И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Заменяя в данном уравнении л и у их выражениями по формулам преобразования, получим: А (К соа а — Г гйп а)'+ В(Х сов а — Г з!п а) (Хгйп а+ 1'соз а) + + С(Х з!п а+ Гсов а)'+ 0 (Х соя а — Г гйп и) + +Е(Хгйп а+ Гсов а)+ В=О. Раскрыв в атом уравнении скобки и сделав приведение подобных членов, Г>удем иметь уравнение данной линии в щ>вых координа>ах в таком виде: А,Х вЂ”;В,ХГ-(-С,~ -(-В,Х-(-Е,Г-(-Е=О, где для краткое>и положено: А, = А соя* а+ В а!и а соз п+ С а!п*а, В, = 2 (С вЂ” А) з>п а соз а+ В(сов* а — з!и' а), С, = А з!п' а — Вз>п а сов а+Ссоз' а, Е» = — Е> соа а + Е айп а, Е, = — О з!п а+ Е сов и. Выб>ерем угол а так, чтобы коэффициент В, обратился в нуль, т.
е. чтобы 2 ( С вЂ” А) ейп а соз а+ В (соз а — сип >> ! = О. (1> ! 1 Припомнив, что гйп а соз а = —, з!п 2а и и соз' а — з|п* » = соя 2а, перепишем уравнение (17), определяющее угол поворота а, в таком виде: (С вЂ” А) гйп 2а+Всоз 2а=б. (18) Заметим, что а!и 2а~О, тзк как в противном случае, как видно из уравнения (18), равнялось бы нулю и В, что противоречит условию.
Позтому уравнение (18) можно разделить на ап 2а, после чего получим (С вЂ” А)+ Вс)п 2 >а=0, 123 $8) КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ Как н следовало ожндагь, полученное уравнение не содержит члена с произведением переменных. Производя дальнейшее упрощенне, как это показано в $ б, придем к уравнению 3(Х вЂ” =) +(У вЂ” =) =-12 (Х- 3. ) (у- —.) 4 12 Таким образом, исходное Уравнение прелстаэлает эллипс с полуосями 2 и 2)~3 (рис. 8!). Чзобы найти коордннаты нелтра этого эллипса а сисземе коордннат ЛОд, подставим координаты 3 3 Х== н )г== точки О, в а2 )г2 ФоРмулы пРеобразования.
Получим 3 3 )г2 у.я 3 3 У2 Р2 =+— Р= ==3. тг2 Таким образом, центр эллипса кмеет координаты (О, 3). 8 8. Классификация линий. Так как в аналитической гео- Рис. 81. метрии линии определяются уравнениями, то в основу их классификации естественно положить свойства уравнений этих линий, В основу классификации линий мы положим свойства их уравнений в декартовых координатах, Перенося все члены уравнения в левую часть, мы придадим ему внд: (20) Е(х, у)=0, где Е есть символ функции от двух переменных х, у. Если уравнение (20) (т. е.
функция г(х, у)1 — трансцендентное, то и лимия, ии оаределяе.ная, наливается трансцендентной; если зке уравнение (20) — алгебраическое, то и линия, иле определяелгая„ наливается алгебраической. Например, линия, которой соответствует уравнение у=нюх, трансцендентная; уравнение же х'+ у' — Заху = 0 124 пггонглзонлннв коогдиньт. кллсснонкюгия линий [гл ч опрсдсляст шн.ебраическую линию. Так как одна и та же линия может быть представлена бесчисленным множеством различных уравнений, смотря по тому, к какой системе координат мы относим ес уравнение, то, чтобы оправдать возможность указанной классификации лилий на алгсбраичсскис и трансцендентные, необходимо показать, что алгебраический или трансцендентный характер линии не зависит от полозкения осей координат. Но действительно, так как формулы преобразования координат суть алгебраические, то всякое алгебраическое уравнение при любом преобразовании координат переходит в алгебраичсское; отсюда уже следуег, что трансцеплентное уравнение при любом преобразовании координат переходит в трансцендентное жс, так как если бы трансценлентное уравнение перешло в злгебраическое, то путем обратного преобразования алгебраическое уравнение переходило бы в трансцендентное, что невозможно Итак, алгебраический или трансцендентный характер линни [уравнения) не зависит от выбора осей координат, а зависит лишь от свойств самой линии.
