И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Числа, определяющие положение геометрической формы, назывзются ее координатамн. Способ же, с помощью которого определяется положение геометрической формы, носит название способа или метода координат. Геометрические фораня весьма разнообразны, и нри построении аналитической геометрии, естественно, мы должны примять одну какую-нибудь из форм за первичную, с помощью которой мы будем образовывать все остальные, Проще всего за такую начальнуюформу принять геометрическую точку. Тогда всякую другую геометрическую форму, например линию нли поверхность, можно рассматривать как геометрическое место точек.

Приняв за начальный элемент точку, мы должны прежде всего показать, кзким образом определяется положение точки в пространство с помощью чисел. Эта первая идея методз координат была положена в основу решения различных геометрических задач. Вторая идея этого метода заключается в установлении того, каким образом геометрические свойства аннин отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии. Плодотворные иден метода координат нашли себе применение во всех отраслях математики и механики; благодаря развитию дифференциального н интегрального исчисления они сделались весьма мощным орудием математического исследования. Приступая к изложению аналитической геометрии, мы, ради удобства, делим весь курс на две части.

В первой части будем заниматься исследованием плоских геометрических форм средствами введение алгебры, основанными на применении координат. Во второй части мы будем аналогично поступать с нространственнычи геометрическими формами. Служебную роль в курсе имеет глава, посвященная изложению теории определителей 2-го н 3-го порядка. Эта глава, равно как н дальнейшие ее прилоясення, может быть опущена. В целях большей геометрической наглядности исходные уравнения плоскости и примой в пространстве дзны в векторной форме.

Соответственно с втнм включена глава, в которой изложены необходимые сведения нз векторной алгебры. Однако, учитывая потребности тех агузов, в которых при изучении аналитической геометрии не проходят векторной алгебры, ны даем пзраллельно векторному изложению теории плоскости и прямой также и координатное. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ГЛАВА 1 й(ЕТОД КООРДИНЛТ ф 1.

Направленные отрезки. Понятия отрезкз и его длины известны из элементарной геометрии. Отрезок есть часть прямой, ограниченная двумя точками. Длина отрезка есть положительное число, получаемое измерением этого отрезка с помощью некоторого заранее выбранного отрезка — единицы масштаба. Отрезок, ограниченный точками А н В, а также его длину, обозначают АВ нли ВА. Во многих вопросах математики и физики имеет значение направление отрезка: например, если отрезок рассматривается как путь, который проходит движущаяся точка. Чтобы охарактеризовать направление отрезка, олпу из двух ограничивающих его точек принимают за начало отрезка, а другую— аа его конец; направлением отрезка считают направление от начатз к концу.

Отрезок, на котором указано направление (т. е. сказано, какая из двух граничных точек считается началом и какая — концом), называется направленным олгрезком. Условимся обозначать направленный отрезок двумя буквами с чертой над ними, помещая на первом месте букву, указывающую начало отрезка. Так, например, нзправленный отрезок, для которого точка А является начальной, а В в конечной, будем обозначать АВ. Заметим, что направленные отрезки АВ и ВА различны, так кзк нзправления их противоположны.

!:сли рассматривать направлеюгые Рнс. 1. отрезки, располозкенные на одной прямой, то их направления можно характеризовать знаками + и —. Для этого одно из двух противоположных направлений этой прямой (безразлично какое) назовем положительным, а другое в отрицательным. На чертеже положительное направление условимся отмечать стрелкой (на рис. 1 направление слева нзправо принято за голожительное). Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью. (гл. » мятод коогдинат Длина направленного отрезка, расположенного на оси, взятая с определенным знаком, называется величиной направленного отрезки оси; прн этом знак выбирается положительный, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси, н отрицательный, — если направление отрезка противоположно положительному г«вправлению оси '). Так, например, величина направленного отрезка АС, изображенного на рис.

