И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Этн две прямые линии носят название асилсптот гиперболы; онн, как мы видели, имеют уравнения: у= — х и у= — — х. а о (5) Очевидно, асилсптоты гиперболы располагаются по диагона- лялг прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси Ох и равна 2а, другая — параллельна оси Оу и равна 2Ь, а иентр леекит в начале координат (см. рис.
51). При вычерчивании гиперболы по ее уравнению рекомендуется предварительно построить ее асимцтоты, плгавола Равносторонняя гипербола. В случзе А=а гиперболэ называется равносторонней; ее уравнение получаетсн из (д') и имеет внд: х' — у' = а'. Ь 'э Очевидно, угловые коэффициенты асимитот (я=-~- — ) для равно- — -а) сторонней гиперболы будут -1-1. Следовательно, асииизоты равносторонней гиперболы перпендикулярны между собой и делят пополам углы между се осями симметрии.
ф 5. Парабола. Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной. х точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что данная точка не лежит на прямой). Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ох прямую, проходящую через фокус Рнс. 62. го перпендикулярно к директрисе, и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; за на<ало координат возьмем середину О отрезка от точки го до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 62). Величину р назывшот параметром параболы.
Координаты фокуса Р будут ( †,О). Обо- I р значим герез х и у координаты произвольной точки М параболы. Тогда координаты точки К вЂ основан перпендикуляра, опущенного из гИ иа директрису, будут ( — †, у). Так как по определению Р РМ=МК, то, применяя формулу расстояния между двумя точками (гл. !, $ 5), получим уравнение параболы в выбранной системе ко- «(*-С~- '- «("т') Чтобы придать ему простейший вид, возведем обе части в квадрат. Будем иметь: +4+У +~ + откуда у =йрх (()) Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы ').
') Ясно, что уравнению (6) удовлетворяют координаты тобой точки, леэкащей на параболе. Легко показать, что оно удовлетворяется только коордннатамн точек, лежащих на параболе. 4 и и п»»»»~ » элемантленля твогия коничаских сечений (гл. ш Чтобы исследовать форму пзраболы по се уравнению (б), заметим, что х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси Оу, Каждому значению х соответствуют два значения у, рзвшле по абсолютной величине, ио противоположные по знаку, т. е, кривая симметрично расположена относительно оси Ох. С увеличением х абсолютная величина ординаты у увеличивается, причем когда х неограниченно растет, то ( у ( тоже неограниченно растет.
Кривая имеет вид, данный на (рис. 52). Парабола имеет одну ось симметрии; ось симметрии парабо.чы называют ее осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. Для параболы, заданной уравнением (б), вершиной является начало козрдинат. Заметим, что все три рассмотренные линии — эллипс, гипербола, У парабола — в декартовой системе координат могут быть представлены уравнениями второй степени. й 6.
Построеияе точек эллипса, г гиперболы я параболы посредством циркуля я линейки. Из уравнения эллипса ($3) определяем а н Ь, изображая их отрезками ОА,и ОВ, на осях координат (рис. 53). Йз точки В„как из Ряс. 53. центра, радиусом, равным а, описываем окружность, которая в пересечении с осью Ох даст фокусы эллипса г", и р„ так как при таком построении соблюдается завксимость с' =а' — И, Найдя фокусы эллипса, делим отрезок 2а иа две части: г, и г, = 2а — г„ н радиусами, равными г, и г„описываем две окружности, принимая за их цент- Фгг ры соответственно фокусы г', и Г,. е Точки пересечения этих окружностей 5 а" " г лежат на эллипсе, так как сумма рас- 'Ь А стояний каждой нз этих точен до фокусов будет равна 2а. Меняя г„ бу- Ле дем получать новые точки эллипса.
Аналогично проводится построение точек гиперболы, Определяя нз уравне- Рнс. 54. ния гиперболы ($4) а и Ь, изображаем их отрезками ОА, и ОВ, на осях координат (рис. 54). Из точки О, как нз центра, радиусом, равным с=А,В„описываем окружность, которая в пересечении с осью Ох даст фокусы гиперболы Р, и г, (так как при этом построении соблюдается равенство е'=а*+5'). Найдя фокусы гиперболы, описывзем из них, как из центров, две окружности радиусов г, и г, = 2а+г,.
Точки М, и М, пере- й 7) эллипс, гипвгволл и плглволв как коничвскив сечения 83 сечения окружностей лежат на правой ветви гиперболы, так как разность расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна г, — г, = 2а. Меняв г„ будем получать новые У точки правой ветви гипербозы. Изменяя роль фокусов, получим точки левой ветви гиперболы. Перейдем, наконец, к построению точек параболы. Прежде всего строим фокус и директрису параболы, откладывая на оси Ол вправо от О от- Р л резок Ог., равный —, такой же отрезок ОК— гг 2 ' г влево от О и проводи через тачку К прямую, перпендикулярную к оси параболы (рнс.
