И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Л (х„ у,), В(х„ у,) н С(х„у,) (рис 23), Выразим площадь треугольника через коорлинаты его вершин Пусть СА = г(„СВ= г(, и ~р — угол между направленными отрезками СА и СВ (т. е угол, на который нужно повернуть Рис 23. отрезок СА вокруг точки С, чтобы его направление совпало с нанравлениен отрезка СВ; как и обычно, угол будем рассматривать со знаком). Как известно, площаль треугольника Так как гр=а,— а„тле а, и а,— углы между осью Ох и направленными отрезками СА и СВ, то 1 1 — г1,г(, а1п гр = — г(,с(, яп (а, — а,) = 1 = — (г(, соз а,д, яп а, — с', соз а,г(, яп а,).
Используя фориулы (15) предыдущего параграфа, получим: д, соз а, = х, — х„г(, яп а, =у, — у„ г(, соз а, =-- х, — х„с(, яп а, =у, — у,. Тогда для площади треугольника булем иметь следующее выражение: 1 В = — ~(х, — х,)(у, — у,) — ( , — х,)(у, — у,)!. (17) (гл. в 8О матов коо?динлт Пользуясь понятием определи!ели (гл. Ы, й 1), можно получен- пуво формулу представить в виде 1!х,— х, У,— у, (17') 2,х,— х, у,— у, В формуле (17') нужно взять знак + или —, смотря по тоиу, будет ли определитель положительным нли отрицательным.
В частности, если вершина С лежит в начале координат, то х,=у,=О и мы получим: о — + ( у* — х у )=!-— (17 ) в в П р и и е р. Опрсделить площадь треугольника АВС, вершины которого суть А (1, 2), В( — 2, 3). С(0, 5). Здесь х,=1, у,=2, хз= — 2, о,=з, х,=0, у,=б. Следовательно, по формуле (17) площадь треугольника .4ВС равйа: Я= — ((1 — 0)(3-5) — ( — 2 — 0)(2 — 5) (=4 кв. единииач. ! 2 Если трн точки А, В, С лежат на одной прямой, то треуголь- ник АВС вырождается в отрезок и имеет площадь, равную пуп!о, т. е. 5=0.
В этом случае формула (17) для В обратится в равен- ство О = 2 1(~! — хз) (Ув — Уз) (хз хз) (У, Уз)1! ! или (х, — х,)(у, — у,) =(х, — х,)(у, — у,), (18) что можно записать в виде пропорции: (18') "в Хв уз уз Последнее равенство связывает координаты трек точек А, В, С тогда и только тогда, когда этн точки лежат нз одной прямой. Счедовательно, написанная пропорция выражает условие, лри моторола трп точки лежат ма одной пряжей. П р и мер !.
Узнать, лежат ли точки А (1, 2), В(2, 3), С(3, 4) на одной прямой. Здесь х, = 1, у, = 2, х, = 2, у, = 3, х, = 3, у, = 4. Условие (18') обра! — 3 2 — 4 щается в,—,= —, т. е. 2=2, н, следовательно, удовлетворяется. Таким 2 — 3 3 — 4' образом, трв данные точки лежат Па одной прямой, Пример 2. Прн каком условии точки А(х„у,), В(х„у,) н начало координат лежат на одной прямой? Здесь координаты третьей точки х„ у, равны нулю, и условие (18') перь ходит в равенство: х! у! х, у, ' т, е.
две точки лежат на одной прямой с началом координат тогда, когда их координаты пропорциональны. полигн!ае коогдш>лты 3 а и е ч а и и е, ГГереход от (18) к (18') можно сделать лишь прн условии, что ни одно из чисел х,— х, и у,— у, нс раве> иушо. Олпако, так как равенство (18') более удобно для запоминания, то условимся записывать его и в случае обращения знаменателей в нуль. Только тогда, конечно, вту запись нужно будет понимать не буквально, так как на нуль делить нельзя, а условно.
