И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(4) П р и ме р, Составить уравнение прямой линии, огсеквощсй на осн орли. нат отрезок, величина которого равна — 2, и нак..оненной к осн ансннсс под углом з 4З'. Здесь Ь = — 2 и А =ги 45'=1. Следовательно, искомое уравнеоае у=в — 2. й 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными. В предыдущем параграфе было показано, что в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнснием пеРвой степени. Естественно теперь поставить обратный вопрос: всякое ли уравнение первой степени относительно переменных х и у определяет прямую? Чтобы ответить на этот $ 3) гвоматрический смысл трлвнений нарвой степени Ф9 вопрос, рассмотрим уравнение первой степени общего вида и выясзим, каково геометрическое место тех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют этому уравнению.
Мы покажем, что искомым геометрическим местои точек является пргошя линни. Общее уравнение первой степени относительно х н у имсот вид: Ах+ Ву+ С= О, (5) Здесь А, В и С вЂ” произвольные числа; при этом, коне п>о, коэффициенты А и В при перемени>ех не могут быть одновременно равны пулю (иначе уравнение (5) не содержало бы переменных х и у и не было бы уравнением). Разрешим уравнение (5) относительно у (предполагая, то В=>- О). Получим: А С у= — — х —— В О А С или, вводя обозначения — †. — а.- й и — †' = Ь, В Я Но мы впделн в предыдущем параграфе, что уравнение (1) является уравнением прямой линии, имеющей угловой коэффициент й и отсекающей па оси ординат отрезок величиной Ь.
Наши рассуждения мы проводилн в предположении, что коэффициент В в уравнении (5) отличен от нуля. Если >ке В=О, то уравнение (5) имеет вид: Ах+ С=О. В таком случае, решая это уравнение относительно х, получим: С х= —— А Г.' или, вводя обозначение — — = а, А х=а, (2) Но мы уже видели ранее ($2), что уравнение (2) являстсв уравнением прямой линни, параллельной оси Оу.
Таким оГ>разом, вопрос, поставленный в начале этого параграфа, решен: мы показали, что валкое уравнение первой степени втнв. сительно текущих координат определяет прктую лини>о. В соответствии с этим уравнение (5) пазываегся облиим уравнением лритой. Подводя итог изложенному в Я 1 и 2 этой главы, мы можем сказать, что прямая линия, н только она, можсг быть представлена в декартовой системе координаг уравнением псовой с>сосни относительно текущих координат х и у. 3 И. И.
Привалов бо (гл. иг пгямля линия 3 а и е ч з н и е. Зля приведения уравнения первой степени к виду (1) нужно решить его относительно у. Тогда коэффициент прн х в таком уравнении будет угловым коэффициентом прямой, а свободный член будет давать величину отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.
Этот внд уравнения прямой особенно важен. Из изложенного следует, что графиком линейной функции от х, т, е. многочлена первой степени относительно х, является прямая линия, и обратно, если графиком некоторой функции от х является прямая линия, то эта функция может быть записана в виде многочлена первой степени от х. Отсюда происходит назвзние: линейная функция («прямолинейная»). П р н м е р. Написать уравнение с угловым козффнцнентом дла прямой линии, заданной уравнением 2х+ ау+ 7 =0. Разрешнв данное уравнение относительно р, получим: 2 7 у= — — х — —, 3 3 2 Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой а = — —, а величина 3 ' 7 отрезка, отсекаемого ею на осн ординат, Ь= — —.
3' й 4. Исследование общего уравнения первой степени А,х+ +Иу+С=О. Как мы видели, общее уравнение первой степени Ах + Ву + С = О (5) определяет прямую линию. Посмотрим, какое положение занимает эта прямая линия по отношению к координатным осям, когда один или два коэффициента уравнения (5) обращаются в нуль. 1. С= О. В этом случае урзвнение (5) имеет вид: Ах+ВУ=О и определяет прямую, проходящую через начало координат, так как это уравнение удовлетворяется при х=у=О.
2. А = О. Уравнение (5) имеет нид: Ву+С=О, пли где обозначено Для всех точек такой прямой линии ордняата у имеет постоянное значение, т, е. прямая линия расположена параллельно оси Ох на расстоянии от нее, равном (Ь) (выше оси Ох, если Ь вЂ чис положительное, и ниже оси, если Ь вЂ” число отрицательное). % 5) угаэнеииз пгямой линии В отгезклх 3. В=О. В этом случае уравнение (5) принимает внд: Ах+С=О С или ( обозначая — — = а) А и определяет прямую, параллельную оси Оу.
