И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 3
Текст из файла (страница 3)
+вел В„С=вел АС, (1') т. е. сумма величин направленных отрезков, для которых начало каждого следующего отрезка совпадает с конном предыдущего, равна величине направленного отрезка, начало которого совпадает с началом первого, а конец в с концом последнего нз нзправленных отрезков. 5 2. Коордннаты на прямой линии. Посмотрим, как можно определить положение точки нз прямой линии. Возьмем на втой прямой некоторую произвольную точку О (от латинского оппо — начало), относительно которой будем определять положения всех точек прямой.
Ясно, что положение любой точки Р прямой линии будет вполне определяться направленным отрезком ОР: каждой точке прямой соответствует определенный направленный отрезок с началом в точке О н концом в рассматриваемой точке Р и, обратно, каждому направленному и я отрезку с началом в точке О соответствует одна точка Р прямой линии — конец етого отрезка. Установим теперь на прямой положительное направление н выберем единицу масштаба и (на рис. 5 положительное направление выбрано слева направо).
Тогда положение любой точки Р прямой линии поясно будет определить числом †величин направленного отрезка ОР. Это число, определяющее положение точки, называется ее координатой. Итак, величина направленного отрезка ОР является координатой точки Р прямой линии. Обозначая координату точки Р буквой х, имеем: х= вел ОР. Зная точку Р, легко найти ее координату: она равна величине направленного отрезка ОР. Обратно, по заданной координате х можно построить единственную точку: она будет концом направленного отрезка ОР, величина которого равна х. Если на прямой линии отмечена некоторая точка О, указано положительное направление и, кроме того, выбрана единица масштаба, то мы будем говорить, что на прямой установлена система координат.
Точка О, являющаяся началом рассматриваемых направленных отрезков, называется началом координат, а данная прямая — осью координат. Начало координат делит ось координат на две части; полупрямая, идущая от точки О в положительном направлении, называется положительной полуосью, полупрямая, идущая от О в отри- Ь41 пгямотгольиыв коовдинаты нл плоскости 15 цательном направлении,— отрицательной полуосью. Очевидно, точки положительной полуоси имеют положительные координаты (на рис.
5 точки, лежащие вправо от О), точки отрицательной полуоси — отрицательные координаты; точка О имеет координату, равную нулю. В тексте условимся координату точки писать в скобках рядом с буквой, обозначающей зту точку: го(х). ф 3. Расстояние между двумя точками ии прямой линии. Пусть нам даны в некоторой системе координат две точки: А (х,) и В(хт). Посмотрим, как выразится расстояние АВ между зтнми точками через нх координаты. На основании равенства (1) мы можем написать, что вел ОА+вел АВ= вел ОВ, откуда вел АВ= вел О — вел ОА; так как вел ОА=х„вел ОВ=х,, то вел АВ=х,— х,. Р) Таким образом, чтобы получить величину направленного отрезка оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала.
Расстояние между точками А и В равно длине направленного отрезка АВ. Следовательно, АВ=(х — х,(, (~') т. е. расстояние лгежду двумя точками равно абсолютной величине разности координат этих точек. Например, если ланы точки А (5) н В ( — 3), то вел А — 3 — 5 — 3, а расстояние Ад=8. ф 4. Прямоугольные координаты иа плоскости. Дадим теперь понятие о методе координат на плоскости, т.
е. р укзжем способ, позволяющий определять положение точек плоскости с помощью чисел. Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые и на кажлой из них установим положительное направление. Эти прямые, относительно (г м которых мы будем определять положение точек плоскости, называются осями координат. Оси координат обычно располагают так, как зто указано иа рнс, 6: одну †горизонталь и положи- р тельное направление на ней выбирают слева нап право, а другую †вертикаль и положи- Рнс.
6. тельное направление на ней — снизу вверх. Одна нз осей (обычно горизонтальная] называется осью аосцисс (ось Ох), а друга ив (гл. з 16 метод коогдиидт осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей координат называется началолз координат (на рис. 6 начало коорлинат обозначено буквой О). Наконец, выберем единицу масштаба (мы всегда будем предполагать, что на обеих осях координат выбрзна одна и та м<е единица масштаба). Теперь положение любой точки плоскости можно будет определить числами — координзтами этой точки. Действительно, всякой точке М плоскости соответствуют на осях координат две точки Р н ге, являющиеся ее проскциями ") на эти осн (рпс.
6) н, обратно, зная точки Ри О на осях координат, можно построить елннственную точку М на плоскости, для которой Р и О являются проекциями на эти оси. Таким образом, определение положения точки М плоскости сводится к определению положений ее проекций Р и сг' на координатные оси. Но мы уже знаем, что положение точки на оси вполне определяется се координатой. Пусть х †координа точки Р на оси абсцисс (х= вел ОР) н у †координа точки О на оси ординат (у = зел 09). Числа х и у вполне определяют положение точки М на плоскости и называются координатами точки; при этом х называется абсциссой точки М, а у — ее ординатой.
Таким образом, абсииесой точки называется величина направленного отрезка оси Ох, началом которого яеляетея начало координат, а концом — проекция точки на эту ось; ординатой точки называется величина напроеленного отрезка оси Оу, началом коягорого яв,гяетея начало координат, а концом— проекция точки на ось ординат. Итак, положение любой точки плоскости вполне определяется заданием пары чисел х и у, первое из которых является абсциссой точки, а второе †ордипатой. Координаты точки условимся писзть в скобках, рядом с буквой, обозначающей эту точку, ставя па первом месте абсциссу, а на втором †орднна и разделяя их запятой: М(х, у).
