И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 28
Текст из файла (страница 28)
83. взятые попарно, определяют трн взаимно перпендикулярные плоскости хОу, уОг и гОх, называемые плпсквслщ.яи координат. Эти три плоскости делят все пространство на восемь часгей, называемых октаитами, причем точкам каждого октапта соответствует определенная комбинация знаков координат !рис. 831: у)0, г)0, у)0, г)0, у(0, г >О, ус О, г)0, у)0, г(0, у)О, г(О, у(0, г(0, у(0, г(0. октанте х) О, октаите х ( О, октанте х ( О, октанте х ) О, октанте х ) О, октапте х ( О, октанте х ( О, октанте х) О, в ! п~ П !! ! в !У в Ч в Ч! в Ч!! н Ч!!! Если точка М лежит в плоскости координат хОу, то г=о; аналопюно лля точек плоскости уОг координата х=о; для точек плоскости г0х координата у=о.
Вслн точка М леакит на оси Ох, то у=г= — 0; аналогично для точек оси Оу координаты г и х равны пу:по, дли точек оси Ог координаты х и у равны нулю. Наконец, н начале координат х=у =а=о. !координаты, которые принимаются в описанном способе для определенна положения точки, называются лряхпугольмм,ми, так как сочка М определяется пересечением трех плоскостей, пересскюощихси 154 !гл.
ь МНТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВВ под прямыми угламн (см, задачу 11), и по имени Декарта — также декартоеыльи. Из описанного метода координат вытекает решение двух основных задач. 3 а д а ч а 1. !ьо данной точке М определильв ее координаты. Через данную точку М проводим три плоскости параллельно плоскостям координат; три точки Р, О и гь', получающиеся в пересечении этих плоскостей с осями координат Ол, Оу и Ог и являющиеся проекциями точки М на эти оси, определяьот три координаты: х=велОР, у=вел О(,Ь, а=вел Ой.
Проведенные через точку М трн плоскости вььесте с тремя коордннатныььи плоскостями образуют прнмоугольный параллелепипед, ребра которого ОР, ОО и Огс называются координатными отрезками точки М. Задача И. Зная координпты х, у и а вовки М, построить ету вочку. По трем данным числам х, у и л строим три точки Р, О н ьс на осях координат, откладывая соответственно по осям отрезки ОР, ОО и Оьь', величины которых равны соответственно х, у и л. Проводя через точки Р, О и гг три плоскости, параллельные плоскостям координат, в пересечении нх получим единственнуьо точку М, дла которой л, у, л будут коорлинатами. 3 а и е ч а н и е 1.
Если мы условимся рассматривать направленные отрезки РО' и ОМ (рис. 82) как отрезки осей, направления которых совпадают с нзправлениями параллельных нм координатных осей, то ордината точки М будет выражаться не только величиной отрезкз ОО, но и равной ей величиной отрезка РО'. Аналогично апплнката точки М выразится как величиной отрезка Оьь', так и величиной о~резка ОМ. Тогда при решении этих основных задач не является необходимым проводить плоскости, параллельные плоскостям координат. Так, в задаче ! опускзем из дашюй точки М перпснлнкуляр на плоскость координат лОу. его основание Б (рнс.
82) определит проекцию точки М на плоскость хОу. Из точки О' опускаем перпендикуляр иа ось Ок; его основание Р опрелелнт проекцию точки М на ось Ол. Следовательно, три звена направленной ломаной линии ОРЗМ Определяют трн координаты точки М: вел ОР=х, вел РЬ'=у, вел ОМ=л, Так же при решении задачи !! откладываем по оси Ох от точки О отрезок длиною (л( единиц (вперед или назад в смотря по знаку х); через конец Р этого отрезка проволим в плоскости хОу прямую параллельно осн Оу и откладываем на ней от точки Ротрезок длиною (у( основиыв задачи 155 (вправо или влево †смот ио знаку у); получим точку 8, через которую проводим прямую параллельно оси Ох и откладываем на ней от точки Б отрезок длиною )г( (вверх или вниз — смотря по знаку х), Копен етого отрезка и является искомой точкой М. Направленные отрезки РЯ и оМ (так же как и отрезки ОР, ОГк и ОЛ) ыы будем называть координатными отрезками точки М.
Направленную ломаную линию ОРБМ, началом которой явлветсв начало координат, а концом — точка М, и три звена которой являются координатными отрезками точки М, будем называть координатной ломаюй линней О точки М. Д Из всего изложенного следует, ло каждой точке пространства в выбранной системе координат соответствует тройка чисел х, у,л— координат точки в и, обратно, всякая тройка Ряс. 84. действительных чисел х, у, х определяет в пространстве единственную точку, для которой указанные три числа являются соответственно абспнссой, ординатой и аппликатой.
По- этому задать точку — зто значит задать се кол ордннаты; найти точку — значит найти ее координаты. 3 ам е чаи и е 2, Возможны два типа взаимного расположения осей прямоугольной декартовой систе- О мы координат в пространстве.Если мы буден смотреть из какой-либо точки поюжнтельной полуоси Ое на положительную полуось Оу, то ось Ох может быть направлена вправо или влево. В первом слуРис.
88, чае система координат называется правой сис- темой (рис. 84), а во втором — левой (рис. 85). Для правой системы поворот от оси Ох к осн Оу на прямой угол будет пам казаться происходящим против часовой стрелки (если смотреть на плоскость хОу из кзкой-либо точки положительной полуоси Ог), а для левой — по часовой. Можно пользоваться как правой, так и левой снстемаьш, В дальнейлем мы будем применять только правую систему координат.
