И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В самом деле: (А — В)Х(А+В)=АХ А — В ХА+АХ В вЂ” ВХВ= = — В Х А+ А ХВ = А Х В+ А Х В =2 (А Х В). Геометрически зто значит, что удвоенная площадь параллелограмма равна плошади параллелограмма, построенного на его диагоналях. Пример 2. Пусть вершины треугольника АВС заданы своимк радиу. сами-векторами А (гг), В(г,), С(г,).
Найти вектор $, представляющий треугольную плщпазку АВС, на которой задано направление обхода контура от А к В и от В к С, т. е. найти вектор, длина которого численяо равна площади данного треугольника, а направление перпендккуларно к его плоскости (причем вектор должен быть направлен в ту сторону, откуда заданный обход контура треугольника кажется происходящим против движения часовой стрелки). Так как АВ = г, — гь ВС = г, — г„ то искомый вектор 8 буди: $= — (г, — гв) Х(г~ — г,) = 1 2 з 1 ! 1 ! (гз Х гз) (г> Х гз) (гз Х гз) + (гг Х 'з) = 1 = 2 (гзХгз+ гзХП+П Хгз) ф 13.
Векторное произведение векторов, заданных проекциями. Обозначая через Хы )г„ Я, проекции вектора А, а через Х„ 1'„, Яз проекции вектора В, выразим через них векторное произведение А на В: АХ В=(Х,!+ Х)+,Г,(с) Х(Х1+ )',1+У 1с). й 131 вектогнов пгоизвадзнив ввктогов, заданных пгоекцнями 185 По свойству распределительности суммы векторов умножаются как многочлены. Следовательно, получаем: Ах В =Х,Х,(1Х 1)+ У,ХФ0 Х))+Е,Х,(1сХ))+ +ХЫ(ХВ+ Ы Х)Н- ЫйХ))+ +Хл,()Х (г)+ г;л, (1 К )г)+л,л,((с Х (г).
(28) Так как 1, 1, (г представляют трн взаимно перпендикулярных единичных вектора и вращение от ) к (с представляется с конца вектора 1 совершающимся против часовой стрелки (см. Рис. 106), то 1Х)=0,)Х1=0,) Х(=Мж= — )Х =й. ~ )Х)г= — )с Х)=1 (гХ)= — 1Х(с=3' (29) следовательно, в полученном выражении (28) для А к', В пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательнаи формула будет: А ~( В = ( У Е, — )аЯ) 1+ (Л,Х, — Е,Х ) 1+(Х, 1; — Х У) )г.
(30) Формулу (30) можно записать также в символической, легко запоминаемой фзрме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка'): (31) А,ч',В= Х, 1", Е, Для практических вычислений можно рекомендовать такой порядок: 1) составляем таблицу из двух строк и трех столбцов, подписывая проекнии множителя под проекциями множимого; ((х, г, г,[~' 2) для получения первой проекции произведениа закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем оставшийся л определитель 2-го порядка„ чтобы по- Рнс. 106. лучить вторую проекцию произведения, закрываем второй столбец и оставшийся определитель берем с обратным знаком; наконец, для получения третьей проекции произведения закрываем в нашей таблице третий сголбсп и берем оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком.
') Пончгне определителя дано а ч. 1, гл. И. (гл. и влемвнты векторной алгввиы Например, если сомножители суть А(3, 4, 8), В(5, 1, 7), то, пользуясь таблицей ((5 1 7)~' или Х 1', 2, 1 Х,=1, г, (32') т. е. если векторы коллинеарны, то нк проекщш пропорциональны, и обратно, Заметим, что переход от (32) к (32') мы могли сделать, лишь если ни одно из чисел Х„ У„ Лл нс обращалось в О. Однако в силу того, что равенства (32') имеют значительно более простой внд и постоянно применяются в дальнейшем, мы будем писать их даже и в тех случаях, когда некоторые из знаменателей равны О. Такую запись нужно понимать, конечно, не буквально (так как на 0 делить нельзя), а условно, просто как удобную сокращенную фт>рму записи равенств (32).
Таким образом, (32') будет в дальнейшем означать то же самое, что и (32). Так, например, равенства Х У Я ! л 1 О О 2 показывают, что 2У,=О.Е„О Л,=2Х„О Х,=О 1'„т. е. что Х,=О и У,=О. Пример 1. Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках А(хо уо г,), В(хн у„г,), С(хн у„г,). Так как вектор АВ имеет проекции х, — хо у,— у,. г,— г„а вектор АС имеет проекции х,— хо у,— уо г,— г„то 1 пл ~"~ АВС = —, ~ АВ Х АС ! = 2 1 .~/ ~ у, — у, гл — г, !' ~ г, — г, х, — х, (* ) хг — х, у, - у, (' П р им ер 2. Определить синус угла А лреугольннка АВС с вершннамн А(1, 2, 3), В (3, 4, 3), С(2, 4, 7).