При указанном на рис. 6 расположении координатных осей для всех точек плосьостн, лежащих вправо от оси Оу (осн ординат), абсцисса х положительна, а для точек, лежащих влево от оси Оу,— отрицательна, Точки самой оси Оу имеют абсциссу, равную нулю, Совершенно так же точки плоскости, лежащие выше осн Ох (оси абсцисс), имеют положительную ординату у, а точки, лежащие ниже оси Ох,— огрицательную. Точки самой оси Ох имеют ординату, равную нулю. Начело координат имеет координаты (О, О). Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или кеадрантоми (иногда их также называют коорди') Проекимей точки М на ось назызается основание перпендикуляра, опущенного из М нз эту ось. пгямоэгольные коогдинлты нл плоскости 17 наглыми углами).
Часть плоскости, заключенная мезкду положительными полуосями Ох и Оу, называется первым квалрантом. Дальше нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (рис. 7). Для всех точек ! квадранта х)0, у) 0; для точек !!квадранта х(0, у >О; в !11 квадранте х(0, у(0 я в ~Ч квалранте х ) О, у ( О. Координаты, которые принимаются здесь для определения положения точки плоскости, называются прямоугольными координлтами, 7П-,+7 П+,+7 так как точки М плоскости получается пересечением двух прямых РМ и ОМ (рис. 6), х' встречающихся под прямым углом, а также декартоеами по имени математика и фн- 777 7, + лософа Декарта, который в 1637 году опубликовал первый труд по анзлнтической геометрии. Декартовз прямоугольнзя система коор- Рнс, 7.
динат не является единственной координатной системой, поаволяющей определять положения точек плоскости (см. $ 11 этой главы), но она является наиболее простой и мы в дальнейшем будем пользоваться преимущественно ею. Из описанного метода координат вытекает решение двух основных задач. Задача !. По данной точке М найти ее координаты. Из данной точки М опускаем перпенднкуляры на оси Ох и Оу. Основания этих перпендикуляров †точ Р и Π†определ обе искомые координаты. Первая координата точки М, ее абсцисса, равна величине направленного отрезка ОР оси Ох.
Вторая же координата точки М, ее ордината, равна величине направленного отрезка ОО оси Оу. 3 ада ч а В. Зноя координаты х и у точки М, построить эту точку. Отложим по осн Ох от точки О отрезок длиною ) х ! единиц вправо, если х)0, н влево, если х(0. Конец этого отрезка — точка Р— будет проекцией искомой точки М иа ось Ох; откладывая по осн Оу от точки О отрезок длиною !у ~ единиц вверх, если у ) О, и вниз, если у( О, получим точку О в проекцию искомой точки ча ось Оу.
Зная же Р и О, легко по этим точкам, как проекциям, построить искомую точку М. Для этого нужно провести через Р и г;! прямые, параллельные осям координат; в пересечении зтнх прямых получнзся искомая точка М. 3 а м е 1а н и е. Если мы условимся рассматривать направленшее отрезки РМ н ОМ (рис. 6) как отрезки осей, направления которых совладают с направлениями параллельных нм коордьнатных осей, то абсцисса точки М будет выражаться не тольковеличнной отрезка ОР, И. И, Прььалаь [гл. з метод кооглнньт но н равной ей величиной отрсзка ОМ, Ордината той жс точки булет одинаково выраягаться как величиной отрезка ОО, так н равной сй величиной отрезка РМ.
Направленные отрезки ОР, (;Щ ОО и КИ будем называть координатными отрезками точки М, Тогла при Решении рассмотренных двух основных задзч нет необхолимости опрелелять обе проекции точки М, достаточно опрелслнть только одну, например проекцию на ось абсцисс. Так, в задзче ! опускзем из данной точки М перпендикуляр на ось абсцисс.
Его основзние Р определяет проекцию точки М на эту ось. Величина направленного отрезка ОР дзст абсциссу х данной точки, а величина отрезка РМ вЂ” ордннату у. П ример. Построить точку по координатам х=2, у= — 3. Откладывэем вправо от 0 по осн абсцисс отрезок длцно1о в 2 единицы; через конец Р этого отрезка проводим прямую, параллельную оси ординат, и на ней откладываем вниз от Р отрезок длиною в 3 единицы; конец этого отрезка и есть искомая точка М. Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке плоскости соответствует вполне определенная пара коорлинат х и у и, обратно, всякая пара действительных чисел х, у определяет на плоскости единственную точку, збсцисса которой равна х, а орли- ната у.
Поэтому задать точку, это значит запать ее координаты; найти точку, значит найти се коорлннаты. ф 5. Расстояние между двумя точками на плоскости. В ээб, 6 и )О втой главы мы рассмотрим некоторые простейшие заЛачи Д анзлнтической геометрии, к которым часто приводятся многие более сложные задачи. Одной из таких задач является задача о расстоянии между двумя точками. Пусть в выбранной на плоскости прямо( угольной системе коорлинат заданы две точки б' Р, Рз А(х„у,) и В(х„у,) '). Выразим расстояние д межлу этими двумя точками через их координаты, Найдем проекции точек А и В на координатные ося (рис.
8). Будем иметь: вел ОР, = х„вел ОО, = у„ вел ОР, = х„вел ООз =у,. Через одну из данных точек, например А, проведем прямую параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой Р,В. ') Ясно, что говорить о координатах точек можно лишь в том случае, хогда выбрана система координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
