И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 21
Текст из файла (страница 21)
85. Найти касательные к параболе ут=4х, проходящие через точку (3, — 4). 86. Найти уравнение касательной к параболе ух= 16х, которая была бы: а) параллельна прямой 2х — у+ 5=0; б) перпендикулярна к прялгой х †8 †. 87. Найти геометрическое ыеста центров кругов, проходящих через даннуго точку и касающихся данной пряной. ГЛАВА тГ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИИ й 1. Задача преобразования координат. Г!оложение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.
Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе. Эта задача будет разрешена, если м~г усР тановнм формулы, связывающие координаты р произвольной точки по двум системам, при- У 1 чем в коэффициенты зтих формул войду~ 1 ! постоянные величины, определяющие взанг мпое положение систем, сг Р Пусть даны две декартовы системы Рис, 88. координат хОу и ХО,)' (рис. 66). Положе- ние новой системы ХО,г относите.чьно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и д нового начала О, по старой системе и угол а между осями Ох и О,Х. Обозначим через х н у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через Х и )г — координаты той же точки относительно новой системы.
Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х н у выразить через новые Х н Г. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные а, д и сс. Решение втой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев. 1.
Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (а=О). 2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а=6=О). й 2. Перенос начала координат. Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами О и О, и одинаковыми направлениями осей (рис. 69). Обозначим через а н Ь коорлннаты нового начала О, в старой системе н через х,у и Х, )г — координаты про- 102 пОВОРОт осей коогдинлт Заме1ив, что вел ОА = а, зел ОР = х, вел АР=велО,Р,=Х, перепишем равенство (1) в внлс: х а+ Х= х, или х = Х+ а.
(2) Рнс. 69. Аналогично, проектируя М и О, на ось ординат, получим: ч=) +д. (3) Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе. Из формул (2) н (3) новые координаты можно выразить через старые: Х=х — а, У= и — д. (2') (3') и 3. Поворот осей коордвнат. Пусть да~ы две декартовы системы координат с одинаковым началом О н разными направлениями осей (рис, 70). Пусть сс есть угол между осями Ох н ОХ. Обозначим У через х, у н Х, г координаты произвольной точки М соответственно в М старой и новой системах: х=вел ОР, у=вел РМ, Х=вел ОР„У=вел Р,М. Рассмотрим ломаную линию ОР,МР р и возьмем ее проекцию на ось Ох.
е Замечая, что проекция ломаной линни у равна проекции ззмыкающего отрезка Рнс. 70. (гл. 1, 3 8) имеем: пр ОР,МР= вел ОР. (4) С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. 1, в 8); следовательно, равенство (4) запишется так: пр ОР, + пр Р,М+ и р МР= вел ОР. (4') Так как проекция направленного отрезка равна его величине„ умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой извольной точки М соответственно в старой и новой сястсмах. Проектируя точку М на оси О,Х и Ох, а также точку О, па ось Ох, получим на оси Ох три точки О, А и Р. Как известно (гл, 1, $ 1), величнны отрезков ОА, АР и ОР связаны у следующим соотношением: вел ОА+ вел АР= вел ОР. (1) 108 пгеовглзовюшг.
коогдиплт. ктассиеикация линий (гл. т лежит отрезок (гл. 1, % 8), то пр ОР, = Хсоз а, пр Р,Л1= Гсов (90'+ а) = — Гв!и а, црМР=О. Отсюда равенство (4') нам дает: х = Х сов а — Гв!п а (5) Аналогия««о, проекгируя ту же ломаную на ось Оу, полу"нм выражение для у. В самом деле, имеем: пр ОР, + пр Р„М+ пр МР= пр ОР=О. Заметив, что прОР,=Хсоз(а — 90')=Ха!па, прР',М= Гсов а, пр МР= — у, будем иметь: Хв«п а+ 1'соз а — у = О, У=Ха!па+ Гсоза (6) Из Формул (5) и (6) мы получим новые координаты Х и Г выраженными через старые х и у, если разрешим уравнения (5) и (6) относительно Х и Г.
Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе. Из рис. 71 имеем: х = ОР= ОМ сов (а+ «р) = = ОМ соз а сов «р — ОМ в!п а в!п «р, у=РМ= ОМв!п(а+«р) = = ОМ в!п а соа «р + ОМ сов а з!п «р. Рнс. 7!. Так как (гл. 1, 6 11) ОМсов«Р=Х, ОМв!п«р= Г, «о х=Хсоз а — Гз!и а, у = Х з!п а+ Г соа а. (5) (О) ф 4. Общий случай. Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис.
72). Обозначим через а и д координаты нового начала О, по старой системе, через и†угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и Х, à — координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам. й 5) некотогые пгиложения эогягл пгеовглзования коогдиплт 109 Чтобы выразить х н у через Х и У, введем вспомогательную систему координат х,О,у„ начало которой поместим в новом начале О„ а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть х, и у, обо- у, значают координаты точки М относительно У м втой вспомогательной системы.
Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем 5 2): х=х,+а, у=у,+Ь. Переходя, далее, от вспомогательной системы координат к новой, найдем Я 3): х, =Х сов а — Уаш а, Ряс. 72 у, = Ха!п а+ Усох а. Заменяя х, и у, в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно: х= Хсоа а — Уа!п а+а, (1) у=Ха!па+ Усох а+Ь. 1 Формулы (!) содержат как частный случай формулы Я 2 н 3. Так, при а=О формулы (1) обращаются в х=Х+а, у= У+Ь, а при а=Ь=О имеем: х=Хсоз а — Уа!и а, у=Ха!па+ Усова. Из формул (1) мы получим новые координаты Х и У выраженнымн через старые х и у, сслн уравнения (1) разрешим относительно Х и У.
Отметим весьма важное свойство формул (1): онн линейны отпосителыю Х и 1', т. е, вида: х=АХ+ВУ+С, у=А,Х+В,У+С,. Легко проверить, что новые координаты Х и 1' выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у. й 5. Некоторые приложения формул преобразования координат. 1, Уравнение равносторонней гиперболы относительно асимптот. Рассмот рим равностороннюю гиперболу, отнесенную к ее осям симметрии: х' — у' = а'.
11О пРеовРАЗОВАнне кооРдинат. классиеиклция линий (гл. т Аснмптоты ее взаимно перпендикулярны (угловые коэффициенты асимптот равны 1 и — 1; см. гл. %, 2 4). Принимая их за новые оси координат, мы должны повернуть старые оси координат на угол +.45'. формулы преобразования: х=Хсоза — Уа)па, у=Хайна+ )'сова при а= — 45' (поворот по часовой стрелке) примут вид: х= —,( + у), у= — 2(~ — Х). Подставляя эти значения х и у в уравнение гиперболы х' — у'= р =а*, получим: —,(Х+ К)' — — (!' — Х)'=а'.
2 2 Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, получим: 2Хг'= а*, или Х)е= 2 ° (7) Это и есть уравнение равносторонней гиперболы, когда асили координат слу- Л жат ее аеилептоты (рис. 73). ЧитаРнс. 73. гелю рекомендуется проверить, что, вы- бирая угол поворота а=+45',мы получим уравнение равносторонней гиперболы в виде: па ХУ'=- — — . 2 2.
Геометрический смысл дробно-линей ной функц и и. Дано уравнение ох+ Ь, у= — ). ох+ а Требуется исследовать кривую, определяемую этим уравнением. Буден считать с~О, так как в случае с=О наше уравнение будет, очевидно, уравнением прямой линии. Разделив числитель и знаменатель на с, придадим уравнению вид: пх+ 5 у= х+б ' ') Предположим, что од — Ьс ж О, так как в противном случае уравнение не содержало бы переменного х. й 51 някотогыв пгиложвния ооемтл птяовтазования коогдинат 111 где положено: а Ь д а= —, р=— с' с' с Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало координат в нову1о точку плоскости.
