И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. косинусы углов пожду осями координат где и есть угол оси Ох с вектором А, Аналогично, взяв В =1 и В=А, получим: 179 й 10) пАПРАВленяе вектОРА и вектором) по его проекциям. Далее, сов!р=А В, иля сов !у=сов мд соя й,+ + Соз ))! Соа ~!+ Соя У! Соз У! ! (20) где а„р„у, суть углы осей координат с вектором А', а а„~ю у,— углы тех жс осей с вектором В', Последняя формула (20) совпадает с формулой (16) $ 4 гл. 1. Для иллюстрации изложенных результатов рассмотрим ряд прямеров. При мер 1.
Какому условию должны удовлетворять три вектора а, Ь,с, чтобы из них можно было образовать треугольник, совмещая вачало каждого вектора с концом одного нз двух других С вскторовг Очевидно, необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы сумма векторов а, Ь н с равнялась и 1'лю: а+Ь+с=0. П р имер 2. Доказать, что возможно постпоить треугольник, стороны кото- В рого равны и параллельны медианам дан- с ного треугольника АВС.
Обозначая середнны сторон треу- Рис. 101. гольннка АВС (рнс. 101) через А„В, н Сн выразнм век!оры, представляющие медианы треугольника, т. е. АА, ! ВВ, и ССо через векторы а, Ь, с. Легко видеть нз черт. 109, чю АА, = АВ+ ВА, = с+ —, так как 1 ! ВА, = — ВС= — а. 2 Аналогично найдем: Ь С ВВ,=а+ —, СС,=Ь+ —. 2 ' Остается проверить условие примера 1, достаточное для того, чтобы вз векторов АА„ ВВ„ СС! можно было образовать треугольник: — а Ь с 3 АА, +ВВ,+СС,=с+ —,+а+ —, +Ь+ — = — (а+Ь+с)=0. 2 2 2 2 Так как условие примера 1 выполняется, то иа вектороа АА, ВВ ! ! и СС! действительно можно составнгь треугольник. Пример 3.
На точку действуют трн силы, проекции которых на прямоугольные осн равны Х,=1, У,=2, 2,=3; Х,= — 2, У =3, 2з= — Ч! 1!айти велнчяну и направление равнадевстнующей. 7' 180 (гл. и эг!Бменты вектоРной АлГеБРы Обозначая через Х, У, Е проекции равнодействующей, имеем: Х=Х,+Х,+Х,=2, У=У,+У,+1',=1, Я=Я,+2,+2,=4. Следоаателыю, величина )1 равнодейсГяующсй й будет: )с= Р х'+1" +2'=у 21, а ее направление определяется по формулам Х 2 У ! сов(п, х)= — = —, сов(й, у)= — = —, В "гг2! )с )г 2! ° ' Я 4 соз(й, г)= — = —. = В ЕГ2 — !' Пример 4, Найти угол между векторами А(1, 2, 3(, В(2, — 1, 4!!.
По формуле (17'! получим: 1.2 + 2. — ! 4- 3 4 12 2 соз !Р= '- = == — )гб РГГ4 1' г! 7 Угб 7 П р н мер б. )Тая треугольник ОАВ, Тогда АВ= АО+ ОВ, Вы !нсляя скалярный квадрат вектора АВ, получим: АВ =(40+ ОВ)'= АО'+ 2АО ОВ+ОВ', нлн Апз=ОАз+ ОВ'+ 20А ОВ сов (ЯО, ОВ). Обозначая через <р внутреннчй угол треугольника ОАВ при вершине О, но. слсдней формуле нрндадим обычный внд: АВ'= ОА'+ ОВз — 20А.ОВ соз гр, так как ь (АО, ОВ) =!с — !р.
р 11. Векторное произведение. Векторным произведением двух векторов А и В называетсп новый вектор С, длина которого численно равна плон!ада параллелогралсма, Рнс. !02. построенного на векторах А и В, перпендикулярный к плоскости эвах векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора С (рис. 102). Вслн векторы А и В параллельны, то ик векторное произведение считается равным пулевому вектору. Из этого определения следует, что длина вектора С равна: С= АВ юп (А, В), (21) т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному нн синус угла между наг!а, Ввктогнов пгоизввденнв Векторное произведение А на В обозначается символом С = А ~ В нли С=(АВ). Векторное произведение равно нулевому гектору а то.н и только том случае, когда по крайней лере один из пгргмножагмых гекторов яалягтсн нулевым или если эти гекторы параллельны (коллингарны) ').
В самом деле: если А = О, или В=О, или эш (А, В)=0, то АВэ(п(А, В)=0, а потому Агс', В=О. Обратно, если Ак', В=О и перемножаемые векторы не являются пулевыми, то А () В, потому что из условия АВэ(п(А, В)=0 при А~О и В„-60 вытекает э(п(А, В)=0, т. е. А 11 В. Так как нулевой вектор можно считать коллинсарным любому вектору, то мы можем сказать, что векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда пгрглгножагмыг векторы коллингарны. Таким образом, условие коллинсарности векторов будет: (22) А »(В =О. АР', А=О, В частности, всегда (22') где Х вЂ” некоторое число ($ 4) (считая В-6 О). Если векторы А н В взаимно перпендикулярны, то гйп (А, В) = 1, н, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин векторов сомножителей: )Ач,В(=АВ, если А ( В.
