И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В дальнейшем мы не будем каждый раэ оговаривать введение координатной системы. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА 3 ДАННОМ ОТНОЕНЕИНН Из прямоугольного треугольника ЛСВ полу гнм; д' = А С'+ СВ' (здесь АС и С — длнил сторон треугольника АСВ), Но так как АС = Р,Р, = ) х, — х, ! СВ=(),сЗ,=~У,— у,~ (гл, 1, 3 3), то д' = ! х, —, !'+ ~ у, — у, ~*.
илн с('=(х, — х,)'+(у, — у,]', откуда д = )с'хе+ у'. П р н м е р. Найти расстояние между точками ( — 1, 4) н (2, О). Искомое расстояние вычисляется по формуле (3). Здесь х, = — 1, ус =4, хе=2, ус =О. Следовательно, д=)/(2 — ( — ц'-(-(Π— 4)' =)с'3'+( — 4)'=б, (3') ф 6. Деление отрезка н данном Отногпеиии. Пусть заданы две точки А и В. Проведем через них прямую и установим на ней произвольно положительное направление. Пусть М вЂ” некоторая точка этой оси. Где бы нн рзсполагалась точка М вЂ” внутри отрезка АВ или на его прололжении в ту или другую сторону — условичся говорить, что она делит направленный отрезок АВ, При этом если точка М лежит между А и В, будем говорить, что она делит отрезок АВ в н у т р е и н н и образом; если же точка М будет лежать на продолжении отрезка, то будем говорить, что она делит отрезок внешним образом. д = Ф'(х.
— х,)'+ (у, — у,)'. (о) Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня. Таким образом, расстояние между дэулся даннылси тотами раено корню квадратному иэ суммы квадратов разностей одноименных координат этих сночек. 3 а м е ч а н и е. Если данные точки А и В будут располагаться на примой, параллельной координатной оси, то треугольника АВС' мы не получим, однако формула (3) и в этом случае будет справеллива. действительно, если, например, точки Л и В булут лежать на прямой, параллеяьной осн Ох, то, очевидно, АВ= Р, Р, = ~ х, — хс~ (гл.
1, $3). Это же получится и из формулы (3), так как в этом случае У вЂ” У ° Расстояние точки М(х, у) от начада координат 0(0, О) согласно формуле (3) будет (гл. а заитод координат Назовем ошноглгииеж, в котором точка М делит направленный огрезок АВ, число вел АМ [4) вел МВ Рис 9 Если точка М делит отрезок АВ внутренним образом, то отрезки ЛМ и МВ имеют одно и то же направление, а величины ик— олин знак и, следовательно, отношение )а положительно.
Если точка М совпадет с началом А отрезка, то Х = О; по мере приближения целящей точки М к концу В отрезка отношение Х неограниченно возрастает, так как знаменатель (вел МВ) стремится к нулю. Случай совпадения делящей точки М с коащом В отрезка следует исключить, так как отношение в этом случае тернет смысл (знаменатель дроби обращается в нуль).
Если точка М делит отрезок вааешним образом, то при любом сс расположении отрезки АМ и МВ противоположно направлены, а величины ик имеют противоположные знаки и, следовательно, отношение А, в котором точка М делит направленный отрезок АВ, отрицательно. Г!рн этом ясно, что если делящая точка М лежит вне отрезка АВ за его началом, то абсолютная величина отношения )а меньше единицы; если же М лежит на продолжении отрезка за его конном, то )Х()1 (заметим, что ни при каком полон<енин делящей ~очки М отношение )а не может быть равным — 1). Таким образом, каждому поло>кению точки М иа прямой [кроче случаи, когда М совпадает с концом рассматриваемого нарезка) соответствует определенное значение отношения Х.
Твк, например, на рис 9 ючка М делит отрезок АВ в отношении 3 — 2 Х= — „. Та же точкаделиготрезок ВА в отношении Х= —. Точка М, делит 8 отрезок АВ внешним обрезом в отношении Х.=- — —, точ- У з ' В 2 Лу ка М, делит тот же отрезок АВ в отношении Л= —— 7 Задачу о делении отрезка в дакакги отношении следует понимать так: даны двс точки Л (х„ у,) и В(х„ у,) и дано отношение )а, в котором а7 р, ,с р некоторая ~очка М (х, у) делит направленный отрезок АВ; требуется найти координаты х, у Рис 10. точки М. Пусть Р„В, Р, суть проекции точек А, М, В на ось Ох [рис. 10). Прямые ЛР„МВ и ВР, параллельны и, следовательно, ДВЛЯНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОП!РИИП рассекают прямую АВ и ось Ох на пропорциональные части, так что АМ Р!В Мй 3Р,' Аналогичны! равенством связаны и величины направленных отрезков АМ, МВ, Р,$ и ЯР!! вел А М вел Р!В (5) вел МВ вел БР, Действителы<о, модули обеих частей равенства (5), как только что показано, одинаковы; знаки же их тоже совпадают, так как при любом расположении точки М относительно отрезка АВ (внутри или вне его с той илн другой стороны) точка Б всегда будет иметь аналогичное расположение относительно отрезка Р,Р,.
Так как вел Р,Б=х — х„вел БР,=Х,— х (гл. 1, В 3) и по условию вел АМ А вел МВ то пропорция (5) заменится равенством Х вЂ” Х, — '=)! Х вЂ” Х 3 откуда х — х, = )! (х, — х), или х — х, = Ах, — Ах, т. е х + Ах = х, + Хх,. Вынося в левой части х за скобку, получим! х ( 1 + )!) = х, + Ах, и, наконец, Х,+Х, х ==в Я Ф У!+ У! У=— (8) 1+ 2 (6) 1+ 7. Чтобы получить ординату у точки М, нужно проектировать точки А, М, В на ось ординат, "аналогично предыдущему подучим: у=У + 'У*.
