И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 30
Текст из файла (страница 30)
13. Найти величину и напрзвление силы, проекции которой на осн координат соответственно равпыг Х = — 6, )г = — 2, Л= 9. 19. Лппликзта г некоторой точки А положительна; отрезок ОА имеет длину г= 6 и образует с осью Ох угол в 60' и с осью Оу угол в 45'. Найги угол этого отрезка с осью Ог и координаты точки А. 20. Точка А имеет координаты х= 15, у = 8 и з ( 0; отрезок ОА образует с осью Ох угол в 30', Найти длину этого отрезка, его направляющие косинусы и координату г точки А. 21. Лана точка А (6, 3, 2). Найти косинусы углов, образуемых лучом ОА с плоскостями координат. 22*. Найти расстояние между точками А (2, 5, — 1) и В (5, 1, 11) и направляющие косинусы прямой, их соединяющей.
23. Найти расстояние между точками А ( — 2, 2, 5) и В (2, — 1, 5) и направляющие косинусы прямой, их соединяющей. 24. Найти угол между биссектрисами углов хОу и уОз. 25. Найти угол между прямыми, нз которых одна проходит через точки (О, О, 0) и (1О, 5, 10), а другая — через точки ( — 2, 1, 3) и (О, — 1, 2). ГЛАВА П ЭЛЕгтгЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В П Векторы и сквляры. Величины, с которыми пряхолится всгречагься в механике, физике и других пргггслггдггггх дисщипинах, бнвюот дноякого рода, С одноИ сгоролы, тшснс величины, как тсмпсзатура, время, масса, плгмность, дыша отрсзка, плошадь, объсгг и т, д,, ниолие хар.пггернзуются одним числовым значсиисзг.
С дру.ой стороны, тггюгс величины, как сила, скорость, ускорение и т. д., становятся оиредслешичми только тогда, когда известно, каковы их чосжгвые знзчсинн и наирзвления в пространстве. Вслнчипы первого роза называются сыпляриылги, или, короче, скаляралса. Величины второго рсха иззыиан;тся аеклгормы гга. Всюсую векторную величину геометрически мы можем изобразить с ггоггощью отрезка определенной длины и определенного направления, сели длину отрезка при выбранной единице масштаба примем равиои гкловому значению векторной величины, а направление отрезка будем считгыь совггалагогггизг с сс направлением.
Отрезок, имегощий оирсделенну.кг длину и определенное наорав- ление в пространстве )т, с. направленный отревгж], будем называть сггслгоро.гг. Т,гким образом, вектор служит для геометрического изо брзжеиия физическоИ векторной величины '), Даа вектора сжилгаюглсл раамылггг, если внполпсин следующие три условия: 1) д.ганы аекглоров угавыы, 2) векторы параллельны, т. е. расположены на одной прямой ялп иа параллельных првлгых, 3) аеклгоры направлены и одну сглорону.
Следует рвали'гать начало и конем вектора. Поменяв их згсстагггг, мы получим у кс;гругой вектор (нзггравлсггггггй противопогюжпо псрвому1. Ич опрс, слсиия равенства векторов следует, что ири параллельном ггсрсггоге вегнора иолучастсн вектор, равный исходному. Поэтому изчвло гсьгорч могкно помспгагь в шобой точке ирострзпства'), Рыбрав иекогорое начало — точку О,— удобно с гигвгь вю ') 11чогла векторную величину также называют вектором. ');гхя напргелгиного отрезка вводится новгли термин — велтор, так гя ° жзег ь, усгзг ов в оопягпе равенсгва иаправлснг ых отрезков-выгторов, мы бул"и игнгнзволить с ними действа я по определен пюг ггрггвгггггглг, раычыгриваемыч в вектор,юй сап ебре.
165 сложение вактогов векторы исходящими из этой точки. В таком случае ьпв булем говорить, что векторы приведены к общему началу О. На чертеже направление вектора условимся отмечать стрелкой. В тексте мы будем обозначать векторы либо одной напечатанной жирно буквой, либо двумя буквами со стрелкой пад ними, прн эточ первая буква указывает начало вектора, а вторая — его конец. Твк, вектор, идущий из точки О в точку М, мы будем обозначать двумя буквами ОМ или просто одной буквой, которая сгоп1 н конце векгора; следона|ельно, мы считаем; М=ОМ, а=Оп н т.
д. Если начало вектора не сошыдзет с выбранным началом О, то во избежание недоразумений мы будем обыкновенно упогребшпь лве буквы АВ. Длина вектора, называемая также модулем нлн скаллроч вектора, обозначается тем~ же буквамн, что и вектор, но без стрелки (или жс если всктор обозначен одной буквой, зо той же буквой, но напечатанной нежирно).
Иногда длину всктора записывают при помощи обычного в алгебре знака модуля: ( АВ(, Таким образом, АВ=(АВ) есть длина вектора АВ, М= ( й( ( — длина вектора М. ф 2. Сложение векторов. Известные из механики законы сложении векторных величин (сил, ускорений, скоростей) служат основанием следующего определения сложения векторов.
