И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 8
Текст из файла (страница 8)
29. вительно, ату биссектрису. П р и м е р 2. Построить линию, определяемую уравнением х+ у = О, Легко впасть, что геометрическим местом точек, для которых у= — х, будет биссектриса С0 1! н 1Ч координатных углов. Следовательно, уравнение х + у = О является уравнением атой биссектрисы (рнс. 29), $2) 39 геометРический смысл уРлинеинй Рзссмотрим сгце некоторые особые виды уравнений. 1) Уравнение может содержзть только одну из текущих коордияат и гем не менее определять некоторую линию.
Пусть, например, дано уравнсние у — 2=0 или у=2. Геометрическим местом точек, ордннаты которых равны 2, будет, очевидно„ прямая, параллельная оси Ох и от- — 4 — 3 — 2 — ! О 1 2 3 4 16 9 4 1 О ! 4 9 16 стоящая от нее на расстоянии двух единиц. Аналогично уравнение х-(- + 1 =0 определяет прямую, наралРис. 30. лельную оси Оу. 2) Если левая часть уравнения Г(х, у) = 0 разлагается на иножители, то, приравнивая нулю каждый множитель в отдельности, получим несколько новых урзвнений, каждое из которых может определять некоторую линию. Например, уравнение х' — у' =0 или (х+у](х — у)=0 определяет пзру примык х+у=О и х — у= =0 — биссектрис координатных углов.
3) В частности, может случиться, что уравнение Р(х, у) = О между координатэмн х и у определяет геометрическое место, состоящее из одной или нескольких отдельных точек. Так, например, уравнение х' +у' = 0 определяет точку О(0, О); уравнению (х' — 1)' + (у' — 4)' = 0 соответствует геометрическое место, состоящее из четырех точек: (1, 2); (1, — 2); ( — 1, 2); ( — 1, — 2), 4) Моукет, наконец, случиться, что уравнение Р(х, у)=0 не определяет никакого геометрического места точек. Так, паприиер, уравнение х'+у'+ 1 = 0 не удовлетворяется ни одной парой действительных значений координат х и у.
Если уравнение удовлетворяется, как в только что приведенном примере, лишь в том случае, когда хоти бы одно из переменных х, у П р н ма р 3. Пос,роить линию, определяемую уравнением х' — у=о. Выразим нз эгого уравнения одну нз координат через другую (например, у через х): у= х'. Будем дазап х различные произвольные значения, напрнмгр — 4, — 3, — 2, -1, О, 1, 2, 3, 4, и находить соогветсгвующие значения р. Таким образом, мы получим ряд точек, нанесем нх на плагкосгь и соединим плавной линнея (рнс. ЗО). Это и будет искомая кривая. !гл.
н ЛИНИИ И ИХ УРАВИЗНИИ имеет мнимое значение, то говорят, что уравнению соответствует лснимое лсесто псочек. В 3. Две основные задачи. Из изложенного в й% кает постановка двух основных задач. !. Дана линия как геолсетрическое .место тосек уравнение этой линии. И. Дано уравнение меэкду координатами х и у. линию, определяемую этим уравнениелс. В следующей главе мы рассмотрим общее решение гой задач в отношении прямой линии. 1 и 2 выте- Составить Построить той и дру- В 4.
Пересечение двух линий. Среди различных геометрических задач одно из важных мест занимает задача нахождения точек пересечения двух данных линий. Пусть этн линии определяются соответственно урзвнеияями У!х, у)=0 и ср)х, у)=0. х'+у'= 25, 2х †у+5. Из последнего уравнения имеем: у = 2х+5. Подставляя ьто выражение у в первое уравнение, получим: х' + (2х + 5)' = 25. После упрощений будем иметь: х'+4х=О, х=О н х= — 4.
откуда Если существует точка их пересечения, то, очевидно, она лежит и па той и на другой линии. Поэтому координаты ее донским удовлетворять каждому из ланных уравнений, и, наоборот, всякая точка, координаты которой удовлетворяют этим двум уравнениям, лежит на обеих линиях, Следовательно, чтобы найти точки пересечении двух данных линий, нужнсу совместно решить нх уравнении. Каждое действительное решение этой системы уравнений даст точку пересечения. Если же окажется, что эта система несовместна или во всех ее решениях хотя бы одно из чисел х или у имеет мнимое значение, то это будет означать, что данные линии не пересекаются. Пример, В 4 ! настоящей главы было выведено уравнение окружности с центром з начале координат н радиусом )! н виде Хь ! г рс Возьмем радиус, равный 5 единицам. Тогда уравнение такой окружности примет внд: х'+у'=25. В примере 1 того же параграфа было выведено уравнение некоторой прямой 2х — у + 5 = О, Пусть трьбуюси найти эочкн пересечения ь~нх льннй. Для эсого нужно решить систему уравнений уРАвнвния линий В поляРных кООРдинАТАХ Подставляя эти значения х з ранее найденное выражение у, получим: у,=б и у,= — 3.