ф 2. Основные задачи. Изложенный в $ 1 метод координат приложим к решению многих задач. Рассмотрим сначала одну задачу вспомогательного характера, а затем (так же как и в первой части книги) разберем задачу о расстоянии между двух~я тачками и задачу о делении отрезка в данном отношении. Задача 1. Зная координаты точки относительно некоторой системы, найти координаты той же точки относительно новой системы, оси которой параллельны прежним осялс.
(гл. т 156 МЕТОД КООРЛИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Пусть координаты точки М относительно системы координат Охуг суть х, у и л. Возьмем другую систему координат О,ХУЯ, осн которой О,Х, 0,1' и О,а соответственно нарзллельны осям Ох, Оу и Ов и направлены в те же стороны (рис, 86). Координаты Рнс. 86. точки О, — нового начала — н ~тарой системе иусть булут а, О и с.
Обозначим через Х, 1' и х координаты точки М в новой системе. Спрашивается, как связаны между собой координаты точки М в старой и новой снстемахг Пусть А в проекция точки О, на ось Оу, а Я и О, — ироекции точки М соответственно на оси Оу и О,У'). 'Тогда (ч. 1, гл, !, $1) вел Ос) = вел ОА + вел АО = вел ОА + вел О ~„ или Совершенно так же, проектируя точки найдем: х=а+Х, г= с+Я. О, и М на оси Ох и Ох, (2) (3) Полученные формулы позволяют, зная Х, У и Х, найти х, у и л. Чтобы, обратно, анан х, у и х, найти новые коорлинаты Х, У и Я, нужно разрешить уравнения (2), (1) и (3) относительно Х, У и Я. Будем иметь: Х=х — а, У=у — Ь, х =и†с. В в и а ч а 11.
)тат)ти рассатоание жснсду двулта дакнет.ии точками. Если гочка М имеет коорлнннты х, у и г, то ее расстояние от начала координат представляет д:ншу диагонали прямоугольного Ч Вынод формулы проведен дон координаты у, "вк нет в атон случает чертеж наиболее наглнден. Основные задачи параллелепипеда, три нчмерсага которого суть )х(,)у( и (с) (рис. 621. Следовательно, обозиачзи >срез й нскомос расстояние, и>ьесм> д' = х' — ' у' -'- а', откуда д=) х»+у»+г', (ср т, е. рассльолнис точки Л1(х, у, с) от начала координаль равно квидрптному корме из су.с.иль >сваг>ральов координат за>ой воти.
Пусьь тсь срь даны дис точки М,(х„у„х,) и М,(х„у„с,); чтобы нзйти расстоиьшс мс'кду ними, перенесем начало координат н точку М,(х„у„с,), со:ранна нанравлшшн осей. Опнкитсльио новых осси каор;>ипаты точки М, будут (О, О, 0), а координаты точки М, оиосде.гньсн формул>ми (4): М,(х,— х„у,— у„с, — г,). Следовзтел>ми, ио формуле (.>) получим: >1=-~»ь (х» ->'ь> +(У» У>)" +(с» (О) т. е. расплолниг мкнсду сяумл л>о »коми М, (х„у„г,) и М, (х„у„с,) 1твно квадратнольу кори>о из сульмн квадратов рлзностсй одноименных коорс:инат ллиьх ьно»ьск. Прим с р. Найпь расс>олине между точкой М,(1, 2, 3) н то>кой А1,( — 1, 2, — 2).
Искомос расстониие по формуле (6) будет а = г 2»-(- 0+5» = ) 29. 3 а д а ч а 1Н. г)айти координаты тл >ки М, оелищсй> данный отрезок АВ л данном отношгнии, Пусть заданы две то >ки Л(х„у„с,), В(х„у„в,) и даш> отношение )., в котором искоторзи точка М(х, У, с) делит направленный отрезок АВ> ььсл Л >У1 ь) (> й ьел А(В Найдем координаты точк > А1, Пусть ь», ., Ц, су гь проск- Рнс 67. »ни точек А, М, В на ось Оу (см. рис. Ру). Тогда ЛМ:Л1В= (г,Б:Бьг„так как отрезки двух ирямых, з:ькльо >енные меж;ьу параььте>ььныии п>ьоскостььми, иропоршюиальиы, Лсгк« замститьм по величины наиравлеииых отрезков .АЛ1, ь)1В, С~,Ь' и Ь(>, удовлетворяют ш з;ю пчьюму равенству б>ьы ьсл0,5 (Б> пгл Льй вел ЧО» ') По.ь; обььч постановку за" и и ьм.
ч. 1, гл. 1, г> 6 [гл. ! 158 метОд коогдинлт В пгоотглнстнв Так как вел Я,5=у — у„вел ЯЦ, =у, — у (ч. 1, гл. 1, 3 3) н, по условию, вел МВ то равенство (8) примет вид: у у1 Уг У откуда у — у =Л(у,— у) " "у — у =)у — йу у+)ьу=у +)ьу*. Вынося в левой части у за скобку, получим: у(1+ й) =у, +) у, и, наконеп, у=' 1В + ) Уг = 1+1 (9) Чтобы найти координаты х и г искомой точки М, проектируем точки .1, М, В на оси Ох и О н аналогично получаем: 1+2 [11) Полагая в полученных формулах ),=1, найдем координаты середины отрезка (1!)) (12) т. е. координаты середины оп!резка равна полусулхиалс координат его начала и конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
