. Если на мнимой оси симметрии гиперболы отложить в обе стороны От ее центра О отрезки ОВ, и ОВ, длиною Ь, то отрезок В,В„ а также его длина 2Ь называются мнимой осью гиперболы. Величины а и Ь называются соответственно действительной и мнимой лолуослми гиперболы. 3) Форма гиперболы, При исследовании формы гиперболы достаточно рассмзтрнвать положительные значения х и у, потому что кривзя симметрично расположена относительно осей координат. к' Так как из уравнения (3') следует, что —, ) 1, то х может изменяться от а до +со.
Когла х увеличивается от а до +по, то у тоже увеличивается от 0 до +оо. Кривая имеет форму, изображенную на рис. 51. Она располагается вне полосы, ограниченной прямыми х=+-а, и состоит нз двух отдельных ветвей. Для любой точки М одной из этих ветвей Е,М ) Е,М и Е,М вЂ” Е,М =2о (правая ветвь), для любой точки М другой ветви Е,М > Е,М и Е,М вЂ” Е,М=2а (левая ветвь). 4) Асин птоты гиперболы, Чтобы более ясно представить себе вил гиперболы, рассмотрим две прямые линии, тесно с нею связанные — так называемые асимптоты. Предполагая х и у положительными, разрешим уравнение (3') гиперболы относительно ординаты йп 80 алемантлгная твогия конических сачяний (гл.
гя откуда у = — )' х* — а*. (з") ь Сопоставим уравнение (3") с уравнением прямой линии у = — х, а называя соответствующими две точки гь'(х, г') н М(х, у), расположенные соответственно на втой прямой и на гиперболе н имеющие одну и ту же абсциссу х (рис, 51), Очевилно, У)у н разность г' — у ординат соответствующих точек выражает расстоя- ние между ними, т. е. МФ= 1' — у. Покажем, что при неограниченном возрастании х расстояние М)ч', убывая, стреми~си к нулю. В саном деле, ь ь М:"ь' = У вЂ” у =- — х — —" ,х' — а', о и откуда ММ= — (х — )е х — а') =— Ь (х — Ь . — ьь)(х-~-У вЂ” П и х+ )рх' — иь После упрощении получим: ММ= ==, х+ г' х' — а' Из последней формулы мы усматриваем, что при неограничен- ном возрастании абсциссы х расстояние М)ч' убывает и стремится к нулю.
Отсюда следует, что когда точка М, двигаясь по гипер- боле в первом квалранте, удаляется в бесконечность, то ее рас- Ь стояние до прямой у= — х уменьшзется и стремится к нулю. То а же обстоятельство будет иметь место при движении точки М по гиперболе а третьем квадранте (вследствие симметрии относи- тельно начала координат 0). Наконец, вследствие симметрии гиперболы относительно оси Оу мы Ь получим вторую прямую у= — — х, симметрично расположенную а Ь с прямой у= — х, к которой также будет неограниченно прнблиа жаться точка М при движении по гиперболе к удалении н беско- нечность (во втором н четвертом квадрантах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