55). Параметр р определяется из уравнения параболы. Проводим прямую линшо, перпендикулярную к осн па- дтл раболы, на произвольном расстоянии г) (д ) — ) от директрисы и из фокуса г'', как из центра, описываем окружность радиуса и'. Точки пересечения Л, и )т, проведенной прямой лкнин с окружностью прнналлежат параболе, так как для каждой из этих точек расстояния до фокуса и директрисы равны мезкду собой.
ф 7. Эллипс, гипербола и пара- боли как коническиесечения. Эллипс, гипербола и парабола могут быть получены сечением прямого кругового комуса плоскостями' ). Поэтому кривые этн называют коническими сечениями. Рассмотрим сечения прямого кругового конуса плоскостямн, ие проходящими через его вершину (рис. 56). Можно доказать, что если плоскость пересекает лишь одну полость конуса, не будучи параллельна нн одной из образующих его, то кривая сечения Рнс.
56. будет вллипсом; если же секущая плоскость будет параллельна одной из образующих конуса, то кривая сечения будет параболой. В том случае, ') Под прямым кругозыч конусом мы понимаем здесь коническую поверхность, которая получится, если каждую образующую обыкновенного прямого кругового конуса, рассматриваемого з элементарной геометрии, продолжить неограниченно в обе стороны. Поверхность эта может быть получена вращением прямой вокруг некоторой осн, пересекающей зту пряму1о. элвмантлгнля твогия коничвских сечений (гл, >ч когда плоскость пересекает обе полости конуса, кривая сечения будет гиперболой. Итак, в зависимости от положении сскушей плоскости сечением прямого кругового конуса будет эллипс, гипербола или парабола, й 8.
Зксцентриситет и директрисы эллипса. Нак известно из э 3, эллипсом называется геометрическое место точек, сумма рас- стояний которых до двух данных точек, называемых его фокусами, есть величина постоянная. Обозначая через г, =г,М и г, =Р,М расстояния любой точки М эллипса соответственно ло его правого н левого фокусов Г, и Р, (рис. 50), мы имеем согласно выше- упомянутому определению эллипса: г, +г, =2а. (7) С другой стороны, применяя формулы расстояния между двумя точками, мы получим (гл. )Ч, $ 3): г, = Р,М = )' (х+ с)'+у', г, = Г>М = ~' (х — с)'+ у', где х, у обозначают координаты точки М эллипса, а с — половину фокусного расстояния 7;Р,. Возводя двз последних равенств» в квадрат и вычитая, находим: г, — г, = (х+ с)'+у' — (х — с) — у*.
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получаем: г, — г, = 4сх. (8) Из уравнений (7) и (8), считая в них искомыми величинами г, и г„мы определяем последние. С этой целью, переписав уравнение (8) в виде (г, — г,) (г, + г,) = 4сх, воспользуемся уравнением (7), что нам даст: с г — г =2 — х. Ре>пая полученное уравнение совместно с уравнением (7), найдем г,иг;. с г =а — — х 1 л г,=а+ — х. с Величина —, входяшая в последкие формулы, называется экс>генл>риситето.и эллипса; мы буден> обозначать ее через е. Очевидно, с — есть отношение фокусного расстоянии 2с к длине большой а $8) ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА осн 2а, причем О~е(1, так как О~сс, а (для окружное си с=О и Е=О).
Таким образом, мы имеем следующие формулы для фекальных радиусов г, и г;. г,=а — ех, г,=а+ах. (9) Рассмотрим прямую к=1(1) а), параллельную оси Оу, и найдем, во-первых, расстояние г, произвольной точки М (х, у) эллипса от его правого фокуса и, во-вторых, — расстояние д, этой точки М от примой х=1 (рис. 57). Вычис- у лим отношение этих расстояний.
Так как й,=1 — х, то а — — Х а — ех е д, 1 — х 1 — к Если 1= †, то написанное ота е ' ношение — ' будет сохранять по- д, Рис. 87, стоннное значение, равное в. В силу симметрии то ясе заключение можно сделать относительно левого фокуса Г, и прямой с уравнением а х= —— е Эти дне прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и а отстоящие на расстояние — от его центра, назывюотся директрисами эллипса '). Как мы выяснили, они обладают следующим свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е. П р и ме р, Найти эксцентриситет н директрисы эллипса л'+ 2р'=2. Написав уравнение эллипса в виде: с' р' — + — =1, 2 1 заключаем, что а'=2, Ь'= !.
Следовательно, с'=аэ — Ье = 2 — 1 = 1, откуда с ! 3/2 а У 2 2 аэ Директрисы проходят на расстоянии — от центра эллипса (начала коор- с 2 динат), т. е. на расстоянии, равном — =2. Уравнения директрис ! х=+ 2, х= — 2. ') Окружность не имеет директрис. элгмглпленая твогия конических ссчан~й (гл. гг й Э. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Сохраняя обозначения предыдущего параграфа, в силу определения гиперболы (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