Далее, всякое алгебраическое уравнение можно освободить от радикалов и дробей, если таковые в нем имеются. Таким образом, уравнение алгебраической линии можно привсстн к виду: чь' ,Ах'у' = О, т е. левая часть такого уравнения сеть сумма членов вида Ах'уг, где А — постоннное число, з и г — целыс положительные числа (нли нули) Говоря кратко, левая часть уравнения алгебраической линии есть целый многочлен Каждьай член Ах'у' многочлсна имеет определенное измерение, равное сул~мс показателей нри х и у, т е в+С.
Наивысшее из измерений всех членов уравнения называется степенью этого уравнения Если алгебраическая линия определяется в декартовых координатах уравнением и-й степени, то она нпзывается линией и-го порядка Так, в прсдыдуьпсм примере мы имели линию 3-го порядка; всякои прямой линии в декартовых координатах соответствует уравнение первой степени, и следовательно, прямая линия есть линия 1-го порядка; наконец, окружность, эллипс, гипербола и парабола суть линии 2-го поридка, потому что нм в декарговых координатах соответствуют уравнения второй степени Чтобы это деление алгебраических линий по их порядкам было законным, необходимо ноказатьц что оно не ззвисит от выбора осей координаг, т, е. что порядок линии остается неизменным при любом преобразовании координат, В самом леле, формул~а преобрааовання декартовых координат в декартовы же, как мы в свое время отмстили, внтяютсп линейными, т е первой степени Следовательно, заменяя в шнебраичсском уравнении и-ьо порядка х и у их выражениями упгхжнеиия первой степени через Х и )г, мы пе можем повысить порядок уран.
пения, т е., обозначая через и' степень ггреобразовагпго~о уравнения, мы имеем; и' и, (21) С другой стороны, путем обратного преобразования мы переходим от нового уравнении степени и' к старому степени и, и, следовательно, так как степень уравнения не может повыситься, то должно быть: п =и'. (22) Из сопоставления этих неравенств заключаем: и= и', т. е. поряоок уравнения не изменяежся при преобразовании декаргловых координалг. Итак, порядок алгебраической линии ие завнсиз от выбора осси координат, а зависит лишь от свойств самой линии. В указанной классификации линий весьма существенным является то обстоятельство, что в основу положена декартонз система координат 1)та классификация теряет всякий смысл, если пользоваться почярнымн координатами В самом деле, как мы видели, окружность в полярных координатах зюжет быть определена разлнчнымн уравнениями: г = 2а соэ гр, смотря по выбору полюса и полярной оси Первое нз написанных уравнений относительно текущих координат г н гр есть алгебраическое и первой степспн, второе же — трансцендентное.
Таким образом, в полярных координатах одна и та же линия может определяться как алгебраическим, так и трансценденгным уравнением, смотря по выбору полюса и полярной оси. Вследствие это~о нельзя классифицировать линии иа основе их урзвггений в полярных координатах, Упражнения 1, Координаты точки огноснгельно некоторой системы координат суть э=2, у= — 1 Чему будут равны координаты этой точки, если, сохраняя направление осей, перенести начала координат в точку а) (4, 5), б) (4, — 5), э) ( — 4, 5), г) ( — 4, — 5)7 2, Озносительно двух систем коордипаг, имеющих одно н то же направление осей, коордизагы некоторой точки суть (12, — 7) н (О, 15) Чему равны коордйнаты начала каждой нз этих сне~ем относительно другойз 3, Прн замене осей координат ноэымн, имеющими те же направления, что н осн прежней сис емы, координаты точки (5, 2) обращаются э (2, 5). Найти координаты начала каждой нз этих систем относительно дру~ой.
