И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Внося эти' значения в уравнение, будем иметь: У =ЗХа, откуда иолу шм простейшее уравнение параболы Ха = —. у. 1 3 Ось симметрии данной параболы параллельна осн Оу; вершина находи я в точке (1, — 4). й 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения неремеинык. Общее уравнение 2-оЛ степени между двумя переменными, не содержащее их произведения, имеет анд: Ах'+ Су'+ ЕЬ+ Еу+ Р= О, где коэффициенты А и С одновременно не равны нулю, так 'как в противном случае уравнение превратилось бы в уравнение 1-ой степени, Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением нри различных значениях его коэффициентов. Слу чай 1, Коэффициенты при х' и у' одного знака.
Можно считзть, что они положительны, так как если бы они были отрицательными, то, умножив обе части уравнения на ( — 1), аы 5 и. и. привалов 114 пгеозгазовлние коогдинлт. кллсснеиклмия линий [гл. т сделали бы их положительными. Перепишем уравнение (8) следующим образом: А (х'+ — х) + С (у'+ — у) + Р= О. Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого 0' Е'. к левой и правой частям уравнения прибавим — + —; уравнение примет вид: !з [з'т /, е е'т !з' е' '4(х + А х+4Ат)+ (» + С «+4С1) А+ С 4С1) 4А 4С или А(х [ ")* [ С(» [ ')*=~~+ "Е '"С" (9) !з ел Перенесем начало координат в точку О ~ — — — —,). Тогда по 2А' 2С/' формулам (2') и (3') (% 2) +2А 1+ !! Е гле Х и У вЂ” координаты в новых осях.
Обозначим правую часть уравненпя (9) через О С!З'+ АЕа — 4АСР 4АС В результате уравнение (9) примет зид: А Х' + С У~ = К (1О) Пусть (У) 0; разделив обе части уравнения (10) на [У, получим: А А +5 У'=1. А 1 С ! Введя обозначения — =- и — = —, что возможно, так как А У а' С Ь' ' Э С и 1! положительны, будем иметь Х' У' +-,=!. а' Ь Это есть уравнение эллипса, Следовательно, в данном случае уравнение (10), а значит н уравнение (8), определяет эллипс (в частности, при а= Ь вЂ окружнос).
1(ентр этого эллипса имеет !! Е координаты — — и — —, (в системе координат хбу) а его оси парал- 2А 2С 1 лельны осям координат. Если Сг=й, то уравнение (10) будет иметь вид АХ'+ВУ' =О. Оно определяет только одну точку Х=О, У=О, так как при любых ф 6) пввовгазовлиик овщвго тэлвнкния втоеой степени 115 других значениях переменных левая часть уравнения положительна.
Возвращзясь к уравнению (8), видим, что ему удовлетвориют коорди- (' П Е) ваты только одкой точки О 2А ' 2С) ' Наконец, если (7(0, то правая часть уравнения (10) отрицательна, в то время как оба члена левой части при любых значениях Х и )г неотрнцательны. Следовательно, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению (10), а значит и уравнению (81. В этом случае уравнение не определнет никакой линии.
Пример. Упростить ураэнепие кривой 4х' + 9д'+ 32х — 54д + 109 =- 0 и установить ее зид. Перепишем уравнение гзк: 4 (х'+ 8х) + 9 (дз — 6д) = — 109. Дополняя выражения в скобках до полных кзадратоз, получим 4 (х' + 8х + 16) + 9 (дз — 69 + 9) = 64+ 81 — 109 илн, после преобразований.
— + =1. (х + 4)' (д — 3)* 9 4 Перенесем начало координат в точку О,( — 4. 3); полагая Х=х+4, У=д — 3, будем иметь Х' г'з — + — =1. 9 4 Это есть уравнение эллипса. Центр его лежит з гочке ( — 4, 3), а полуоси равны 3 и 2 (рис, 76). Заметим, что обычно нет надобности писать уравнение эллипса з системе координат ХОГ. Лучше оставить егэ в виде — + (х+ 4)' 9 + — =1. В эгей форме за. (д — 3) 4 ииси сразу видны координаты цен- Рнс. 76.
