И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом, чтобы из одного вектора вычесть другой, нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого в конечную точку вектора-уменьгиаемого. То же действие можно произвести и иначе. Построим вектор ОВ„длина которого равна длине вектора ОВ, а направление противоположно; кроме того, дополним треугольник ОАВ до па,.аллелограмча ОВАС.
Очевидно, АС=ВО, следовательно, АС= ОВ,. Заметив, что искомая разность А — В = ВА = ОС, мы получаем следующее равенство: ос= ол+Ас= ол+ ов, =А -+ В,. Отсюда высекает правило: чтобы из вектора ОА вычесть вектор ОВ, надо прибавить к ОА вектор ОВ„равный по длине вектору ОВ, но противоположно направленный, Два вектора ОВ н ОВ„имеющие равные длины, но противоположные направления, будем называть противоположными векторами. 5 41 169 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Сумма их равна нулевому вектору: ОВ+ ОВ, = О. Вектор ОВ„противоположный вектору 0~1, >глони»гя осюзна ать через — ОВ. Так как ОВ= В и ОВ, = — В, то указанное вьппе правило вычитания век~оров можно сформулировать следу>ощип образом: шлооы вычесть вектор В, ну:ино прибавить про>ливоао,сожнь>й елку вектор ( — В): А — В=А+[ — В).
О 4. Умножение вектора иа число. Складывая несколько рваных вскгоров, т. с. повторяя вектор слагаемым несколько раз, мы приходим к у.ннолссци>о его на положительное целое число. Согласно определени>о Ап=А+А+... -1-А, где и есть пкло слагаемых векторов, равных А. Очевидно, произведение Ап будет вектором того жс паправлспия, что и множимое А, только длина в>лстора Ап будет больше длины вектора А в и раз. Введем теперь понятие деления вектора на целое положительное гасло.
Согласно определению А 1 — =А — =В и л если А=Вп, Отсюда вытекает, что оба вектора А и В имеют одно направление, по длина А вектора А в и раз больше длины В вектора В. Таким оГ>разо>>, при делении вектора па целое положительное число п направлспис его нс меняется, а длина уменьшается в п раз. После этого можно определить умножение вектора ла полоки- телы>ую дробь Х= — что значит умножить нз р и разделить иа >у, Р ч > а также умножение вектора на иррациональное положительное число >с.
Во всех случаях направление вектора остастся без нзмсиспия, длина жс умножае>сн на А, Наконец, если множитель Л вЂ” чис:и отрицательное, то условнчся считать, что длина вектора умножается на ()г), а направление меняется па противоположное. В частности, при умножсшш вектора А па — 1 мы получаем вектор Л ( — 1), ячсющий ту же длину, но направленный в противоположную сторону, т.
с. всктор, противоположный вектору А. Такой вектор по условн>о предыдущего параграфа обозначается >срез — А, Следовательно, А ° ( — 1)= — А, причем А+А ° ( — 1) —— =- А — А =- О. Итак, устщшвлено умпонсепие вс>>тора пз любое лействительпое число: прп ул>ножении в>кто!>а А на число Ъ длина век>лори углноэкаетсл на ! Х), а направление сохранлетсл >О>е.жнит при 1У0 (гл. и ЭЛЕЫЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ й)0 и заменяетсп противоположным при Х(0 (при Х=О произведение А на Х является нулевым вектором).
Произведение А на Х мы будем обычно записывать в форне ХА. По отношению к атому умножению имеет место распределительный закон, который символически можно записать так: й(А-(-В)=М+йВ. (4) В справедливости этого равенства мы убедимся, если заметим, что от умножения на число Х мениются только размеры векторов, т. е. масштаб чертеька; фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы А, В н А+В=С образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на Х, т. е.
изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство ХА+с В=ЛС. Последнее же равенство и выражает собой распределительный закон умножения, если заменить в нем С через А+ В. Отметим еще, что из определения умножении вектора на число вытекает справедливость равенств (Х, + Хь) А = Х,А+ ХьА (5) Аь (Х, А) = Х, (ХРА) = (Х,Хь) А, (5) где лэ н аь — числа.
Будем обозначать одноименной буквой с попиком ваерху вектор длины, равной 1, и того же направления, как и данный вектор (вектор, длина которого ранна 1, называется единичным). Тогда пз определения умножения вектора на число следует: А (Аь (7) Б самоль деле, при улшоженин вектора А' на число А направление вектора не изменится, а длина сделается равной А, т. е.
мы получим как раз вектор А. й 5. Проекции вектора. Проекцией вектора АВ на ось называетсп длина ооьрезка аЬ этой оси, заключенного между проекциями а и Ь его начальной точки А и конечной точки В, взлтал со знаком +, если направление отрезка аЬ совпадоеоь с направлением оси проекций, и со знаколь —, если зти направления противоположньн Таким образом, проекцией вектора АВ на ось является величина направленного отрезка аЬ оси. Основные положения теории проекций (ч. 2, гл. 1, Я 3) можно высказать следующим образом: 1. Проекции вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и векпьором, т.
