И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Сколько касательных к эллипсу — + — =1 можно провести из точки 9 4 (1, 1), сколько из точки (3, 1) и сколько из точки (О, 2)? х' у' 26. Написать уравнение касательной к эллипсу — '+ — =1 в точке ( — 3, 3). 36 !2 27. Известно, что прямая 2х — оу — ЗО =0 касается эллипса — + — = 1* г х' у' 75 24 * Найти точку касания. 28*. Найти уравнения касательных„ проведенных из точки (4, — 1) к эллипсу х' у' 6 3 — + — =1. х' у' 29.
Найти касательные к эллипсу — + —,=1, проходящие через точку 9 < — 3, 1). х' ут ЗО*. Найти касательные к эллипсу — + — = 1, параллельные прямой 5 бх — 2у — 5 = О. ха уа 31. Найти касательные к эллипсу — + — =!. перпендикулярные к пря- 6 3 мой х — у+ 5 = О. ха у 32. Написать уравнения директрис эллипса — + — = 1.
06 ЗЗ. Написать уравнение эллипса, малая полуось которого равна 2 3' 6 и директрисами которого служат прямые х=-~-10, 34. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого рав- няется 2 и расстояние между директрисами 1О. 35. Найти эксцеитриситет эллипса, если расстояние между его директрисами в три рава больше расстояния между фокусами. 36. Расстояние между директрисами эллипса равняется 36. Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15. 37.
Расстояние между фокусачн эллипса равно 8, расстояние между его директрисами равно 12,5. Найти простейшее уравнение этого эллипса. х' уа 38а. Дан эллипс †+ = 1. Через точку (1, 1) провести хорду, деля- 6 5 щуюся в этой точке пополаи, ха „а 39. Дан эллипс — + — =1. Через точку (2 — 1) провести хорду, деля- 5 щуюся в этой точке пополам. 102 элса!ситАРнхн теОРии конических сечений (гл.
!у 40. Найти длину диаметра эллипса †, + — = 1, направленного по биссекх' у' трисе второго координатного угла. хз уз 41*. Доказать, что касательные к эллипсу †, + '†, = 1, проведенные в коно' цах одно!о и того же диаметра, параллельны. 42. Найти уравнения диаметров эллипса х + — = 1, длины которых равны у! 2 )х5. 43. Найти угол между двумя сопряженными диаметрзмн эллинса Хз т — + — = 1, из которых один наилонен к большой оси под углом в 30'.
6 х ц 44. Найти для эллипса — + — '=1 направления и длины двух сопряжеи- 8 4 ных дкаметров, из которых один проходит через точку (4, 2). х' у' 45. Определить длины сопряженных диаметров зллипса — + — =1, ко- 9 2 торые образуют между собой угол в 60'. х* у' 46*. Найти уравнения равных сопряженных диаметров эллипса —,+ —, = 1. 47. Написать уравнения двух равных сопряженных диаметров эллипса х' у' — + — =1. 1 9 48 Найти угол между двумя равными сопряженнымн диаметрами эллипса хг у! — + — =1. 6 2 49*. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей на этом отрезке.
х' у' 50. Найти простейшее полярное уравнение эллипса — + — =1. 9 4 Гипербола 51. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная, что: а) полуоси ее равны соответственно 5 и 4 единицам длины; б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12; в) действнгельнан полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1,4; 4 т) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен — ; 3 ' д) действительная полуось равна Рг!5 и гипербола проходит через точку (5, — 2); е) гипербола проходит через точки (2 Р' 7, — 3) и ( — 7, — 6 у' 2). 52. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриснтет гиперболы, ааданной уравнением: а) 25х' — 144у' = 3600, б) 1бу* — 9х' = 144.
55. а) Найти зависимость л!ежду висцептриситетом гиперболы и углом между ее зсимптотами; б) выразить отношение полуосей гиперболы через зксцентриситет. Как влияет величина эксцентриснтета иа форму гиперболыу упвлжнемия 54е. дана гипербола — — — = 1. Найти уравнение диаметра, длина котохз у* !5 рого равна 2'$~29. 55. На гиперболе — — — =! взята точка, абсцисса которой равна 8 н х' у' 16 9 орднната положительна. Вычислить фокальные радиусы этой точки, х» у' 56.
