И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

При замене строк столбцами величина определителя не меняется (равноправность строк и столбцов). Это свойство может быть вырзжено так: а, а, а, с, с, с, а, д, с, аь ()ь сь а,(),с, Справедливость этого свойствз легко проверить, вычисляя определителя, стоящие в левой и правой частях равенства, согласно схеме (17): "а, б, ':с, иг,,бг 'жь аз,"аз м,лгв д,',.д .й:Ф: д, В самом деле, мы усматриваем, что в обоих случаях влементы, перечеркнутые сплошной чертой, как и элементы, перечеркнутые пунктиром, будут давать одни и те же произведения.

Следовательно, в определителе строки вполне равноправны со столбцами, и все остальные свойства будут иметь место как по отношению к строкзм, так и по отношению к столбцам, 11. При перестановке двух столбцов (или строю) определитель лить меняет знак. Тзк, например, переставляя первый и второй столбцы, получим: д,а,с, а,(),с, а, бь с, а, д, с, Это свойство легко проверить, пользуясь схемой (17).

Действительно, при перестановке двух сточбцов элементы, перечеркнутые сплошной чертой, займут место элементов, перечеркнутых пунктиром, и обратно, что равносильно изменению знака определителя. П!. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю. В самом деле, с одной стороны, при перестановке одинаковых столбцов определитель не изменяегся; с другой же стороны, в силу свойства 11 он должен переменить знак, т.

е. если через Ь обозначим величину определителя, то Ь= — Ь, откуда Ь = О. 1ЗЕ опевделители 2-го и 3-го погадка [гл. щ Чтобы установить дальнейшие свойства определителей, введем предварительно некоторые новые понятия. Если из определителя а, д, с, а, д, с, а, д, с, вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении кото- рык стоит некоторый элемент, то получится определитель 2-го па- рника, который называется минором определителя ст, соответ- ствующим этому элементу.

Так, например, минором определители га, соответствующим элементу д„ будет определитель 2-го порядка а, с, Условимся называть алгебраическилс дополнением А неко- и, с, торого элемента а соответствующий сму минор, азятый со знаком+ илн —, смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, четным или нечетным числом. Так, например, алгебраическое дополнение элемента д, будет Располагая сунну, стоящую в правой части формулы (16), но элементам, например первого столбца, получим: сг=а,(д,с,— Ь,с,)+а,(д,с, — Ь,с,)+а,(Ь,с,— д,с,) пли ст= а,А, +а,А, + а,А„ где Аг есть алгебраическое дополнснис элемента ао Легко проверить, что аналогичная формула имеет место и по отношению к любому столбцу, а значнг, и к любой строке.

Итак, получаем разложение определителя ло элементам некоторого ряда (строки или столбца): Л=а,А,+ а,А, +а,А„Л= — а,А, +Ь,В, +с,С„ (18) где большими буквами обозначены алгебраические дополнения элементов, обозначенных малыми буквами. Если в определителе ст заменим, например, элементы первого столбца а„ а„ а, элементами второго столбца д„ Ь„ Ь„ то при -втой замене алгебраические дополнения А„ А„ А„ пе солсржащне элементов первого столбца, не изменятся, а потому, если в правой части первой формулы (18) вместо а„ а„ а, подставить элементы д„ д„ д„ то сумма будет равна определителю, у которого первый % ч! основные свойства опгглглнтзлкй 3-го погадка 137 и второй столбцы одинаковы, т.

е, будет равна нулю: Ь,А, + Ь,А, +Ь,А, =О, Поступая аналогично, получим нз первых трех формул (18) сле- дующую группу формул: Ь,А,+Ь,А,+Ь,А,=О, с,А,+с,А,+с,А,=О, а из последних трех: а,А, + Ь,В, + с,С, = О, а,А, + Ь,В, + с,С, = О, Написанные формулы (18), (19) и (19') выражзют следующее свойство определнтелн: !'т'. Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю, а сумма произведений зле,кентов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения соответ- ствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки) равна нулю, )г.

множитель, общий элементам некоторого ряда ('столоца или строки), можно выносить за знак определителя. 'ь'!. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю, 11ослсдннс лвв свойства непосредственно вытекают из формул (18), определюощнх разложение определителя по элементам одного нз его рядов. Столь же просто доказывается и следующее свойство. )г!!. Если .элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сулииу двух слагаемых, то определитель моисею быть представлен в виде сулгмы двух определителей, у которых элементы расслсатриваемого ряда равны соответ- союенным слагаемым.

Это свойство, очевидно, распространяется на любое число слз- гаемых. Чтобы доказать это свойство, предположим, например, по Подставляя эти выражения в первую из формул (18), получим: ьь=(а,'А, +а,'А, + а,'А,)+(а"А, + а",А +а,"А,) =ь)'+ гз". Очевидно, ст' представляет определитель, получающийся из опреде- лителя Л, если в нем элементы первого столбца ззмснить трез а„ а,', а,'; определитель же ьь" получится из определителя л после замены элементов первого столбца на а",, а,", а",. !38 опггделнтгли 2-го н 3-го поеядкл [гл. т~ Ч[!!.

Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда (столбца или строки) прибавить (или ога них вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки), предварительно умножив эти последние на один и тот эке произвольн ~й лгножитель 1, В самом деле, заменим элементы, например первой строки, соответственно через а,+1а„б,+1!ты с,+1сь, Вследствие последнего свойства полученный определитель может быть прелставлсн в внлс суммы двух определителей. Первый из них будет иметь перву1о строку а„ Ь„ с„ т.

е. будет равен исходному определитсльо Ь Первая же строка второго опрелелителя булст 1а„1б„1с„ и, вынося 1 за знак определителя [Ч), получим определитель с двумя одинаковыми строками; следовательно, второй опредслитсль равен нулю [Ч[В вся же сумма равна исхолпому определителю Л. Пользуясь свойством Ч[![, можно все элементы некоторого ряда, кроме одного, сделать равными нулю, нс изменяя при атом величины определителя. Разлагая затем определитель по элементам этого рвда, привелем данный определитель 3-го порялка к одному определителю 2-го порядка.

Действительно, пусть в определителе аьбе с, а, б, с, элсмсат а, отличен от нуля. Вычтем из элементов второго столбца а, элементы первого столбца, умножив ях прелварительно на ~! и из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умноженные на — '. При таких преобразованиях в силу свойства Ч[В аь величина определителя не изменится, и мы подучим: а, О О а,т,п, аа тэ Пэ П р и не р. Вычислить определитель Вычитая иэ элементов второго столбца элементы первого, умноженные на 2, а нз элементов треп его столбца — элементы первого столбца, умноженные ва 5, получим: 8 5) СНСТЕМА ТРЕХ УРАВПЕНИй ПЕРЯОй СТЕЛЬНИ Непосредственное вы ~ислеине данного определителя путем разложения его по элементам некоторого ряда похрсбовало Сы несколько болгщнх выкладок н сводилось бы к следующему.

Применял, нагрьмер, первую нз формул (18), поль чаем; ! 234( 1 2 5~=2) ~ — ~ ~+4( ~=2( — 23) — ( — 1О)+4 7= — 8. 4 7 8~ (7 8~ ~7 8~ (2 б а,х+ Ь,у + сге = д„ а,х+ Ь,у+ сея = е(ю а,х+ Ь,у+ сее = г)„ (20) и предположим, что определигнедь алтай спсгвемаг Ь, с, Ь с, Ьг сг а, а, отличен от пуля. Умножим ураанения (20) почленпо па А„А„А, и сложим.

В силу формул (18) коэффициеггт при х будет равен Л, а в силу формул (19) коэффициенты при у и я будут равны нулю. Поступая аналогично, исключим х и е, а тюгже х и у. Таким образом, из системы (20) вытекает следующая система: хЛ=г(,А, +г(,А,+г(,Аю (21) хЛ=д,С, +лг,С, +гт',Г,.

г!Сгко показать и обрзтнос, что система (20) есть следствие системы (21), В самом деле, умножая ураяненпя (21) почленно на а,„ Ь„ с, и складывая, получим вследствие формул (18) и (!9): сх (а,х+ Ьу+ сгя) = аг,Л. Сокращая на мномгитель гх, отличный от нуля, получим первое нз уравнений (20). Аналогично можно получить и остальные два уравнения.

Итак, мы показали, что системы (20) н (21) равносильны, если определитель Л отличен от нуля, Из уравнении системы (21) находим: д,С,+д,С,+а,С, (22! д 9 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестнымн. К понятию определители 8-го порядка ны пришли, поставив задачу о решении системы трех уравнений с тремя цеизвсстпынн. Возвращаясь к этой задаче, рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными: !40 Опттлтлитслн 2-го н 3-го погядкь (гл. ч! Сумма с(,А, +41,А,-)-с),А, получается из суммы а,А, +а,А,+ -',-а,А„равной определителю 1), заменой а„а„а, на а„а'„41,, т. с. эта сумма равна определпгело, кгпорый получится из Л, если в нем ьссмснты перво~о столбпа заменить на а„с(„с),. Аналогичное заключение имеет место опкжитсльно числителей в выражениях у и г.

Таким образом, формулы (22) в более подробном виде запишутся гак: У, Ь, с, У, Ь, с, Л, Ь, с, а,31 с, ае аа с. а,а,с, (22') У= ! а,Ь,с, а, Ь, с, ат Ьт с, а, Ь, с, ат Ьт с, а, Ь, с, п мы приходим к следующему предложени!о: если определитель сне~сны (20) отличен от нуля, то эта система имеет одно определенное решение, получаемое по формулам (22'). В знаменателе дробей„выражающих х, у, г, находится определитель Ь данной системы, а в числителях — определ!пели 3-го порядка, которые получаются нз 1ь заменой коэффипиенгов при соответствующем неизвестном свободнычи членами (стоящими в правых частях). П р и м е р. Решить систему 2х — Зу+х+1 =0, х+у+г=б, Зх+у — 2г= — 1. Определитель системы ~2-3 1 ! -4 О( 1 ! = 1 11~= ( )= — 23 1 — 4 3 1 — 2 6 30 отличен от нуля; следовательно, система имеет единственное решение.

Характеристики

Список файлов книги