И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, если А,В,— А,В,4=0, то прямые пересекаются. Если А,В,— А,В,=О, то формулы (16) пе имеют смысла. Как в этом случае располагаются пряййыег Легко видеть, что в этом случае прямые параллельны. Действительно, на условия А,В,— — А,В,=О следует, что — — = — —, т. е. я,=я, (если же А, А, 1 й' В,=В,=О, то прямые параллельны осн Оу и, следовательно, па- раллельны ме)кду собой).
Итак, если А  — А,В =О, то прямые параллельны. Рассматри- 1 й й 1 А, В, ваемое условие можно записать в виде — '= — '. Тогда можно скз- А, Вй' зать, что если е уравнениях прямых еоотеететеующие коэффи- ииенты яри текущих координатах пропорииональнм, то прямые параллельны, В частности, параллельные прямые могут совпадать. Выясним, каков аналитический признак совпадения прямых.
Для этого рас- смотрим уравнения (15') н (15"). Если свободные члены этих урав- нений будут оба равны нулю, т. е. С,А, — С,А, =0 и С,В,— — С,В, = О, то А В С, 1 1 1 А, В, С,' т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений (15) пропорциональны. В таком случае одно из уравнений системы получается из другого умножением всех его членов иа некоторый общий множитель, т. е.
уравнения (15) равносильны. Следовательно, рассматриваемые параллельные прямые совпадают. Если же хотя бы один из свободных членов уравнений (15') и (15") будет отличен от нуля (или С,А, — С,А, ~0, нли С,В,— — С,В,=~=О), т. е, А, В,, С, то уравнения (15') и (15"), а значит и уравнения (15), не будут иметь решений (по крайней мере одно нз равенств (15') или (15й) будет невозмомгным). В атом случае параллельные прямые не будут совпадать. Итак, условием (необходимым н достаточным) совпадения двух прямых яеляевся пропорииональносвь соответствующих ноэффиииенвое их ураененийг А, В, С, А, В, С, П р яме р 1. Найти точку пересечения прямых линий 2х — Зу — !к 0 н Зх — д — 2=0.
[гл. щ 60 пгямая линия Решая уравчення совместно, умножим второе на 3: 2х — Зу — 1=0, Ох — Зу — 6 =0. 5 Вычитая, получим: 7х — 5=0, откуда х= —. Умножая первое урав- 7 ' пение на 3, второе на 2 и вычнзая первое на второго, получим: 7у — 1=0, о!куда у = —. Итак, координаты точки пересечения двух данных прямых суть; ! 7' 3 7 ' Пр имер 2. Прямью липни 2х — у + 2 = 0 н 4х — 2у — 1 = 0 параллельны (онн нс имеют обшей |очки), так как 2 — 1 2 — = — Ф вЂ”.
4 — 2 — 1 Прямые За+у — 2=0 и 6х+2у — 4=0 совпадают, так как 3 1 — 2 6 2 — 4' й 11. Уравнение пучка прямых. В 3 9 (см. замечание) рассма. тривалось уравнение пучка прямых с центром в заданной точке А (х„ у,). Иногда центр пучка прямых не задаетса непосредственно, а определяется парой прямых, принадлежащих пучку.
Тогда координаты центра пучка можно найти, решая совместно уравнения данных прямых. Однако можно и не вычислять координат центра пучка, а воспользоваться в этом случае другой формой уравнения пучка прямых. Пусть прямые Агх+Ву+С,=О и А,х+Ву+С,=О пересекаются в некоторой точке (х„у,). Составим уравнение А,х+ В,у+ С, + 1 (А,х+ В,у+ С,) = О, (17) где А. — произвольный параметр. При любом значении А уравнение (17) определяет прямую линию, так как оно является уравнением первой степени относительно переменных х н у. Легко показать, что зга пргоыя проходит через точку (х„ у,). Действительно, так как точка (х„ у,) принадлежит каждой вз заданных прямых, то Ах,+Ву,+С,=О и Ах,+Ву,+С,=О, о!куда Ах,+Ву,+С,+й(Ах,+Ву [ С )= — О, Ь 11) углпнвиие пуч!га нгямых Следовательно, координаты точки пересечения двух данных прямых удовлетворяя т урзвпению (17).
