И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В 9 5 мы замстнзн, что проекция суммы векторов па любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Г!ричспяя это предложение относительно каждой оси координат, мы заключаем: При сложении эекторов одноименные прогкдии ик складызаютсн. Запишем это так: если А=Х,1+ )11+Е1)с, В=Х!+ Уз)+лг1с, то А+  —..— (Х, + Х ) !+(1, + 1;) 1+(у, +:,) )с. Из правя!и с.ю;кении векторов непосредственно нь~текзет пра- вило вычитзшш нек горов: чтобы эьтгсть эекпьзр, нудь но вычесть гго проекции, т. с, А — В ==(Х, — Х,)1+(У, — У,))+(Е, — т,) й.
Г1равило улп,о«сенин вектора на число получим умножением обеих чзстей равенства А =- Л;!+ );1+Я,(с па л (при этом мы пользуемся свойствами умножения, отмеченными формулами (4) и (6) 9 4): ).А = )сХ,1+ )с У,)+ Ы,(с, Таким обрнзом, чтобы улгножить вектор на число, нужно умнозкить осг его проекции нп это число. Заметна, что АМ = — г — гь Л1В=г, — г, перепишем наше угловое в виде. г — г, =й(г, — г), озкуда Следовательно, г — г1=-Лгг — лг н (! +2) г=г, + Лго г= — --. г,+Лг, 1+« 19) Обозначая через «ь р„г, координаты данной точки А, через «ь рь г, координаты лрзгой зз|шой точки В н через «, у, г координаты йскомой зонин М, перепашем фо! мулу (9) н проекциях: .ц А — й«т и~ + йи г, -4- йг. «=' — ' — — ", о= ' л г= '+ 1-",-1.
' - 1-(-Л ' 1-1-л Последние фону, ы бьшн ныяглгны а гл. 1, й 2. ') Радиус-вехтер точки !слоннмся записывать в скобках ряхоз с буквой, обозпачаюпсей зз у точку. Пример. Найгн радиус-вектор точки, делящей зотношеннн ЛотрезокАВ между точками А(г,) н В(г,)'). Найдем радиус-вектор г точки Л1, делящей о~резок АВ в данном отношении л (см.
ч. 2, гл. 1, $ 2). Очевидно, гго АМ =йлтВ. 174 элементы Вектоеиой ллгевгы [Гл. и ф 7. Скалярное произведение векторов. В механике и физике часто прнходнтся иметь дело со следующей задачей: найти работу силы Г, если точка, на которую действует сила, совершила перемещение ОА=А. Если точка движется по направлению силы, то, по опоеделенн<о, работа силы равна произведению величины силы па длину перемещения, т. е.
АР. Если же точка движется под углом ср к направлению силы, то работает только та слагающая силы Ор', которая направлена по линии ОА, а перпендикулярная слагающая уравновешивается сопротивлением. Проектируя силу на направление пути, получим (рис. 100): ! прГ= рсоа ф. т< Следовательно, работа силы будет равна: прГ А=АРсозф. Рчс. !00. Таким образом, по двум данным векторам Г и А мы определяем скаляр Арсозф. Последний называ<от скалярным произведением векторов А и Г. Итак, по определению, скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними.
С<салярное произведение принято обозначать одним из трех способов: А В=АВ=(АВ). Согласно определению имееьп АВ=АВсоз(А, В), где под (А, В) подразумевается угол между векторами метил, что Всоз(А, В) есть проекция вектора В на век~ора А, мы можем написать: АВ=А прлВ; (!0) А н В. За- иаправление (10') аналогично: (10") АВ=В прв А, илн словами: скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на лроекищо другого вектора на направление первого. В частности, если В=В' есть единичный вектор, то АВ' = — 1 прво А = прв. А, т. е.
лри скалярном умножении вектора А на единичный вектор получаем проекяию етого вектора А на направление единичного вектора. ф Щ основныя свойства скалягного пгоизведепия 175 й 8. Основные свойства скалярного произведения. 1. Скалярное произведение обри<кается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней л<ере один из векторов является нулевым или если векторы перпендикулярны.
В самом деле, если А=О, или В=О, или соз(А, В)=0, то АВсоз(А, В)=0. Обратно, если АВ=О и перемножаемые векторы ие ввляются нулевыми, то А ( В, потому что из условна ЛВ сов(А, В) =0 при А <-0 и В-.)ЙО вьжскзст: соз(А, В)=0, т. е. А ) В. Так как направление нулевого вектора неопределенно, то нулевой вектор можно считать перпендикулярным к любому вектору. Поэтому указанное свойство ска)ирпого произведения может быть сформулировано короче; скалярное произее<)ение одра<лается в нуль в том и о<олька том случае, )согда векторы перпендикулярны. В. Скалярное произведение обладаепь свойством пер~местительностиг (11) АВ = ВА.
Это свойство непосредственно вытекает из опрсделенисп АВ=АВсоз(А, В), ВА=ВАсоа(В, А), потому что (А, В) и (В, А) различные обозначения одного и того же угла. 1! !. Исключительно важное значение имеет распределительный закон. Его применение столь же велико, как и в обычной арифметике или алгебре, где он формулируется так: чтобы умножить сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить полученные произведения, т. е. (а + й) с = ос+ ))с.
