И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 29
Текст из файла (страница 29)
П р н м е р. Нанти ксюрдииаты точки Ы, дележей отрезок АВ между тачками А !1, 2, 3) и Л ( — 1, 2, 3) а озношенни 1:2. 1 Здесь х,=1, у,=2„г,=З, г,= — 1, уз=2, г,=З н Х= —, 2 Следовательно, 1 — —.! ! 2 1 ! 3' !+в 2 2+ —, 2 1 у= =2 1+— 2 3+ — 3 1 2 г— =3 ! !+в 2 й 3. Основные положения теории проекияй в пространстве.
Предварительно мы уточним понятие угла между двумя осями в пространстве. Рассмотрим две оси 1, и 1„пересекаю!цнеся в точке Я. Угол иежду ними условимся понимать как угол, на который нужно повернуть одну из пих вокруг точки 5, чтобы ес положительное направление совпало с положительным направлением другой оси (поворот производится в плоскости, определяемой осами). $3) осповпык положвния теогии пгоякций в пгостглнствв 189 Угол условимся брать лишь в границах от 0 до и, не различая порядка, в котором указаны оси (если нет особых указаний). Поэтому угол между осими 1, и 1, будем обозначать или (1„1,) или (1„1,), Заметим, что угол между двумя осиян на плоскости чы брали со знаком (знак выбирался в зависимости от направления поворота; но илн против движения стрелки часов).
Однако а пространстве направленно поворота от одной нз осей до другой зависит от того, с какой стороны мы будем смотреть на плоскость, определяемую данныян пересекающимися нрямымн. Поэтому в пространстве мы условились не разлнчагь порядок, в котором заданы осн, н угол брать в границах от 0 до и. Мы предполагала, что данные оси имеют общую точку. Рассмотрим теперь две неперссекающисся оси 1, и 1, (рис. 88); выберем произвольную точку 5 пространства и проведем через нес две осн 1, и 1„ соответствснно па- 1, ково с ними нзправденные; углов между непсресекан~нгпмнся осями 1, l и 1 мы будем считать угол менгду 2 г 1р осими 1, и 1,. Угол между осью и паправлснным отрезком в прос~ранствс условимся понимать как )ч ол между Рнс.
88. этой осью и осью, положительное направление которой совпадает с направлением данного отрезка. Аналогично углом между двумя направленными отрезками будем считать угол между осями, положительные направления которых совпадают соответственно с направленивми данных отрезков. Рнс. 89. Рнс. 90. Основные положении теории проекций (ч.
1, гл. 1, 9 8) легко переносятся па пространство. Как уже было сказано, проекнисн точки М пространства на ось называется точка лг, получаемая н пересечении оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку М(рис. 89). Определение проекции направленного отрезка па ось остается тем же, что и на плоскости: пр, АВ= — вел аЬ (рис. 90), 160 метод коогдинлт в пгостихнствв (гл, т Как и в случае плоскости, проекция направленного отрезка АВ оа ось 1 равна произведению длины АВ проектируемого отрезка на косинус угла а мсжду осью проекций и данным отрезком: А пр, АВ= АВ соз а.
(13) и Лля доказательства этой фор- мулы в случае пространства прове\ дом через начало А отрезка .4В /' вспомогательную ось 1' (рис. 90), параллельную осп 1 и имеющую то ь.с положительное направление, Рнс. 91. Очевидно, пр, ЛВ= — прг АВ, а у~ ол а мщкду оськ~ 1 и отрезком АВ рпвсн углу между осью У и этом отрсзщщ, Теперь можно воспользоваться справедливостью доказываемой формулы прн расположении направленного отрсзка и оси 1' в одной нлоскосгп, Остается еще заметить, что хотя угол а между осью и отрезком на плоскости мы брали со знаком + нлн —, а также допускали зпзчения угла, ббльшис по абсолютной величине, чсн и, но всегда можно выбрать этот у ол по абсошотной зсличннс не превосходящим и; кроме того, можно заменить угол в формуле (13) его абсодюзпой величиной, что нс влияет па значение косинуса.
Таким образом, угол в этой формуле достаточно брать в границах от 0 до п, ~го находится в соответствии с определением угла для пространственного случая. Так же легко проверить, но если рассматриваемый направленный отрезок ЛВ расположен на некоторой оси и, то его проекция нз ось 1 и в случае пространства будет равна произведению величкпы отрезка па косинус угла ф между осями 1 и и: пр АВ= вел АВ соз гр. (14) Определение направленной ломаной н се проекции нз ось остается такич жс, как и для плоскости.
На рис. 91 пр АВСОЕг'= всл а~'. Как и раньше, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев. Проекция ломаной нс зависит от сс формы, а зависит лишь от поло.кения начальной и конечной то 1ек. Проекция ломаной равна проекции сс ззмыкакшгсго отрезка, Проькщш замкнутой ломаной равна пулю, 9 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве.
Рассмотрим некоторую ось т' в пространстве, и пусть а, 1), у суть углы, которые она образует с осячн координат (рис. 92). й 4) вычислвнив зглл мяждэ дюмя осями в пностглпствв 161 Числа соз а, соз р, соз у назовем направляюигилш косинусами этой оси.