Суммой двух векторов А и В называют такой третий вектор С„выходягиий из их оощего качала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами ко рого являются слагаемые векторы (рис. 9 и обозначаютг А 4) (1) й о С=А+ В. Если лва вектора А и В после приведения нх к общему началу лежат па одной прямой, то сумма их С есть по определению вектор, длинз которого равна сумме дли~ слагаемых векторов и направленно совпадает с направлением этих векторов, если послелнне одинаково направлены; если же слагаемые векторы направлены н разные стороны, то сумма пх С есть вектор, длина которого равна разност~ длил слагаемых векторов и направление совпадает с направлением вектора, имс|ощего большую длину.
В случае равенства длин прот ивово юв,но направленных векторов их сумма осгь особый квензор», длина ко~оро1о равна нушо. Такой вектор называют нулевым вски~ром и ооозначают символом О. 165 элементы ввктогной хлгввгы [гл. п Посмотрим теперь, будет ли сложение векторов удовлетворять основным законам, которым подчиняется сложение чисел. Для сложения чисел мы имеем два основных закона. 1. Закон переместительности: а+о=д+а, т.
е. сумма не зависит от порядка слагаемых. 2. Закон сочетательности: а+ (д+ с) = (а+ Ь) + с, т. е. чтобы прибавить сумму, можно прибавить последовательно каждое слагаемое. Первый закон, очевидно, удовлетворяется, что непосредственно вытекает из определения сложения векторов: А + В= В + А. (2) Чтобы персйтн ко второму закону (сочстательпости), следует предварительно яыясннть понятие суммы нескольких слагаемых. С этой целью упростим сначала самое построение суммы двух векторов. Мы условились считать равными векторы, имеющие одинаковую длину, параллельпыс и олипаково направленные.
В силу этого векторы б ОВи АС(рис,94) равны между собой. Отсюда вытекает такое и р а в и л о с л о ж е н и я двух векторов: в конце первого слагаемого строим вто- С рое слагаемое. Вектор, замыкающий Рнс. 95. зту ломаную, есть сумма. Начало его совпадает с началом первого слагаелсого, а конец — с концоль второго. Это правило треугольника нетрудно теперь распространить па любое число слагасмых. Пусть„например, трсбуется найти сумму трех векторов А, В н С: А+В+С=Р„ причем под их суммой мы будем подразумевать результат последовательного прибавления к А сначала В и затем С. Лругнмн словами, если А+В=В, то согласно определению будет: [У=В+С.
По предыдущему правилу треугольника строим сначала сумму А+В (рис. 95), т. е. в точке А строим вектор АЕ= В и соединяем сложение ВектОРОВ 167 точку 0 с точкой Е: ОЕ= Е=А + В. Затем к полученной сумме прибавляем вектор С, т. е. в копне ОЕ строим вектор ЕО =С и соединяем точку 0 с точкой О. Тогда 00 = О = ОЕ+ ЕО = А + В + С. Отсюда вытекает такое правило с то же иия векторов: чтобы построить сумму любого числа векторов, нузкно в конце первого слагаемого вектора построить г' вльорой, в конце второго построить третий и т.
д. Вектор, замыкаюигий по- д лученную ломаную линию, представляет искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого, а конец — с концом последнего. В случае сложения трех векторов, не параллельных одной плоскости, сумму их можно получить и другим способом. Пусть Л векторы А, В, С приведены к общему Рнс. 96. началу 0: ОА=А, ОВ=В, ОС=С. Построим на этих векторах параллелепипед (рис. 96). По предыдущему правилу А+ В+ С= ОА+ АЕ+ ЕО= ОО, но отрезок 00 является диагонально паралд б лелспипеда, таким образом сумма данных векторов равна вектору-диагонали параллелепипеда, ребрами которого являются слагае- А мые векторы. Рис.
97. Заметим, что если бы слагаемые векто- ры были параллельны одной плоскости (тзкие векторы называются компланарны.чи), то мы не могли бы построить на них параллелепипед. Теперь перейдем к доказательству закона сочетательности: А+(В+ С) =(А+ В) + С, (3) По правилу сложсния векторов (рис. 97) (А+ В) + С = ОЕ+ ЕО = 00, но тому же вектору 00 равна н сумма А+(В+С), так как А+(В+ С) = ОА+ ЛО= ОО. Итак, равенство (3) доказано. элементы винтовкой алгввгы Из персместительпого и сочетательного законов вытекает, что при нахождении суммы любого числа векторов можно складывать данные векторы в произвольном порядке. Заметим, что по отношению к обычной сумме чисед существуют еше различные законы льонотонности — о сравнительной величине слагаемых н суммы, как, например, сумма положительных слагаемых С больше каждого из слагаемых.
Все эти законы не имеют смысла для суммы век~оров, потому что понятия «болыпе» и «мспьшсь неприложимы к вектораьи р ф 3. Вычитание векторов, Обычно выи ". эв. читалке определяется как действие, обрат- ное слоькению: по сумме и одному из слагаемых отыскивается другое слагаемое. Соответственно с этим разностью двух векторов А и В называетгп такой третий вектор С, что сумма В и С равна Аг А — В=С, если В+С=А. Изобразим нз чертеже (рис. 98) данные векторы А и В направленными отрезками ОА и ОВ. Проведем из точки В в точку А вектор и обозначим его через С, тогда, очевидно, В +С =А, слеловательно, А — В=С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