Будем считзть, >то равспство (18') всегла означает то же, что (18), т. е. что произведение крайних членов (х, — х,)(у, — у,) равно произиедению средних членов (х, — х,)(у, — у,). Например, б-= 1' значит, что х, 1 =у,.О, т. е, х, =О. ф 11. Полярные координаты. Для определения положения точки на плоскости, кроме рассмотренной выше декартовой прямоугольной системы координат, довольно часто применяется полярная система координат. Пусть на плоскости даны некоторая точка О (назовем ее полюсом) и проходящая через пее ось Ог> (назовем ее полярной осью), а также указана елиница масштаба. Будем определять положение произвольной точки М г плоскости по отношению к полюсу и полярной оси.
Назовем полярным радиусом точки «> М ео рзсстояние г= ОМ от полюса и ло- Рис. 24. лярным углом точки М угол >р между полярной осью и направленным отрсзком ОМ (рис. 24); условимся, кроме того, угол >р брать в границах — п<" >р ~ и, Тогда, очевидно, каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел г, гр (исключением является полюс, дли которого г= О, а >р произвольно). Обратно, каждой паре чисел г, >р(гр: О, — и( гр ( я) соответствует единственная точка плоскости, для которой г является полярным радиусом, а >р — полярным углом, Полярный радиус и полярный угол точки будем называть ес аолярнь>ми яоординаптпми.
Полярные координаты условнмсн записыа вать в скобках после буквы, обозначающей точку, указывая сначала г, а потом >р! М (г, >р), 3 Г 3 Пример. Построить точку А ( 2, — и) 4 й в полярной системе координат. 3 Проведем через полюс ось под углом — ат к поРис. 25. ларной осн (лругимн словами, повернем поляр- 3 ную ось на угол — я) и отложим от полюса в положительном направлении построенной осн отрезок ОА, равный по длине двум единицам, Конец А итого отрезка и будет искомой точкой (рис. 23). (гл.
« МЕТОД КООРДИНАТ Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной я той же точки. Пусть даны декартова система коордянат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью абсписс (рис. 26). Обозначим через х и у декартовы координаты произвольной точки М, через г и «р — ее полярные координаты. й(ы знаем, что у = пр„ОМ х=пр„ОМ, Рнс, 2б.
(гл. 1, ф 9, формулы (14')) и, с другой стороны, пр„ОМ=гсоз«р, пр ОМ=гап«р (гл. 1, й 9, формулы (12)). Поэтому х = г соз «р, у=гз«п«р. (19) т. е. г*= — х'+у', г=3/ х'+у'. откуда (20) Далее, из равенств (!9) получим: тз «р= — ° р х ' (21) По формуле (21) определяется тангенс полярного угла «р; при этом получаются два значения «р (напомним, что — пс, «р --.и), лежащие в разных четвертях. Так как у=ггйп«р, то из этих двух значений угла «р нужно выбрать то, длн которого синус имеет тот же знак, что и у, Пример.
Даны декавтовы координаты точки М: к=1, р= — 1. Найти полярные коорлина«ы. По формулам (20) и (2!) имеем г=')Г1-(-! =3/2, 12«р= — 1. =3 = и Я Из двух значений ф= — и и «р= — — нужно взять «р= — — так как 4 4 1 з!и «р в данном случае должен иметь о«рипа«взьный знак. Формулы (19) выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Чтобы найти полярные координаты точки, зная ее декартовы координаты, возведем обе части каждого из равенств (19) в квадрат и затем сложим их почленно. Получим: х' + у' = г' (сов' «р + юп' «р), упгажнения Итак, полярные координаты данной точки г=У2, ф= — —.
