И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(3) Если а,Ь,— а,Ь,чьО, то из уравнений (2) и (3) иолу ам определенное решение системы (1). с,Ь, — с,Ь, а,с, — а,с, (4) а,Ь, — а,Ь,' а,Ь,— а,ь, Числитель и знаменатель полученных выражений называются определителями 2-го порндка, Вообще, если имеютсн четыре числа, расположенных н виде квадратной таблицы А„В„ А„В„ то определилтелем 2-го порядка, соответствующим атой таблице, называется разность А,В, — А,В,.
Для обозначения определителя принимают символ А,В,— А,В,=~ (А, В, 5 1! опгедвлитвли 2-го погядкх г1ис ча А„А„В„В, называют алеменлгами определителя (5); значок указывает номер строки, а алфавитный порядок буквы— номер столбца, на пересечении которых находится рассматриваем~~й элемент. Элементы А„ В, образуют главную диагональ определителя, а элеиснты В, и А, — побочную, Из формулы (5) явствует, что В, В, А, В, В, А, А, В, т, е. при аамене строк столбпамн величина определителя 2-го по. рядка нс изменяется, а нрн перестановке столбпов меняет знак на обратный.
Очевидно, решение (4) системы (1) может быть выражено через определители таким образом: (4') о, Ьь~ Определитель, стоящий в знаменателе, составлен из коэффицнентоп прн неизвестных системы (1) и носит название определителя эшой еиельемы. Определители, стоящие в числителях формул (4'), полу. чаются из определителя системы путем замены соответственно первого и второго столбцов свободными членами этой системы. Итак, если определитель системы (1) пе равен нулю, то фор. мулы (4') дают единственное решение этой системы, причем значение неизвестного равно дроби, в знзмснателе которой стоит определитель системы, в числителе же опрелелнтсль, получающийся из определителя системы заменой коэффициентов при определяемом неизвестном свободными членами системы (стоящнми в нравои части).
Если опрелелитель системы равен нулю, но по крайней мере олин нз определителей, стоящих в числителях выражений (4') для х и у, отличен от нуля, то сисьеча (1) несовмесгна, т. е. не имеет ннкзкого решения, как это слелует нз уравнений (2), (3), В этом случае нз равенства нулкь опрсдслизеля системы вытет, а| каст, что а,дь=а,Ьы откуда -'= — ', т.
с. коэффициенты при неоь Зь известных пропорциональны. Очевидно, справедливо и обратное— если коэффициенты при неизвестных пропор~шопальны, то определитель системы равен нулю Наконец, сслн то система (1) неопределенна, т, е. илшег бесконечное множество опгедвлители 2-го н 3-го погадка 130 [гл. т! 8 3 ! -~1 !1 — З~ — !4 у= = — =2. )2 З~ — 7 Пример 2. Решить систему Зх+ у=1, бх+2у=б. !3 1 Определитель этой системы ~' ~ =6 — 6 =О, причем определитель ! 4= ~ =9 отличен от нуля; следовательно, данная система несовместна, в чем 3 1~ 6 Ь~ убедимся непосредственно, если умножим первое уравнение иа 2.
П ример 3. Решить систему х — 2у= 3, 2х — 4у — 6 = О. ~1 — 2! 13 — 2! Оирсделитель этой системы ~ =О, причем оба определителя ~ !2 — 4~ 1~ ~ тоже равны нулю; следовательно, данная система неопределенна. Дей- 1 3! 2 6~ решений. В этом случае одно из уравнений (1) есть следствие дру- гого. В самон дслс, мы инеем: пли Ь, откуда вытекает, что одно из уравнений системы (1) есть следствие другого. Таким образом, мы приходим к выводу: 1) если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы (1) непропорциональны, то система совместна и определенна; 2) если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а сво- бодные члены им не пропорциональны, то система несовместна; 3) если пропорциональны коэффициенты при неизвестных н сво- бодные члены, то система неопределенна. Все эти случаи могут быть истолкованы геометрически, если рассматривать уравнения (1) как уравнения двух прямых линий.
В первом случае две прнмые пересекаются в определенной точке, координаты которой представляют решение системы (1); во втором случае прямые параллельны и не совпадают; наконец, в третьем случае они сливаются друг с другом. Пример 1. Решить систему 2х+ Зу — 8=0, х — 2у+ 3= 0. !2 3! Определитель этой системы ~ ~= — 7 отличен от нуля, н, следова- тельно, система имеет единственное решение. Чтобы найти его, перенесем свободные члены направо и воспользуемся формулами (4'): й 2) одногодпля систкма двух угавнаний с тиемя неизвестными 131 ствительно, сокращая второе уравнение па 2, видим, что система приводится к одному уравнению к — 2р=з н, следовательно, имеет бесконечное множество решений: к=яр+3, где у может принимать произвольные значении.
В частности, однородная систеьш а,х+Ь,у=О, ) (6) а,х+Ь,у=0 / либо имеет определенное решение, либо неопределенна, так как для нее случай несовместимости невозможен. Другими словами, система (6) имеет одно решение х =у= 0 (назовем его нулевым решением), если ее определитель отличен от нуля.
Если же Л ... ° Ь то одно из уравнений (6) есть следствие другого; система (6) при- водится к одному уравнению, например а х+Ь,у=О, и имеет бесконечное множество решений, определяемых с точностью до произвольного множителя й: х = И„у = — яа„и отличных от нулевого решения при уа — ~ О.