1, положительна, а величина отрезка С †отрицатель, Очевидно, дляна направленного отрезка равна модулю ') его величины. Условимся длину направленного отрезка АВ обозначать через АВ, а его величину символом вел АВ. Из определения величины направленного отрезка осн следует, что величины отрезков АВ н ВА отличаются знаком: вел АВ= — вел ВА. 3 а м е ч а н и е. В дзльнейшем нам придется ввести в рассмотрение и такой направленный «отрезок», начало н конец которого совпадают. Направление этого отрезка можно выбирать произвольно.

Длина, з следовательно, и величина его равна нулю. Такие отрезки мы будем называть нулевыми. Возьмем на некоторой оси три точки А, В, С и выясним, чему будет равна сумма величин направленных отрезков АВ и ВС. Мы сейчас покажем, что при любав« расположении точек А, В и С на оси сумл«а величин направленных отрезков АВ и ВС будет равна величине направленного отрезка АС: вел АВ+вел ВС=вел АС, (1) т, е. сумма величии направленных отрезков АВ н ВС, расположенных на осн тзк, что конец первого нз них с является началом второго, равна величине направленного отрезка АС, началом Рис. 2. которого является нзчало первого, а концом †конецвторогонанравленногоотрез. Для доказательства равенства (1), предположим сначала, что точка В располагается м еж д у точками А н С (рнс.

2). Рассматривая направленный отрезок как путь, проходимый движу«цейся точкой, мы можем сказать, что в этом случае подвижная ') Термин «величина направленного отрезка осн» имеет смысл употреблять только а том случае, когда рассматрнвается направленный отрезок, лежащий на осн. Но в дальнейшем для кратности мы будем говореть о величине направленного отрезка, опуская слою «оси», Точно так же для краткости мы будем иногда говорить «отрезок АВ» вместо «направленный отрезок АВ».

') Абсолютная величина числа называется также его модулем; модуль числа а будем обозначать через )а). 13 НАПРАВленные ОТРезкн точка, пройдя путь АВ, продолжает движение по пути ВСв том же направлении. Тогда длина отрезка АС, очевидно, равна сумме длин отрезков АВ и ВС, а величины всех трех направленных отрезков имеют одинаковые знаки, так как все три отрезка одинаково направлены.

Следовательно, вел АВ+вел ВС=вел АС. Таким образом, если точка В лежит на отрезке АС, то равенство (1) справедливо. Допустим теперь, что точка В располагается в н е отрезка АС; либо на прополи<анни отрезка за точку С (рнс. 3), либо иа продолжении его за точку А (рис. 4). Я С В В Я С Рнс. 4. Рнс.

3. В каждом из этих случаев подвижная точка, пройдя путь АВ, продолжает движение по пути ВС в противоположном направлении. Ясно, что теперь длина отрезка АС будет равна разности длин двух других отрезкон (АС=А — ВС вЂ” рис. 3, либо АС=ВС вЂ” АВ— Очевидно, что направление отрезка АС будет совпадать с направлением того из отрезков АВ и ВС, который имеет большую длину (с направлением отрезка АВ на рис. 3 или с направлением отрезка ВС на рис. 4). Поэтому величина отрезка АС будет иметь тот же знак, что и величина более длинного отрезкз.

Следовательно, величина направленного отрезка АС может быть найдена по правилу сложения относитсльных чисел вел АВ и вел ВС. Таким образом, и при любом расположении точки В зне отрезка АС будем иметь: вел АВ+вел ВС=вел АС. Остается заметить, что равенство (1) будет справедливо и в том случае, когда некоторые точки будут совпадать. Читатель легко проверит это сам. Например, если будут совпадать точки А и С, то вел АВ-1-вел ВС=вел АВ+вел ВА:=О, но и вел АС=О.

Следовательно, равенство (1) будет справедливо. 3 а м е ч а н и е. Если бы в равенстве (1) стояли не величины, а длины направленных отрезков, то оно было бы справедливо только в том случае, когда точка В лежит на отрезке АС, и теряло бы силу при любом другом расположении точки В. метОд коогдннлт (гл. ь Пользуясь равенством (1), легко показать, что поя любом числе точек А, В„ В„ ..., В„, С н пронзвольном нх расположении на ося мы будем иметь: вел АВ,+велВВ,+ ...

Характеристики

Список файлов книги