4 ' Замечание. Для введенных нами полярных координат г «О, — л<, ф =л. Однако такое ограничение иногда оказываешься стеснительным; в дальнейшем мы будем считать, что г и «р могут принимать любые значения от — оо до + аа. В таком случае построение точки по ее полярным координатам г н «р условимся производить следующим образом. Проведем через полюс О ось под углом «р к полярной оси(т. е., другими словами, повернем полярную ось на угол «р, делан, в случае надобности, несколько полных оборотов) н отложим от полюса отрезок ОМ длино«о 1г) в положительном направлении построенной оси, если г ) О, и в отрицательном при гк, О, Конец М этого отрезка будет искомой точкой. Очевидно, прн таком построении полярный радиус точки М равен величине направленного отрезка ОМ, лежащего на оси, проведенной под углом «р к полярной оси.
Существенно, что паре любых действительных чисел г и «р соответствует единственная точка М. Именно поэтому вти числа и считаются координатами точки. Заметим еще, что формулы (19) остаются справедливыми не только при г~ О, — лч. ф = л, но и в общем случае. Для доказательства втого нужно воспользоваться выражениями проекций направленного отрезка ОМ на оси координат через его и е л и- чину г и угол ф между осью Ох и осью, на которой лежит втот направленный отрезок (гл. !, й 9, формулы (13)).
В атом случае при нахождении г из формулы г'=х'+у' радикал можно брать с любым знаком г =.+- )/ х'+у'! (20') после зтого угол ф может быть найден по формуле (21), причем ф выбирается так, чтобы ап«р имел тот же знак, что и — (так как у у = г шп «р). Упражнения ') !. Построить точки, о««рсдс««я~мыс в данном масштабе координатами: х=2, у=5, х= — 3, у=б, х=3, у= — 4; х=б, у= — 4, х=з, у= — 3; х=3'2, у=!. 2. Дана точка, определяемая координатами х=Ь, у= — 2.
Найти координаты точки, симметричной с давной относительно осн абсцисс 3. Найти точку В, симметричную точке А(2, — 4) относительно биссектрисы 1 н !П координатных углов. ') Ответы к упражнениям помещены в конце книги, к упражнениям, номера которых помечены авездочкой, даны решения. МЕТОД КООРДИНАТ 4. Найти координаты точки, симметричной А (а,Ь) относительно оси абсцисс. 5. Найти координаты точки, симметричной А (а,Ь) относительно оси ординат. 6. Найти координаты точки, симметричной А (а, Ь) относительно начала координат. 7. Показать, что точка А„ симметричная А,(а, Ь) относительно биссектрисы 1 и П1 координатных углов, будет иметь координаты (Ь, а).
8. Дан квадрат со стороной, равной 2 единицам. Чему будут равняться координаты вершин этого квадрата, если оси координат направить по какнмиибудь двум из его непараллельных сторон? 9. Лап квадрат, сторона которого равна 2 единицам. Чему будут равняться координаты его вершин, если оси координат направить по диагоналям этого квадрата? 1О. Дац ромб, сторона которого равна 5 единипам, а одна из диагоналей 6 единицам.
Чему будут равняться координаты его вершин, если осн координат направить по диагоналям этого ромба? 11. Найти координаты вершин правильного шестиугольника, сторона которого равна а, при условии, что начало координат помещено в центре шестиугольника, а ось абсцисс проходит через две противоположные его веошнны. 12.
Точка, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки А ( — 3, — 2) в точку В (4, 5). Определить пройденный путь н угол сз между осью Ох и направлением движения. 13. Есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами в точках А (1, 1), В ( — 1, 2) и С (3, 3) тупой угол? 14. Доказать, что треугольник, вершинами которого служат точки А(3, 2), В (6, 5), С(1, 10),— прямоугольный. 15. Найти периметр треугольнниа с вершинами А (2, 3), В( — 3, 3), С(0, — 1). 16. Йайгн длины медиан треугольника с вершинами А (2, 1), В( — 2, 3), С(О, 3). 17. Проведен отрезок от точки (1, — 1) до точки ( — 4, 5). Ла какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его данна утроилась? 18. Найти на оси абсцисс точку, которая отстоит иа одинаковом расстоянии от начала координат и от точки ( — 5, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