(7) 1 + Х Формулы (6) и (7) решают поставленную задачу. Из этих формул следует, что каждому значению 7. соответствует некоторая точка М прямой АВ. Исключение представляет значение )!= — 1, прн котором формулы теряют смысл. Полагая в формулах (6) и (7) 7,=1, найдем координаты середины отрезка: 22 метод коогдннлт т. е, координаты середины отрезка равны полусуммал«одноименных координат его начала и кониа. Замечание. Прн выводе формул (6) н (7) мы предполагзлн, что прямая АВ не параллельна нн одной из коорлннатных осей. Однако формулы будут справедливы и з этом случае. Действительно, если прямая АВ параллельна осн Оу, то х, =х,=х н формула (6! останется в снле.
Точно так же н формула (7) останется справедливой, если прямая АВ будет параллельна оси Ох. П р в м е р. Найти координаты точки Л«, делящей отрезок АВ между точками А (1, 2) н В( 1, 4) в отношении 1:2, Здесь «,=1, 2,=2, х,= — 1, 1 р«=4 и «= —,. Следовательно, 2' 1+ — ( — 1) 2+ —, .Е 1 1 2 1 2 8 3' ' 1 3 1+— 2 1+— 2 7. Угол между двумя осями. Пусть на плоскости дэны две осн 1, и 1„пересекаюц«неся в точке В (рнс. 11). Условнмся понимать угол между двумя осями 1, и 1„зада ннымн в указанном порядке, как (« угол, па который надо повернуть ось 1„вокруг точки 5, чтобы ее положительное направление совпало с положительным направлением осн 1,. Этот угол будем обозначать (1„1,). 3 Заметим, что угол (1„1,) можно также рассматривать как угол между двумя лучами, Рнс. 11.
выходящими из точки $ в положительных направлениях осей 1, н 1,. Измеряя угол, кзк обычно, градусами ялн рвдианамн '), как н в тригонометрии, голучеиное число будем брать со знаком + илн — в зависимости от направления поворота: знак +, если угол получен поворотом осн 1, против чзсовой стрелки, н знак †, если поворот этой оси совершается по часовой стрелке '). Ось 1, не единственным обрззом можно по.
вернуть тзк, чтобы ее положительное направление совпало с поло- ') Навомням, что между обоямя способамн измерения нет принципиального отличия; разняла лишь в выборе еднницы намерения, за которую 1 в одном случае принимается центральный угол, опирающийся нв — часть 380 окружноств (гразус), а в другом — иеитральный угол, опирающийся на дугу окружности, равную по лливе радиусу (раднвн) При измерения углов рвднанвмн нанченованне единицы измерения «рзхивн« обычно опускают, Го- н м зорят, например, «прямой угол равен — «вместо «прямой угол равен — ра- 2 2 днана«; «угол разея 2,3« вместо «угол равен 2,3 раднанав. «) См. замечание в конце етого параграфа.
хгол междг двхмя осями жительным направлением оси !,. Действительно, если мы уже повернули ось 1, па такой угол, то после этого можно еще дополнительно повернуть ее на любое число полных оборотов по нли против часовой стрелки так, что ноложителыюе направление ес по-прежнему будет совпадать с положительным направлением оси 1,.
Таким образом, для угла (г'„ 8,) между осями можно указать пе одно, а бесчисленное множество значений. Если одно из этих значений обозначить через г», то любое значение угла может быть получено по формуле (1„1,) = га+ 2пм, где л — любое целое число (полоягителшюе, отрицательное или пуль). В дальнейшем, говоря об угле между двумя осями, мы обычно будем иметь в виду какое-нибудь одно из всевозможных его зна. ченнй; чаще всего — наименьшее по модулю значение.
В наших рассуждениях мы прсдполагалн, что оси 1, и 1, пересекаются, В случае параллельности осей угол между ними будем считать равным нулю (или вообще 2лм), если они имеют одинаковые положительные направления, н ж (или вообще п + 2пп), если их положительные направления противоположны. По аналогии с наложенным условимся понимать угол между осшо и направленным отрезком как угол, на который надо повернуть ось, чтобы ее положительное направление совпало с направлением отрезка (в случае надобности условям- рнс, 12, ся продолжать отрезок до пересечения с осью), 3 а и е ч а н и е. Мы условились считать положительными углы, отсчитываемые протин часовой стрелки. Однако иногда удобнее производить отсчст положительных углов по У часовой стрелке. Выбор положительного направления о~счета углов связан с выбором координатной системы, Возможны два типа взаимного расположения осей прямоугольиой век картовой системы координат на п.чоскос ги.
г Бслн смотреть вдоль положительного иаправ- О ленив оси Оу, то ось Ох может быть направлена вправо (рис. 12) или влево (рис. 13). В первом случае система координат называется правой, а во втором — левой. Можно пользоваться любой из этих систем координат. Как в правой, так и в левой системах положительными считают углы, отсчитываемые в ту же сторону, в какую нужно повернуть ось Ох на прямой угол, чтобы ее положительное направление совпало с поло. жительпым направлением оси Оу, Очевидно (см. рис. 12 и 1й), 24 метод коогднилт зтот поворот в случае правой системы производится против часовой стрелки, а в случае левой — по часовой стрелке.
)) дальнейшем мы будем, как правило, пользоватьси правой система,'! координат и в соответствии с этим положительные углы отсчитывать против часовой стрелки. й 8. Основные положения теории проекций. Ранее уже отмечалось, что проекцией точки М на ось называется основание т перпендикуляра, опущенного нз точки М на двнную ось (рис. 14). Пусть на плоскости дан направленный отрезок АВ и некоторая ось 1 (ось проекций) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