(23) П ример 1, Проверить справедливость равенств 1Х)=й, й )(1= — 1, где 1, й 1» суть основные координатные векторы. Так как векторы 1 н 1 направлены по осям координат Ох н Од, то ввк- тов» К1 будет направлен по осн Ог. С другой стороны, длина этого еекгорв равна площади прямоугольника, построенного на 1 н 1, т. е. 1. Следовательно, 1,( 1 = й. Также очевидно, что й Х 1 имеет длину, равную единице, и на- правлен а отрицательную сторону осн Ок, следовательно, й у( 1 = — 1.
П р н и е р 2. Показать, что (А К В)'+(АВ)'= А»В*, Действительно, (А гс В)'= л»В» э)о'(А, В), (Ай)'= Л»В» э'(А, й); складывая, находим: (АХ В)»+(Ай)» А»й» ') Пароллельные векторы наэываюгся также коллнпеарнымн. вследствие чего является нелишним вводить понятие о векторном квадрате вектора, в то время как мы рассматривали скалярный квадрат в связи со скалярным умножением. 3 а м е ч а н и е.
Условие (22) коллинеарности двух векторов А и В возможно заменить следующим: А=ХВ, (гл. и элементы вектогной алгевгы В механикс важное значение имеет понятие момента силы относительно данной точки. Если сила Г приложена к точке А (рис. 103), А то момен~он силы Р относительно точки О называется вектор М, определяемый формулой М=гх', Р, д где г = ОА есть радиус-вектор точки прнРнс. 103. ложения.
Из определения векторного про- изведения следует,что величина момента равна величине силы, умноженной на расстояние ОР точки О от прямой, вдоль которой действует сила. й 12. Основные свойства векторного произведения. 1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на ( — 1), т. е. Вх',А= — (А~)б В). В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняготся при перестановке А и В. Поэтому векторы А гс',В н В~~А имеют одинаковые длины и коллинеарны.
Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А гс' ,В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В гс А должен быть направлен в противоположную сторону. Заметим еще, что в случае коллннеарности векторов А и В равенство (24) очевидно, так как тогда А х' В и В х', А в пулевые векторы. 2. Векторное произведение обгадает свойством сочетлте,гьности относите гьно числового множителя; эго свойство вырагкастся следующими формулами: А(АХ В)=ААХВ и Х(А)~ В)=А~ИВ, (25) т. е.
чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей. Обе формулы (25) доказываются аналогично. Докажем, например, первую нз пнх. Ограничимся случаем Х > О. Для доказательства равенства векторов 1.(А Х В) и ХА гг', В заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы: ) Х (А ~( В) ) = ) ( А ~)С В ( = Х АВ в(п (А, В), ) ).А;л', В ( = ) ),А ) В вггг (ХА, В) = ХАВ а! и (А, В). 9 12) ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1ВЗ Направления же векторов <<(АХВ) и <.АКВ совпада<от, так каь при умножении вектора иа положительное число его направление ие меняется.
3. Векторное произведение подчиняелься распределительному закону, т. е, (26) (А+ В) ~ С=А Х С+В Х С. Для доказательства заметим сначала, что произведение А ь< С', где С' — единичный вектор, можно построить так (рис. 104). Спроектируем вектор А = ОА на плоскость, перпендикулярную к С', и Рвс. 104. Рис.
<ОЗ. полученную вектор-проекпию ОА, поверием в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 90' (если смотреть на плоскость с конца вектора С'). Полученный вектор ОА, и равен А н',Сь. В самом деле, а) ОА,=ОА,=Асов(90' — <р)=Азш <р, где <р — угол между векторами А и С'1 6) вектор ОА, перпендикулярен к векторам А и С' н направлен в ту сторону, из которой кратчайшее вращение от А к С' представляется соверша<ощнмся против часовой стрелки. Итак, ОА, =А ХС'.
Пусть теперь даны единичный вектор С", перпендикулярная к нему плоскость р н треугольник ОА,В, (рис. 105), в котором ОА,=А, А,В,=В ОВ,=А-)-В. Спроектируем <'<, ОА,В, на плоскость р и повернем проекцию ОА,В, в плоскости р по часовой сгрелке на 90', (гл. н 9ЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГЕВРЫ (Вб Получим ~ ОА,В„ в котором по предыдугцему ОВ, =- (А+ В) Х С', ОА, = А Х С', А,В, = В Х С'.
Так как ОВ, = ОА, + А,В„ (л + в) х с = л х с'+ в х с'. то (27) Заметив, что С = СС', уыножим теперь обе части равенства (27) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим: (А + В) Х СС' = А Х СС + В Х СС', плн (А+В) ХС=А ХС+ВХС, что и требовалось доказать. П ример 1. Показать, что (А — В) Х(А+В)=2(АХ В), и выяснить геометрический смы.л этого равенства, изображая векгоры А — В и А+ В диагоналями параллелограмма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