Таким образом, ураннение (17) при различных значениях )ь определяет прямые, принадлежащие пучку с центром в точке (х„ у,), Остается выяснить, можно ли из (17) при надлежащем выбсре л, получить уравнение любой из прямых пучка. Пусть (а, р\ — произвольная точка плоскости, отличная от (х,„у,).
Примак, опредсляемая уравнением (17), пройдет через эту точку, если координаты ее будут удовлетворять уравнению (17), т. е, если А,а+В р+С, +)ь(А,а+В)ь+С)=0. Отсюда следует, что при .„А,а + В 1() + С, А,а+В ()+С, мы получим из (17) уравнение прямой, проходящей через произвольно выбранную точку плоскости. Параметр )ь нельзя подобрать только в том случае, если точка (а, ()) будет лежать на прямой А,х+В у+С,=О (тогда формула, определяющая )г, не будет иметь смысла). Следовательно, уравнение (17) при рззличных значениях Х будет определять все прямые пучка, кроме одной (второй из двух данных). Уравнение этой последней прямой, очевидно, может быть получено из уравнения р (А,х+ В у+ С,)+ А,х+ В,у+ С, = 0 прн р=0. Уравнение нида (17) называют уравнением пучка прямых.
Пр имер. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечении прямых 2х — Зу — 1=0 и Зх — у — 2=0 перпендикулярно к прямой у =х. Пер вы й способ. Решая уравнения 2х — Зу — 1=0 и Зх — у — 2=0 совместно, находим координаты то ~ни пересечения прямых: 5 1 (см. пример 1, $ !0) Из условия перпенхнкулярносги прямых угловой коэффициент нужной нам прямой й = — 1. Следовательно, искомое уравнение будет 1 7 бт ! 5 У вЂ” = — 1 !тх — — ), илн У вЂ” — = — х+ —, нли 7У вЂ” ! = — 7х+5, 7)' 7 7 ' откуда 7х+7у — 6=0. Второй способ. Искомое уравнение можно записать в виде: 2х — Зу — 1 + Х (Зх — у — 2) = 0 (!7) нли (2 + 3) ) к + ( — 3 — Х) у — ! — 2)ь = О. [гл.
1П пРямАя линия Угловой кож[фвнкеит прямой линии, опрелеляемой последним уравнением, будет 2+ЗА у= —, 3+А ' Чтобы прямая, уравнение которой нужно найти, была пергщнднкулкрна к прямой у=х, нужно положить й= — 1. Тогда будем иметь: 2+ЗХ вЂ” = — 1 З+Д откуда 2+ЗХ= — 3 — А, нлн 5 4А= — 5 н Х= —— Подставляя найденное значение Х в уравнение (17'1, получим после упрощений нскомсс уравнение: 7х+7у — 6=0.
9 12. Уравнение прямой„проходящей через две данные точки. Пусть даны точки А(х„у,) и В(х„у,). Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Уравнение пучка прямых линий, прокодящих через точку А(х„у,), имеет вид; у — у,=й(х — х,), (18) где й есть произвольный параметр.
Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, нрокодящую через точку В(х„у,), потребуем, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (18): у,— у,=й(х,— х,). (19) Из равенства (19) нужно определить значение параметра й н внести это значение в уравнение (18). Иначе говоря, нужно исклю- чить Ф из уравнения (18) и равенства (19), что мы сделаем, дели (18) на (19).
Таким образом получим уравнение примой, пронодащей чер э точки А(х„у,) и В(х„у,): — х — х, у,— у, х,—.х,' (20) Если данные точки А и В лежат на прямой, параллельной осн Ох(у,— у,=0) или оси Оу(х,— х,=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у =у, нли х =х,.
Замечание. Из соотношения (19) мы находим формулу 4=— ух- у~ хР— х! (19') выражающую угловой коэффициент прямой линии через координаты двух ес точек. 3 12) уравнение примой, ПРОходпидей '!еРез дие то'!Ии х — 2д+ 3=0. П р и и е р 2. Составить уравнение прямой липин, проходящей через т пересе!ения прямых х+д — 1=0, х — у+2=0 и через точку (2, 1]. Пер вы й с нос об. Находим коораииагы точки пересечения двух да! прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Склаль находим: 2х+ 1=0, откуаа х= — —.