Пусть координаты нового начала х„ у, пока произвольны, Формулы преобразования суть: х = Х+ х„у = г" + у,. Подставляя в данное уравнение вместо х и у их выражения через Х и Г, найдем: (Х+хе+ Ь) (1'+у,) =а(Х+х,)+ р„ Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов. ХУ+(у,— а) Х+(х, + Б) У+(х,у,— ах, + Ьу,— р)=0.
Так как х, и у, произвольны, то выберем нх так, чтобы исчезли члены с Х и Г. Для этого нужно положить у, — а = О, х +Ь=О, откуда х,= — Ь, у,=а. Внося эти значения в преобразованное уравнение, получим: Х)'= () — аБ. Очевидно, полученное уравнение является уравнением равносторонней гиперболы, для которой новые оси координат явлюотся асимптотамн (см, предыдугций пример).
Следовательно, данное уравнение оп- Рнс. 74. ределяею равнослгороннюю гиперболу с центром в жанке (х„у,), асимптолсы когаорой параллельны осам координат (рис. 74 соответствует случаю р — аБ) О]. 3. Геометрический смысл квадратной функции. Дано уравнение у=ах'+дх+с. Требуется исследовать кривую, определяемую этны уравнением. Предварительно упростим уравнение кривой, перенеся начало координат в новую точку плоскости. Пусть координаты нового 112 ИРаовРАзование ИООРдинлт. клАссиФикАция линий [Гл. ч начала х„у, пока произвольны.
Формулы преобразования суты х= Х+х„у= У+у,. Подставляя в данное уравнение вместо х н у нх выражения через Х н 'г', найдем: У" + у, = а ( Х+ х,)* + Ь ( Х+ х,) + с. Раскрываем скобки и делаем приведение подобных членов: у"= аХ' + (2ах, + Ь) Х+ (ах', + Ьх, + с — у,). Подберем х, н у, так, чтобы исчезли член с Х в первой степени и свободный член.
Для этого нужно положить 2ах, +Ь= О, ах,'+ Ьх, + с — у, = О, откуда Ь 4ос — Ь' У 2а' а 4а Внося эти значении в преобразованное уравнение, получим: У= аХх. Оченидно, что полученное уравнение определяет парооолу, для которой новое начало координат является вершиной, а новая ось ордиу наг служит осью симметрии. Следовательно, данное уравнение определпст параболу с вершиной в точке (х„ у,) и осью силслсетрии, расположенной параллельно оси Оу (рис„75). Для нахождения ее вершины важ- но только обратить внимание на то, д чтох,= — —, ордината же у,=у(х,) с[ находится подстановкой значения х, в уравнение кривой. Рнс.
75. Для построения кривой у =ах' + +Ьх + с удобно найти ее точки пересечения с осью Ох (полагая у =О), если только эти точки существуют, т. е. если корни квадратного уравнения ах' + Ьх +с=О действительны, Заметим еще, что при а ) О ветви параболы направлены вверх, а при а <. 0 в вниз. З 6) првовразованик онщкго уравнания второй сткпшш й В приведенном исслсдонании мы считали а~О; в случае а=О наше уравнение будет иметь вид: у=дх+с и, значит, сму будет соответствовать прял!ил линия. П ример. Привести уравнение параболы у=зха — бх — 1 к простейшему виду н найти координаты вершины.
Перенесем начало координат в точку (ха, уа). Формулы преобразования будут: к=Х+х, у=У+ум Заменяя в данном уравнении х н у нх выражениями через Х я У, получим: У+ уа= З(Х+ ха)' — 6(Х+х ) — 1, нлн У = ЗХ*+ (бха — 6) Х + Зх*, — бха — уа — 1 Полагая бх, — 6=0. Зха бха я» найдем: ха= ! на= — 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