тра эллипса. Случай П. Коэффициенты А и С уравнения (8) имеют разные знаки. Для определенности положим, что А)0, а С(0. Как и в случае 1, приведем уравнение (8) к видуг 0 Е) Перенесем начало координат в точку О ( — — — — ) нобозна- 2А ' 2С) чим правую часть уравнения (11) через К После этого в системе пгвовглзовлниа коогдинлт. кллссиеикацнн линий 1гл. ч координат ХОг' уравнение (11) примет вид АЛ +С)а=У, !де !з е +2А ' У+ 2С (12) Пусть У отлично от нуля. Разделив обе части уравнения !12) ' и,,у» — Х'+ — У'= 1.
После етого уравнение примет вид: Х' 'г' Ь а' Ь' Это уравнение гиперболм, действительная на оси О,Х, а мнимая на оси О,г. Если же У( О, то, обозначая А ! с! а'' ось которой лежит С 1 (/ Ь" ' гридем к уравнению х' !'* уа Х' а' ~ Ь' Ь'-' а' Это тоже уравнение гипербольь Только действительная ось ее лежи~ па оси О,Г, а мнимая — на оси О,Х. Итак, н рассматриваемом случае уравнение (8) определяет гнпср!з е! балу с центром в точке ( — —,, — —, ), Действителы!ая ось ее йд 2С,) будст параллельна осн Ох илн оси Оу в зависимости от знака У.
Пусть У= О. В ятом случае уравнение !12) представится так: АХ'+ СУ' = О. Полагая А=в' и С= — и*, перепишеа!' его в таком виде: в'Л вЂ” и'У' = О или (вХ+ и У) (вХ вЂ” и У) = О, По вто уравнение распадается на два уравнения первой степени; вЛ'+лу= О и вЛ' — иг'= О. Рслн У >О, то можно ввести обозначения (напомним, что по условию ;! >О, С~О): А ! С ! и а" и Ь' Ф 6) пгговелзовлник оыпкго гглвнкния втогой сткпкнп 117 Каждое из пих есть уравнение прямой, проходящей через то ~ну Х=О, )г= О, т, е. через точку О,. Таким образом, при (7=0 уравнение (12), а значит и уравнение (8), определяет пару пересекающихсн прямых.
Как говорят, кривая выродилась а пару прямых. П р и м е р 1. Упрости гь уравнение кривой 4х* — 25у' — 24х + 50у — 89 = 0 и установить ее вид. Перепишем уравнение так: 4(хз — бх) — 25(у' — 2у) =89 и каждую из скобок дополннлг до полного нвадрата: 4 (х' — бх+ 9) — 25 (у' — 2у+ 1) = 89 + 36 — 25. После преобразований получим (х — 3) (у — 1) =!. 25 4 Это уравнение гнперботы с венгром в точке (3, 1).
(Как мы уже отмечали, нет Рнс. 77. надобности переходюь к системе координат Х0$'.) Дсйсгвнтельнзн полуось ее равна 5, а мнимая равна 2. Расположение агой гиперболы показано па рис. 77. П р имер 2. Упросгнть уравнение кривой 4х* — у' + 4у = 0 и установить ее внд. Прообраз>ем уравнение к аиду 4х' — (У вЂ” 2)' = — 4, илн (у — 2)з — — х*=) 4 Это уравнение гиперболы с пентром в точке (О,х).
Действительная полуось 118 певоввазованик кооеднньт. клхссиенкация линий [гл. чг равна 2, а мнимая равна 1. Расположение гиперболы показано на рнс. 76. Так как в уравнении отсутствует свободный член, то гипербола проходит через начало координат.