Геометрически уравнениям (6) соответствуют две прямые линии, проходяптие чсрсз начало коорди- нат, которые либо различны и имеют единственную общую точку в начале координат, либо совпадают. ф 2, Однородная система двух уравнений с тремя неизвест- ными. рассмотрим систему двух олнородных уравнений с тремя неизвестными х, у, г: а,х+ Ь,у+ сгя = — О, а,х+Ь,у+сея=О. (Т) Предположим, что из трех определителей по крайней иере олин, например первый, отличен от нуля, Тогда, перенося члены с я в прзвую часть и рсшзя уравнения относи- тельно х и у, получим па основании (4'): ~Ь,с, ) а, Ь, где я произвольно.
(гл. чт опггдглители 2-го и 3-го погадка 132 Введем обозначение (8) Тогда х = й ' ' , у =й ' ' , х=й ' ' , (9) где й есть произвольный множитель пропорциональности. Если взять й~ О, то получим решение системы, отличное от очевидного нулевого решения х =у =г =О, получаюгцегося при й=О, Заметим, что определители формул (9), которым пропорциональны неизвестные системы (7), получаются из таблицы коэффициентов этой системы а„б„с, путем вычеркивания соответствующего столбцз, при этом для срелнего неизвестного кеобходнно еще переставить столбцы в полученном определителе, Если все три определителя, стояпгие в формулах (9), равны нулю, то соответствующие коэффициенты уравнений (7) будут пропорциональны, и, следовательно, система (7) приведется к одному уравнению а,х+Ьу+с к=О, откуда, считая, например, а, ЧГ=О, получим: Ььу+с,г х =- — —.
Яз где у и г могут принимать любые значения. Пример 1. Решить систему х+2у — Зг=б, 2х+Зу+г=б. Составляем таблицу нз коэффициентов данной системы: 1, 2, — 3 2, 3, 1 и, вычеркивая поочередно столбцы, образуем определители: 1 2~ 7 )2 3! (е среднем определителе меняем порядок столбцов). Согласно формулам (9) решение системы будет, х — 11й у Уй, г= й где й произвольно. Пр кмер 2, Решить систему 2х — у — ба=О 4х — 2у — 10г=о 133 ппееделитгли 3-го погядкл Составляя таблицу иэ коэффициентов 2, — 1, — 5 4, — 2, — !О и вычеркивая поочередно столбцы, полу ич ! — 2 — 1б! ' ! — !о а! Следовательно, данная система приводится к одному уравнению: 2х — И вЂ” бг=б, в чем убеждаемся непосредственно, если соирагим на 2 второе уравнение.
Решение системы будет Положив Ь,1+ Ь,т+ Ь,и=О, с,1+ с,т+ с гп = О, (11) получим уравнение (л,1+ а,т+ л,п) х =. с(,1+ И,т+ г(гп. (12) Из уравнений (11) определим 1, т, л с точностью до общего множителя; мы можем привить (2 2): 1=( * *), т= ' ', л=! ' '!. Внося эти значения в уравнение (12), получим в результаге уравнение, содержащее одно неизвсстнос х: Ь , + * Ь , + .
~ ~' ,' '1 1!н кикгью проведенное рсшсиис системы (10) см. в $ б этой главы. у= 2х — бг, где х и г могут принимать произвольные значения. 5 3. Определители 3-го порядка. Рассмотрим систему трсд уравнений первой степени с трсмн неизвестными: агх+ Ь,у+ с,г = г(„ (10) а,х+ Ь,у+ с,г = с(,, Чтобы решить зту систему, исключим из уравнений (10) два цеизвестнык, например у и г, следующим образом. Умножим данные уравнении почленко на 1, т, л и, сложив, определим введенные множители так, чтобы коэффициенты при у и г были равны нулю.
Таким образом, сперва получим: (а,1+а,т+ л,п) х+(Ы+ Ь,т+ Ь,п)у+ + (с,1+ с,т + с,п) г = с),Х+ г(,т+ Н,л. 134 опгвдхлитали 2-го и 3-го погадка [гл. щ Коэффициент при х (14) назоаем определилаелгм 3-го порядка, соотвегствующим квадратьой таблице из девяти элементов: о„ Ь„ с„ а„ Ь„ с„ паз Ьз са~ н обозначим его символически так: а, Ь, с, а, б, с, а, Ь, с, Если заменить определители 2-го порядка их выражениями, то получим окончательно для определителя 3-го порядка следующее выражение: а,Ь,с, а, Ь, с, =а, (Ьс,— Ьс)+а,(Ь с, — Ь,с,)+ а,(б,с,— Ь с) = = лабаса+ л,Ь,с, + а,Ь,с, — а,Ь,с, — ааб,с, — а,б,с,.
(1 а, б, с,' а,б, ..аз бз' ~ск~аз Ьа (17) Возьмем со знаком плюс произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также преизведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на схеме (17) перечеркнуты сплошной линией). Произведения же элементов, стоящих на побочной диагонали н на двух параллелях к ией, содержащих по три элемента, возьмем св знаком минус (на схеме (17) перечеркнуты пунктиром), Алгебраическая сумма этих паести произведений дает, как это усматриваем из выражения (16), определитель 3-го порядка, соетветствуюгций квадратной таблице (15), П р амер. Вычислить определитель ! — ~ 34!.
6) Можно указать простое правило составленнк последнего выражения. Для этого напишем таблицу (15), приписывая к ней справа еще.раз первый н второй столбцы. 5 4) ОснОВные сВОйстВА ОПРедслителей 3"ГО пОРЯлкл 135 Согласно определению (14) имеем: ф 4. Основные свойства определителей 3-го порядка. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