е. пр АВ= АВ соз ц. 9 5) ЦРОЕКЦИИ ВИКТОРА Отсюда, в частности, следует, что равные векторы имеют равные проекции на ту же ось. 2, Проекция суммы векторов на какую-либо ось ривни сумме проекций слагаелгых векторов на туже ось, т. е., например: пр (А+ В+ С) = пр А+ пр В+ пр С, где все проекции отнесены к одной и той гу же оси. Дсйствитслыьо, сумма векторов есть замыкающий вектор ломаной, у которой составляюнгыььн звеньями служат слагаемые г'тг векторы (см. 9 2).
Рассьютрим прямоугольную систему координат н произвольный вектор ОМ Р (рнс. 99). Из точки М вЂ” конца вектора х ОМ вЂ” проведем прямую парзллельно оси Рис. 99. Ое до пересечения в точке Р с плоскостью хОу и из точки Р в плоскости хОу проведем прямуьо параллельно оси Оу до пересечения в точке М, с осью Ох. Очевидно, будем пметьы ОМ= ОМ, + М,Р+ РМ, Откладывая векторы М,Р и гггй от точки О, заменим нх разными ям векторами М,Р=ОМ„РМ=ОЛ1, и, значит, будем инетьа ОМ = ОМ, + ОМ, + Ог)(„ или иначе М=М,+.М,+М,. (!) Равенство (1) показывает, что всякий вектор можно разложить на три слагаемых, лежащих на ослх координат. Слагаемые векторы М„М„М, назозеи комггонентами или составляющими данного вектора М отн<ьсительно системы координат Охух.
От точки О в положительном направлении каждой оси координат отложим но вектору длины, равной 1. Обозначим три введенных попарно взаимно перпендикулярных единичных вектора соответственно через 1, 1, )с и назовем их основными векторами. Возвращаясь к равенству (1), заметим, что вектор М„как и вектор 1, расположен на оси абсцисс, а потому нмссм: М, = Л"ь, где Х есть длина вектора М„ взятая со знаком +, если напраиления векторов М, и 1 совпадают, и взятая со знаком †, если направление 172 элва>енты ВектОРнОЙ алгввгы (гл. и вектора М, противоположно направлению основного вектора !.
Другими словами, Х есть число, являющееся проекцией векгора М на ось абсцисс. Аналогично получим: М,=У1, М,=Лс, где У и Л вЂ” проекции вектора М соответственно на оси ординат и аппликат. Таким образом, рассматривая три проекции Х, У, Е век- тора М на осп координат, псрепипюм равенство (1) в виде М = Х(+ У!+ Лс. (1') Это равенство дает разложение вект<>ра по осповпыл> векторам 1, 1, К. Есть существенная разница мщклу компонснтлпи в.кгора и его проекциямп. 77раекиии века>ара — это три числа Х, У, т, которые являютсв декартовыми координатачп конца вектора — п>чкп <И, если на <ало вектора находится в начале координат.
Называя 7>адиусам- еекгларам >ночки >)> вектор, идущий от начала координат в точку М, мы можем сказать, что декартовы координаты Х, У, Г точки Л1 су<ь про«клин ее раднуса-вектора О>)ч. Компоненты >ке вектора представляют собой вскторы М„ М,, М„ сумма которых равна данному всктору М. Между конпопентамп н проекциями существует следующая простаи зависимость: М,=Х), М,= У), М,=к.1с, (3) т. е.
кампоненл>а полу«пел>ел умножением основного единичного еекл>ара на проекцию. Зпаченне равенства (!') в теории векторов исключительно велико. При помощи этого равенствз устанавливается связь между двуми частями теории векторов — геометрической и алгебраической, Ведь векторная алгебра состоит из соединения этих двух моментов: геоме- трического и алгебраического.
Взаимно дополняя друг друга, онн и создают то, чем так выгодно отличается векторная алгебра: гео- метрическая теория дает возможность широко использовщ ь геометри- ческие представления, алгебраическая же часть позволяет проводить нсе выкладки, Вместо полной записи >В= Х)+ У)+~с (1 ') часто пользу<втсп сокращешюй: М(Х, У, ~). Здещ, Х, У, л обозначают, кзк вьнпс было указано, проекции') вектора М, «лн, что то >ке, координаты точки >)>, являющейся кон- цом радиуса-векгора М.
Напри«шр; М (2, 3, — 1 ) = — 2! + 31 — К. ') В дальней<нем, <оворя о проекциях вск<ора ка осн ко>рзинаг, мы иногда будем коротко называть нх просто проекпчкмн, опуская слова «ка осн координат>. 6) действии нлд вектоглми, злдлнными своими пгогкпиямн 173 й 6. Действии над векторами> заданными своими проекциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