Очевидно, что уьи)ожспне ь<иогозначных чисел в арифметике или миогочленов в алгебре основано на этом свойстве умножения. Такое же основное значение имеет этот закон и в векторной алгебре, так как на основании его мы можем применять к векторам обычное правило умножения многочленов. Докажем, что для любых трех векторов А, В, С справедливо равенство (А+ В) С = АС+ ВС. (12) 176 )гл. и элвмснты всктогной алгавеы По второму определению скалярного произведения, выражаемому формулой (10"), получим: (А+ В) С = С про (А+ В) Применив теперь свойство 2 проекций из й 5, найдем: (А+В)С=С(про А+про В)=Сирс А+Сирс В=АС+ВС, что н треоовалось доказать. 1~с, Скалярное произведение обладает свойство.и сочетотель- ности относительно числового лсножителя; зто свойство выра- жасгси сзсдуюгцей формулой: Л (АВ) = А (ЛВ), (13) т.
е. стобы улснозгсить скалярное произведение векторов на число, достаточно умножить на зто число один из со.иножителей. Лля доказательства мы вычисляя отдельно левую и правую части посгюднсго равенства (предполагая Л=- 0) Л (АВ) = АВ соа (А, В) Л, А(ЛВ) = А(ЛВВ') =ЛАВ сов(А, В') и заметим, что углы АВ и АВ' равны, потому что векторы В и В' одного направления, Легко проверить формулу (13! н при Лч„О. Как частный случаИ доказанного свойства отметим следуюшее пред.южсние: чтобы перемножить скалярно два вектора, можно один из них умножить скилярно на единичный вектор, направленный по воьорому, и полученное произведение умножить на длину второго, т, е.
0С = ()зС') С. 9 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциямп. Обозначая чсрсз Хм "г'„ Е, проекции вектора А, а через Х„ )ю Я, проекции вектора В, выразим скалярное произведение А н В: АВ=(Х1+ У)+Кй) (Х, -)- );1 -(-Кй). По свойству распределителыюсти суммы векторов умножаются как многочлсны. Следовательно, получаем: А В = Х1 Х 11+ ГХ)1+ ЕХ (с( + Х )е(1 + 1', у;1) + Я, у;(с~+ + Х,У,1(с+ 1',2,1(с+ У,Е,(с)с„(14) Так как 1, 1, 1с представляют трн взаимно перпендикулярных единичных вектора, то Ц=О, 1(с=О, й) =О, И=1, 3) =1, Ыс=1, $9) скалярное произведении векторов, заданных проекциями 177 следовательно, в полученном выражении (14) для АВ пропадут шесть слагаемых, и окончательная формула будет: АВ = ХХ, + );3;+ЕЕ„ или словамв: скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекииг).
Прилагая обычное определение степени, естественно называть скалярное произведение вектора самого на себя его скалярны,и квадралаом. Применяя полученпуао формулу (15) при В=А, найдем: А*= АА= Х',+ 1', +е.а С другой стороны, согласно определению скалярного произведения (6 7) получаем: А' = АА = АА соз О = А'. Следовательно, мы имеем следу1ощую формулу для определюша длины вектора: (16) откуда А=1'Х,'+ У,'+Е,*, (16') т.
е, длина вектора равна корню квадраланому из суммы квадраюов его проекиий. Заметив, что проекции единичного вектора А=А' будут его направляющими косинусами (й 4 гл. !), мы нз формулы (16) получаем: 1 = соз' а+ соз' )) + соз' у, что совпадает с формулой (16) и 4 гл. 1. Пусть теперь даны две точки М,(х„у„х,) и М,(хю ую х,), Найдем расстояние между ними. Заметим, что вектор А = Ма Ма = Х) + г') + Лс есть разность векторов ОМ =х 1+уа)+2 (с К ОМ, = х,1+у,) + х,(г. Слсдова гельно, мы имеем: Х=х — х а 11 Л=г а 1> 7 и. и. привалов (гл. и 178 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ т.
е. проекции вектора на оси координат равны разностям одноименных координат конца и начала вектора. Приисняя формулу (16'), получим: "=е««.=С «ь — Ю* ' («.— с,«'«.«*.— *,)', т. е. расстояние между двулся елочками равно квадратному корню иэ сумл«ы квадратов разностей одноименных координат этих точек, что совпадает с формулой (6) 6 2 гл. 1. 9 10. Направление вектора. Согл,«сно определению скаляр«гого произведения секторов имеем: АВ = АВ соз «р, где «р есть угол между векторамн А н В.
Из этой формулы получаем: лв ' Ай (17) т. е. косинус угла между весстора,ии равен их скалярному произведению, деленнолсу на произведение длин. Выражая числитель и знаменатель последней дроби посредством проекций векгоров (Э 9, формулы (15) и (16')), находим: Х,Х, + с','Г'«+ 2,7« соз «р = ('х;+к, +х«.)/х +1" +е« ' В частности, полагая в формулах (17) и (17') В=1 и замечая, что в этом случае В= 1, Л; = 1, 1; =О, л, = О, находим: А« соз и.= — —, нли созп =- Х, х', + 1", + е,« (18') соз р= —, А) А ' пли в координатной форме: 1', «х; «-г',.с «', ' А)« сОБ у =— А (и) сову= . (19 ) У« У ч«-~';«.с Последние формулы дают возможность определить направляющие косинусы вектора (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