находим проекции АХ В: 20, 19, — 17. Заметим, что в силу (30) условие (22) А;х', В= О параллельности векторов А(Хо У„Л,) и В(Х„У„Лг) люжет быть выра- )кено равенствами У,г,— Х,У,=О, ЕХ,— ХЕ,=О, Х,У,— УХ,=О, (32) ф 141 вектоено-скллягнов пгоизведвнис 1Я7 Так как векторы АВ н АС имеют соогветственна проекнии 2, 2, 2 и 1, 2, 4, то д,'лв<лс) 1 )2 41 +)4 1~ +)12~ Тг% У 2, г; ~- гитэт-= г — = угол следует взять острым, если 8С'< АВ'+АС', н туньш, если ВС'> > Ай'+ АС'.
В данном случае угол А острый. ф 14. Векторно-скалярное произведение. Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора А и В, то их произвсдспие будет скалвром. При умножении третьего вектора С пз этот скаляр мы потучим вектор, кочлинсарный вектору С. Совсем иное дело будет, если мы перемножим два вектора векторно; в результате мы получим снова вектор А к', В.
Представляется интересным исследовать дальнейшие произведении, кзк скалярное, так и векторное, этого вектора на новый вектор С. В первом случае мы будем иметь векторно-скалярное произведение(А;к',В)С, б а во втором случзс двойное векторное произ- веление (А х' В) ~( С, Векторно-скалярное произведение (А >; В)С называется такжс смешанным произведением и обозначастси (АВС) нлн АВС. Лля приложении вскторно-скалярного произ- 3 ведения весьма важным является уяснить себе Рнс.
107. его геометрический смысл, Пусть рассматриваемые векторы А, В н С иеконплзнарны, Векторное произвеление Е=АКВ сеть вектор Е, по длине численно равный площади параллелограмма ОАОт), построенного иа векторах А и В, и направленный псрнепднкулярно к плоскости параллелограмма (рнс, 107) Скалярное произведение (А ~ В) С = ЕС есть произвслснис длины Е первого множителя на проекцию второго вектора С на первый, Эта проекции С, как проекция вектора С на псрпснлнкуляр к плоскости равна расстоянию точки С (конца вектора С) от плоскости параллелограмма 0,4ОВ, взятому со знаком + нли — , Построии параллелепипед па векторах А, В, С как на ребрах.
Высота этого параллелепинедз есть абсолютная величина нашей проекции Сы а площадь основания в параллелограмма ОАО8— численно равна длине вектора Е. Итак, пронзвсленне ЕС=ГС, но абсолютной величине рзвно произведению плошали основзння параллелепипеда на его высоту, т. е. измеряет объем параллелепипеда. При этом важно отметить, что наше скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положитсльным, а иногда 188 алименты ввктогной алгввгы (гл.
и с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторами Е и С острый; отрицательный †ес он тупой. При остром угле между Е и С вектор С располояген по ту же сторону плоскости ОАггВ, что и вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно так же, как и из точки Е, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки). При тупом угле между Е и С вектор С расположен по другую сторону плоскости ОАОВ, чем вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведение (АВС) положительно, если векторы А, В и С образуют систему, одноименную с основной (взаимно располочкены так же, как оси х, у, г), и оно нарицательно, если векторы А, В и С образуют систему, разноименную с основной.
Итак, мы получили следующую тсорему: Векторно-скалярное произведение (АВО=(А г( В) С трех некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина кото- рого выралсает объелг параллелепипеда, лог строенного на векторах А, В, С, как на ребрах. Знак произведения полозкителен, если векторы А, В, С оброюуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в 0 р противном случае. Из этой теоремы следует, что абсолют- ная величина произведения (АВС) = (А Х В) С Ю останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители А, В, С. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, вдругих †отрицательн; это завигпг от того, образуют лн наши трн вектора, взятые в определенном а.>ряхке, систему, одноименную с основной, или нет.
Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла (рис. 108). 11орядок следования не нарушится, если мы начнем обход со второй оси нли с третьей, лишь бы он совершался в точ же направлении, т. е. против часовой стрелки. При этом наши множители перс.тазляются в круговом порядке. Таким образом, получаем георему: !рруговая перестановка трех сомнолсителей векторно-скалярного пгюизведения не лгеняет его величины. Перестановка двух соседних сомножителей лсеняет знак произведения: (АВС) =-(ВСА) = (САВ) =- — (ВАС) = — (СВА) = — ( чСВ).
(33) Прп каких условиях векторно-скалярное произзсчснне молгет обрши1ься в пульс Оченидно: а) е ш среди сомножи~слей ес~ь $ 15) ввктогно-скалягное пгоизввдвние в пгоекциях 189 хотя бы один нулевой вектор; б) если по крайней мере двз из перемпожаемых векторов коллинеарны (и, следовательно, их векторное произведение равно нулевому вектору), в частности: (ААВ) = (АВА) =(ВАА) = 0; (34) е) если три вектора А, В, С компланарны (параллельны одной и той же плоскости)„ потому что тогда А Х В ) С и, следовательно: (А Х В) С = О. Объединяя все три случая, можем сказать, что (АВС)=0, если векторы А, В, С компланарны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