126 пезовздзования коогдинзт. кллссиеиклция линий [гл. у 16. Упростить уравнение параболы х = Мд'+ Фд+ Р. Найти также координаты вершины параболы и направления осей симметрии. 17. Построить параболы: а) д=2хт — 4х+8; в) д'+ Вд — 2х+ 12=0; б) х'+бх+у+ 7=0; г) 2д'+ 4д+х+ 6= 0, упростив предварительно их уравнения. 1В. Построить кривые: а) хе+ 4х+ 4де=О; б) 2х' — Вх+д' — бд+1 =-0; в) х' — Вх — 4д'=0; г) д' — бд — х'+ 2х = О, упростив предварительно их уравнения.
19. Состаоигь простейшие уравнения, а также построить кривые, выражаемые уравнениями: а) 2хд — 4х — 2д + 3 = 0; б) бх'+ 12хд — 22х — 12д — 19 = 0; в) х'+ 2хд+д'+ Зх+ у=О; г) 5х*+бхд+5д' — !бх — 1бд — 16= 0; д) 5ха+Вхд+бд' — 1Вх — 1Вд+ 9= 0; е) 4х' — 12хд+9д' — Збх [-100=0. 4. Лзе системы координат имеют одинаковые направления осей. Кооргннаты начала первой системы о~носительно второй суть (7, — 5). Чему равны координаты начала второй системы относительно первой? 5.
Как изменятся координаты любой точки М (х, д), если: а) изменить па противоположное нзправление на оси ординат; б) изменить на противоположные направления па обеих осях? 6. Как изменятся координаты любой точки М (х, д), если за ось абсцисс принять ось ординат и за ось ординат ось абсцисса 7. Чему будут равны координаты точки М (1, ~" 3), если повернуть оси координат на угол в 60'? В. На какой угол надо повернуть оси координат, чтобы координаты точки М (2, 0) стали равны между собой' 9.
Какои нид примет уравнение окружности х' +д'=а', если оси координат повернуть на произвольный угол а? 10. Какой внд примет уравнение гиперболы ха — д' =о', если оси координат повернуть на угол в 45'? 11. Какой вид примет уравнение ~иперболы хд = 1, еслм оси координат повернуть на угол в 45'? 12.
1[вне уравнение д= 4ха — Вх+ 5. Лреобразовать его таи, чтобы оно не содержало члена с первой степенью л и свободного члена; начертить кривую. 13. То же для уравнения д= — Зх*+ бх. 2х+ 3 14. Дано уравнение д= —. Преобразовать его так, чтобы оио не х+4 ' содержало членов первого кзмеренин; начертить кривую, 15. Упростить уравнения кривых: а) Зх+ 2д'+ Вд — 1 = 0; б) д' — 4х — Вд = О. упелжиения 127 2О. Какого порядка алгебраическая кривая, выражаеыая ураваопыи Ьг х + у + )г х:у = 17 21.
Какие из иижспаписапных уравнении выража~ог алгебраические кривые и какие траиспеидептяые. а) хв + у" + 1 = О, б) ах + ЬР + 1 = О в) хсови+усоар — р=О; г) асовх+Рсову — у=О (а, Ь, и, р — постоянные)7 22. Даны уравнения кривых в полярных координатах: Ь а) г=асов~р; б) г=а+ —; в) г=а(1+ссвЧО. сов ф' Показагь, что оии выражжот алгебраические кривые. ГЛАВА 71 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА ф 1.
Определителв 2-го порядиа. Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными а,х+Ь,у=с„ а,х+ Ь,у = с,. Чтобы найти решение системы (1), исключим сначала неизвестное у. Для етого умножнм первое уравнение на Ь, и второе на Ь„а затем, вычитая второе уравнение из первого, получим: (а,Ь, — а,Ь,) х = с,Ь, — с,Ь,. (2) Аналогично исключим неизвестное х из системы (1) и найдем: (а,Ь, — а,Ь,)у = а,с, — а,с,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