Дан эллипс — +==1. Найти уравнение гиперболы, вершины кото- 8 рой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса. Х' уч 57. Найти касательные к гиперболе — — — = 1 в точках пересечения ее 10 6 с прямой 3х — 5у=О. х* ут 58. Найти касательные к гиперболе — — — = 1, проходящие через точку 9 8 (2, 1). х* у' 59. Найти касательные и гиперболе — — — =1, параллельные прямой 4 5 Зх — 2у = О. х' у* 60. Доказать, что для гиперболы —,— —,=1 произведение расстояний а' Ь' от фокусов до касательной равно Ь'. 61.
Доказать, что асимптоты равнобочной гиперболы делят пополам углы между ее сопряженными диаметрами. х* уз 62*. 1) Найти отклонение фокуса гиперболы — — — = 1 от асимптоты. а" Ь' 2) Доказать, что произведение расстояний шобой точки гиперболы до асимптот есть величина постоянная. 68. Даны фокальный параметр р и эксцентриситет е гиперболы. Найти полуоси. 64.
Гипербола касается прямой х — у — 3= О в точке (5, 2). Составить уравнение этой гиперболы. хз у' 65. Найти иасательные к гиперболе — — — =1, перпендикулярные к пря. 2 7 мой х+2у — 3=0. 66. Найти уравнение гиперболы, зная, что расстоямие между ее директри- сами равно 6, а расстояние между фокусами 10. 67. Найти эксцемтрнситет гиперболы, если известно, что расстояние между ее директрисами в трн раза меньше расстояния между фокусами. 68. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы — — = 1, х* уз 6 4 угол между которымн равен 45', 69. Найти уравнения диаметров гиперболы х' — — =1. длина которых уз 4 раппа 2 гг5.
„з а 70. Дама гипербола — — ==1. Написать уравнения асимптот. 9 25 71. Найти уравнение гиперболы, если известно, что: а) а=Ь и директрисы даны уравнениями х=-~-2; 1 б) асимптоты даны уравнениями у=ч- —, х и расстояние между фокусами 2 равно 10; 104 ЭЛЕМРНТЛРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕПИй [Гл. Тк 3 в) аснмптоты дани уравнения»»и у= -~- — х и гипербола проходит через 5 точку (1О, — 3 РгЗ).
72. Даны ючкн А ( — 1, 0) и В(2, 0). Точка М движется так, что в треугольнике АА(В угол В остается вдвое болыце угла А. Определить траекторию движения. 73. Две прямые вращаются около двух неподвижных точек н противоположных направленинх н с одинаковой угловой скоростью. При начале движения одна из этих прямых совладает с прямой, соединяющей данные точки, а другая перпендикулярна к этой прямой. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых.
74. Составить уравнение касательной к гиперболе ху = гл в точке (х», у»). Парабола 75. Составить уравнение параболы, зная, что: а) осью симметрии параболы служит ось Ох, вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины; б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку (2, — 4) и вершина ее лежит в начале координат; в) парабола симметрична относительно осн Ох, проходит через точку ( — 2, 4) и вершина ее лежит в начале координат; г) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке (О, 3) и вершина совпадает с началом координат; д) нарабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку (4, 2) и вершина ее лежит в начале координат; е) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку ( — 4, — 2) и вершина совпадает с началом координат; ж) фокус имеет коордикаты (3, 0), директриса служит осью ординат н ось симметрии — осью абсписс; з) фокус имеет координаты (О, 3), директриса служит осью абсцисс и ось симметрии — осью ординат, 76.
Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке (а, Ь), параметр равен р и направление оси симметрии совпадает: а) с положительным направлением оси Ох; б) с отрицательным направлением оси Ох; в) с положительным направлением оси Оу; г) с отрицательным направлением оси Оу. 77.
Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в начале координат, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Ох, а параметр р равен расстоянию от фокусов гиперболы 4х» — Оу»вЂ” — 36 =О до асимптот, 78. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке ( — 2, 1), направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Оу, а параметр р равен расстоянию между директрисами эллипса Зх» -~- + 4у' — 48 = О.
79. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы у'=2рх и перпендикулярной к ее осн симметрии. 80» Дана парабола у'=бх Через точку (4, 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам 81. Дана парабола у»= — 8х. Через точку ( — 1, 1) провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам. 82. Найти уравнения диаметров параболы у* = 8х,сопряженных с хордами, наклоненными к инм под углом в 45', ьчтглживиии 105 83.
Дана парабола ут=10х. Найти к этой параболе касательные в точках, в которых она пересекается с пряной у=4х — 5. 84. Найти такую точку на параболе уз= 12х, чтобы касательная в пей образовывала с осью симметрии параболы угол в ЗОе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