Направляюшие косинусы не независимы между собой, онн связаны одним соотношением. с1тобы получить это соотношение, проведем через на сало коорлнпат отрезок ОМ, длина которого равна единице, а направление совналаст с положительным направлением оси 1. Проскпни этого отрезка иа оси координат (онп, очевидно, являются координатами точки тИ) будут сова, соз р и соз у, Г1о формуле (5) расстояния точки тИ от начала координат имеем: соз а+сов р+соз у=1, (15) т.
е. сужжа квадраглов напровляюглик косинусов любой оси равна 1. Найдем выражение для косинуса угла между двумя осилили, Рассмотрим две оси /, и 1„прохолянгнс через начало кооршшат (рнс. 93); Рис. 92. Рис 93. пусть а„р„у,— углы, которые образует ось 1, с координатными осями, и а„))„у,— углы оси 1, с координатными осами. Возьмем на оси 1, точку М на расстоянии ОМ, равном 1, от начала координат (коордннаты точки М суть сова„ соз б„ соз у,) н спроектируем координатную ломаную ОРЯМ точки М на ось 1,. 1'ак как проск~~иа ломаной равна проекции замыкающего отрезка, то нр ОРЯЛ4= =. пр ОМ= 1 соз ~у =соя <р. С другой стороны, проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев, т, е. нр ОРЯМ= пр ОР-~- прРЯ+ прЯА!, нлн, что то же самое: цр ОР+ пр РЯ+ яр ЯМ = яр ОМ = соз гр.
(гл. 1 162 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ !ак как пр Ор=велОР сова,=сова, ° сова„ пр РБ=везРЯ сов))а=сов)з, сов))„ прЬМ=велВМ сову,=сову, сову„ сов<р=сова,совал+сов'р,совр,+сову,совул. (16) В частности, если оси 1, и (л перпспдикулярны, сов гр=б, и формула (16) дает условие перпендикулярности двух осел): сова, сова,+ совр, сов'р,+сову, сову,=О. 3 а м с ч а и и е. Мы говорили о направляющих косинусах оси. В случае, когда речь будет идти о направляющих косинусах прямой, мы будем понимать под ннчи наирзвлякпдие косинусы той оси, которая получптси, если па данной примой выбрать за положительное то плн нное из двух возможных направлений. Очевидно, при замене выбранного положительного направления прямой противоположным ему знаки направляющих косинусов изменится.
Упражнения 1. Построить точки по коордннаталс а) (4, 3, 5); б) (1, 2, — 1)! в) (4, 4, 4); г) ( — 4,— 4,— 4). 2. Указать особенности положения точек: а) (4, О, 0); б) (О, — 7, 0); в) (О, — 7, 2); г) ( — 5, О, 3). 3. Даны точки (2, — 3, — !) и (и, Ь, с). Найти координаты точек, снмллетрячиых с данными относительно: а) координатных плоскостей", б) осей координат; в) начала координат. 4. Правильная четырехугольная пирамида БР, Р, Р,Р„каждое ребро которой имеет длину а, расположена следующим образом: вершина 8 лежит на оси О', основание — на плоскости хОу, причем ребро Р,Р, перпендикулярно к сон Оу, а ребро Р,Р, перпендикулярно к осн Ох.
Найтй координаты точек )л Рл 5. Определить расстояние точки А (4, — 3, 5) от начали координат и от осей координат. б. Найти расстояние между точкамн (1, 2, 2) н ( — 1, О, 1). 7. Показать, что треугольник с вершинами в точках А (1, — 2, 1), В (3, — 3, — !), С(4, О, 3) прямоугольный. 8". Даны четыре точки: (О, О, О), (2, О, 0), (О, 3, 0), (О, О, б). Найти радиус орерьь проходящей через зги точки. Ч.
Найти координаты точки, делящей отрезок А В между точками А (1, 1, 1) и В (1, 2, 0) в отношении 2:1. 1О. Определить длины сторон и координаты центра тяжести треугольника, вершины которого лежат в точках А (2, 5, 0), В(1!, 3, 8), С(5, 1, 12). 11. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5:2. Точки А н С имеют соответственно координаты (3, 7, 4) н (8, 2, 3). Найти координаты точки В.
12. Две системы координат имеют одинаковые Направления осей, но разные начала. Зная, что одна и та же точка определяется относигельио этих снсшм упгдмгпгиня 163 координатами (1, 1, 1), (7, 3, — 5), найти координаты ггредцпы отрезка между началами этих систем.
13. Сущесгвуег ли луч, образующий с осями координат углы (45, 45', 60')? 14. Луч ОА( образует с осями ксординат равные острые углы. Найти направляющие косинусы этого луча. 1о. Луч ОМ образует с отрицательной полуосью Ох и с положительпымп полуосями Оу и Ог равные острые углы, Найти направляюгцне косинусы эгого луча. 16. Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало координаг н через точку (2, — 2, — 1). 17. Найти направляющие косинусы прямой, проходящей через начало координат и через точку (а, а, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