1 Вычитая нз первого уравнения второе, получаем: 3 2д — 3=0, откуда д= 2 . Палее, остается составить уравнение прямой ( ) ! Зд — †, — ) и (2, 1). Искомое уравнение будет 2 ' 2 ) 3 1 3 ! д — — х+ —, 2 2 д — — х+— 2 2 или — = — „или 3 1 ' ! о г 1 — — 2+— 2 2 2 2 линии по двум тс 3 1 д — — х+ —, 2 2 — 1 5 откуда 15 ! 5д — — = — х — —, или х+5д — 7=0.
2 2' Второй способ. Составим уравнение пучка прямых линий с дев в точке пересечения двух дагщых прямых: х+д — 1+ Л(х — д+2)=0. Чтобы выделить из этого пучка прямую линию, проходящую через точку (.' потребуем, чтобы координаты эгой точки удовлетворяли уравнению (17")! 2+1 — 1+Л(2- !+2)=0; отсюда найдем параметр Л: 2 2+ЗЛ=О, илн Л= — —.
3 ' 2 Подставляя Л= — — в уравнение (17"), найдем: 3 2 х+д — 1 — — (х — д+2)=0, 3 или Зх+Зд — 3 — 2х+2д — 4=0, х+ 5д — ? =О. откуда Пример 1. точки А (1, 2) и В Подставляя в « — 2 х — 1 ! — 2 — 1 — 1* тельно Сосгавигь уравчение прямой липни, проходящей ч ( — 1, 1). уравнение (20) х,=1, д,=2, х,= — 1, д,=!, полу д — 2 х — 1 откуда — = —, или 2д — 4=х — 1, или окс 2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ [гл. Яи 5 18. Условие, при котором три данные точки лежат на одной примой. Пусть дэны три точки: А (х„ у,), В(х„ у,) н С(х„ у,). Уравнение прямой линии, прохолвпей через точки А и В, запишем в форме (20). Точка С лежит на этой прямой в тои и только в том случае, когда ее координаты х„ у, удовлетворяют уравнению втой прямой.
Таким образом, искомым условием будет: у,— гч х,— х, (21) д,— з, х,— х,' й 14. Нормальное уравнение прямой линии. Пусть на плоскости лана какая-нибудь прямая линия. Проведем через начало координат прямую 1 перпенликулярно к данной; выберем на ней ноложителыюе направление от начала координат в сторону данной прямой (если р данная прямая проходит через начало ! координат, то положительное направление на прямой 1 можно выбрать произвольно). Положение данной прямой относительно осей координат можно охарактеризовать, укачав ее расстояние р от начала координат и угол а 0 11 между осью Ох и осью 1 (рис.
46). / Составим уравнение этой прямой. Рнс. 46. Пусть М (х, у) — произвольная точка прямой. Построим коорлипатные отрезки точки М, рассмотрим направленную ломаную ОКМРи возьмем ее проекцию на ось 1, Так кзк проекция ломаной линии на ось ранна проекции ее замыкающего отрезка (гл. 1, й 8), то пр ОКМР= нр ОР, (22) С другой стороны, проекции ломаной линни равна сумме проекций ее звеньев (гл. 1, 8 8), т.
е. пр ОВМР= пр Ой-~- цр ИМ+ нрМР. Сравнивая (22) и (22'), получим: пр Ой+пр)сМ+пр МР=пр ОР. (22') Так как проекция направленного отрезка на ось равна его вели. чине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой расположен отрезок (гл. 1, й 8), то пр О)с'=хсоз( — а)=хсояа, /и прйМ=у сов ~ — — а) =угйпа, пр ОР=р, й 15) пгиведянне овщзго хглвнниия плевой ствпенн 65 Учитывая, кроме того, что пр МР=О, н подставляя найденные значения в равенство (22'), получим: х соз а +у и!п а =р, или х сова+у з<п а — р.=О. (23) Этому уравнению удовлетворяют координаты х, у любоЙ точки рассьютриваемой прямой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