Следовательно, данные линии имеют дзе точки пересечения (О, 5) и ( — 4, -3). 6 6. Параметрические уравнения линий. В некоторых случаях прн составлении уравнения линии текущие координаты не связывают одним уравнением, а каждую коорднпзту и отдельности выражают в виде функции нового переменного, например (. Получают уравнения вида (6) Эти уравнения составляются так, что значения х и у, соответствук>п(ие одному н тому же значению г, являются координатами точки, лежащей на данной линии. У С изменением ( меняются и коорди- 4 наты х и у, а следовательно, соответствующая им точка перемещается по ли- к нии. Уравнения (6) нззывюотся парамегрическими уравнениями линии, а г — иеременным параметром. Если из уравнений (6) исключить па- Р х раиетр (, то получим урзвнение между х и у вида г.(х, у)=().
П р и и е р. Составим парамчгрнческне уравнения окружности радиуса Р, центр которой лежит в начале координат (рис. 3!). Лсгко усмотреть, что текущие координаты точки на Рнс. 31. окружности являются фуикинямн угла !р, образованного осью Ох и радиусом окружности, проведенным з данную точку. Поэтому примеч угол ~р за переменнйа параметр и выразим через него текущие координаты х н У. При любом положении точки М на окружности будут иметь место равенства х = (г соэ ф, ) р = (г 3!и ф (гл. 1, $9). Это н есть параметрические уравнения окружности. При желании из иих можно получить уравнение окруж1юсгн в форме, известной из предыдущего.
Для этого нужно исключить параметр аь Возводя обе части каждого нз уравнений в квадрат и складывая, получим: х'+ у'=)с'. й 6. Уравнения линий в полярных координатах. Ранее мы рассматривали уравнения линий в декартовых координатах, но аналогично можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах, Уравнением линии в полярной системе координат мы будем называть такое уравнение между переменными г и гр, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, н не удовлетворяют (гл. и линии и их эчлвнения координаты точек, не принадлежащих ей. Рассмотрим пример на нахождение уравнении данной липин в полярных координатах, Пусть требуетсв найти уравнение окружности, прохпдящей через полюс, центр которой С лежит на полярной оси, а радиус равен а.
Соединим отрезками прямой произвольную точку М окружности с' полюсом и с конечной точкой О диаметра, проходящего через полюс (рнс. 32), Координатами точки М будут угол ф и длина г отрезка ОМ. Припомним, что окружность есть геометрическое место вершин прямых углов, опирающихся на ее диаметр, Слсдоватсльпо, трсугольиик ОМΠ— прямоугольный. Отсюда нолучзем: 0 г = 2п соз гр. Это н есть искомое уравнение окружности '), Заметим, что вид уравнения данРнс.
32. ной линии зависит от выбора по- люса и полярной оси. Так, если мы выберем полюс в центре окружности радиуса а, то для всех точек окружности (и только для этих точек) полярный радиус будет иметь одно и то же значение г= а; это равенс~во будет, следовзтельно, уравнением окружности радиуса а с центром в полюсе. Полярный угол ф в это уравнение пе входит, оставаясь произвольным.
Прн исследовании формы линии на основании ее уравнения приходится часто пользоваться полярными координатами. Это удобно делать всякий раз, когда уравнение линии в полярных координатах проще, чем в декартовых. В качестве примеров мы рассмотрим две линии, часто встречающиеся в приложениях. При мер !. Линия, называемая слиралью Архимеда, определяется в полярных координатах уравнением г= а~у, где а есть положительная постоянная.
Чтобы начертнгь эту линию, будем да вать ф произвольные ацачення н определять соответстзующье зяачання г. Прн водяная таблица значений (г, ф), удовлетворяющих данному уравнению, пока. зывает, что при возрастании угла ф в арифметической прогрессии с разностью и — полярный радиус г возрастает тоже в арифметической прогрессии с рзз- 2 п постыл а —. Кроме того, заметны, что всякой точке этой ляпни с пэложн- 2 тельными координатами (г, а) соответствует на этой же лнннн точка ( — г, — Э), ') Прн выводе этого ураввення г считалось положительным. Однако прц некоторых значениях ф нз уравнения будут получаться отрицательные значензя г, Тем не менее легко проверить, оо н в этом случае получаелые точки лежат на той же окружносгн. уРАВнения линий В поляРных кООРдинАРАх 3 б) г.
е. спираль дохнл1еда Расположена симчетрнчно относительно прял|ой, прохохящей через полюс плопенхикулярно к полярной сон. На рис. ЗЗ сплошной линией изображена в твь, соответствующая положительным значениям ф, а пунктирной — отрицательным. Риг. ЗЗ. Пример 2.
Линия, определяемая э полярных коооэинатах уравнением г= аз ~л где а и ь сугь положительные постоянные, называется логарифмической спиралью. Чтобы начертить эту линию, будем лазать ф произвольные значения и определять соответствующие значения г. Приводимая здесь таблица зпачений (г, ф), удовлетворяющих данному уравнению, показывает, что при возрастании угла ф в арифметической прогрес- и син с разностью — полярный раниус г возрастаег в геомет- 2 рической прогрессии со знаменателем с~ил. Когда угол ~р неограниченно возрастает, то г тоже неограниченно растет; когда угол ф стремится к отрицательной бесконечности, то д полярный радиус стремится к нулю я кривая неограниченно приближается к полюсу О, закручиваясь около него.
Поэтому точка О называется асимптотической точкой логарифмической спирали (рис. 34). Иногда встречается надобность Рис. 34. в переходе от уравнения линии в декартовых коврдннатах к уравнению той же линии в полярных координатах илн обратно. В таком случае следует применять формулы, связывающие полярные и декартовы координаты 1гл. 1, 3 11). Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