4. С=О, В=О, Уравнение (5) принимает вид: пли Прямая совпадает с осью Оу. 5. С=О, А =О. Уравнение (5) приводится к виду у = О. Пряман совпадает с осью Ох. й 5. Уравнение, прямой линии в отрезках. Мы уже говорили о том, что положение прямой линии по отношению к координатным осям можно определять различными спосо- у бами.
В зависимости от способа задания прямой мы будем получать различные формы се уравнения. Рассмотрим прямую линию, пересекавшую обе координатные осн и не прокодяптую через начало координат. Положение прямой можно определить, указав величины ЛФа, р а и Ь отрезков, отсекаемых прямой соот- 0 ветственно на осях Ох н Оу (оа рис. 43 Рнс. 4З, а=всл ОМ, Ь=всл ОФ). Найдем уравнение этой прямой. Уравнение такой праной можно записать в видс Ах+ Ву+ С= О, (5) где ни один нз коэффициентов А, В, С не равен нулю. Остается найти коэффициенты уравнения (выразить нк через параметры а и Ь). Так как точка М(а, О) лежит на данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5): Аа+С=О, откуда С А=— а (гл. ги 52 пгнмия линна Аналогично и координаты точки АГ(0, Ь) должны удовлетворить уравнению (5), что даст ВЬ-+С= — О, или С В= —— Ь (7) Подставляя значения А и В из равенств (6) и (7) в уравнение (5) прямой, получим: Деля обе части равенства на С (по условию Сф О), найдем: — — — — -(-1=0, х у а Ь или — + — =1 х р а Ь (8) Отсюда слелует, что уравнение прямой в отрезках будет — + — =1.
и — ! 2 3 (8') уразнснне (8') можно получить и путем формальных преобразований данного уравнения. Действительно, перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим: 2х — Зу = — 2. Деля обе части равенства на — 2, будем иметь: 2х Зу — — + — =1. 2 2 Переписывая зто уравнение в форме (8), получим окончательно: — + — =1. 2 '1 Уравнение примой, записанное в форме (8), носит название уравнения в отрезках. П ример. Уравнение прямой 2х — Зр+2=0 написать в отрезках.
Так как точка (а, 0) лежит па данной прямой, то ее координаты удовле- творяют уравнению прямой. Следовательно, 2а+ 2=0, откуда а= — 1, Аналогично, подставляя координаты точки (О, Ь) в уравнение прямой, найдем: — ЗЬ+ 2=0 илн Ь= — —. 2 3' угол между двумя пгямыми и б. Построение прямой линии по ее уравнению. Чтобы построить прямую линию, достаточно извести на чертеж две какие- нибудь ее точки, Для отыскании координат какой-либо точки, лежащей на прямой, выбираем произвольно значение одной из координат н по уравнению прямой находич соответствующсе значение второй координаты.
П ример 1. Построить прямую, заданную уравнением 2х — у — З=О, Палажнм, например, х=1; тогда 2 — у — З=О. илн у —.— 1. Следовательно, точка К(1, — 1) лежит яа прямой. Лналагнчна, полагая, напрякер, х= — 1, найдем тачку М ( — 1, — 5), также лежащую на прямой. Зауми най. дсннымн точками определяется прямая (рнс. 44), П р имер 2. Пашранть прямую 2х+ Зу=о. Так как в уравнении 2х+ Зу= — О отсутствует свободный член, та, прямая, определяемая этим уравнением, прахаднт через начала координат. Чтобы найти точку прямой, отличную ат начала, наложим х равным, например, 1; тогда 2 + Зу =О, нлн 2 у= —. 3 ' 2 '1 Следовательно, тачка (1, — — ~ лежит на пря- 3/ май.
Остается провести прямую через зту тачку н начало каарлннат. 3 а и е ч а н и е. Практически при построении прямой удобно использовать уравнение в отрезках, или найти точки пересечении прямой с осями координат. ф 7. Угол между двумя прямыми. Пусть даны две прямые (!) и (И). Углом между прямымн (1) и (И), рассматриваемыми в указанном пор я д к е, будем называть тот угол, на который нужно повернуть прямую (1), чтобы она совпала с (Н) (илн стала ей параллельна).
Знак угла устанавливается по обычному правилу. Так как при добавочном повороте на угол н прямая снова займет начальное положение, то ясно, чта угол между прямыми (!) и (И) определяется не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного гг). Одно из значений угла можно всегда выбрать так, чтобы оно было неотрицательным н меньшим гг. Практически зто значение угла обычно и рассматривается. Пусть прямые (1) и (И) заданы уравнениями у=л,х+О, [гл. Пп пРямАя линия Обозначим через ф, угол наклона прямой (!) к оси Ох и через Е угол, на которнй нужно повернуть прччую (!) до совпадения с (И) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