Пример 3. Упростить уравнение кривой 9х' — !6у' — 36х+32р+ 20=0 и установить ее внд. Рис. 73. Перепишем уравнение так: 9 (х' — 4х) — ! 6 (р' — 2у) = 20 После преобрааований получим 9(х — 2)е — !6(р !)'=О. Представив левую часть в виде произведения [3 (х — 2) + 4 (у — ! )1 [3 (х — 2) — 4 (у — 1)1 = О, замечаем, что уравнение распивается на два: Зх+49 — 10=0 и Зх — 4у — 2=0, Мы получилк две прямые, пересекающиеся в точке (2, !) (см. рис. 79). Случай 111. Коэффи!!иент С уравнения (8) равен нулю (А-ыО).
В этом случае уравнение (8) принимает иид: АХ+ Ох+ Еу+ Г= О, (13) Предполагая, что Е-6 О, разрешим его относительно у А е 0 г у = — — х' — — х — —. Е Е Е' ф 6) пгвовгазования овщвго тгавнвння втогой ствпвни 119 Введем обозначения: Е н — — =с. Е А 0 — — =а — — =Ь Е ' Е Наше уравнение запишется так: у = ах'+ Ьх + с. 114) Преобразуем его к виду Ь Ь'т Ь' у=а(х'+ — х+ — ) — — +с, а 4а') 4а илн у — (с — — )=а(х+ — ) .
Это есть уравнение параболы. Вершина ее наяодится в точке О„а ось Ряс. 79, симметрии лежит на оси О,)г и, следовательно, параллельна первоначальной оси Оу. Заметим, что уравнение 114) было рассмотрено в Я б, где приведение его к простейшему виду производилось иным способом. Если в уравнении 113) Е= О, то оно примет вид; Ах*+ Пх+ Е = О, 11б) т, е. будет содержать только одно переменное х„ Ь Ь" 1 Перенесем начало координат в точку О ~ — —,; с — — ). Полагая 2а' 4а ) Ь 7 а~1 К=х+ —, г=у — (с — — ), получим уравнение 2а ' )'= аХ'. 120 ПРВОВРАЗОВАИИЕ КООРДИНАТ.
КЛАССНЕИКАНИЯ ЛИНИЙ (ГЛ. и Пусть а, и а, †кор этого уравнения. Тогда уравнение (15) принимает еид А(х — а,)(х — а,)=0. Приравнивая к нулю казкдую из скобок, получим два уравнения первой степени: и х — а,=о. х — а,=О Бслн корни а, и а, действительные, то каждое из них есть уравнение прямой, параллельной оси Оу. (Прн а,=а, обе прямые слназются.) В этом случае говорят, что кривая выродилась в пару параллельных лрялгых. Если же корни а, и а, мнимые,то трехчлен Ах'+Рх+ г ни при каких действительных значениях х не обращается в Рнс. 80. нуль и, следовательно, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворялн бы уравнению (15).
Разумеется, ход нашего исследования не изменится в случае А=О, С НО, Прныер. Упростить уравнение кривой 4у'+ 8у — 2х — ! =О и усганоаить ее анл. Разрешим уравнение относительно х ! х=2у'+ 4у — —, 2 и преобразуем его к внлу: 8 х=2(у'. + 2у )- П вЂ” —, 2 нлн х+ — =2(у+ !)*. 8 2 8 Это уравнение параболы, вершина которой нахолнгся а точке ( — —, — 1). 2 ' Ось синмезрнн параболы параллельна осн Ох; ветви параболы направлены аараао (см, рнс. 80!. ф 7. Преобразование общего уравнения второй степени. Рассмотрим теперь общее уравнение 2-ой степени между переменными х иу Ахз + гзху + Су'-~- Рх -' су -' Р = О, (16) считая, что В ~ О, $7) пгвоввлзование овщего ггавиения втогой степени 121 Покажеи прежде всего, что нрн помощи поворота координатных осей его всегда можно привести к виду, не содержащему члена с произведением переменных, Поверием координатные оси на некоторый угол а, который выберем вноследствяи Как известно, формулы преобразовании координат име>от внд: х= Ксоз а — Гз!п а, у = Хгйп а+ Гсоза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
