И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Согласно формулам (22') будем иметь: ! — 3 5~ — 23 — 23 — 23 2 — 1 1 0 0 1 ! 6 1 — ! 7 1 !3 — 1 — 2( ) 7 — 3 — 2 — 1 7) 7 — 3) — 46 2 — 23 — 23 ! — 2 — 19 ~ — 69 — 23 — 23 2 — 3 — 1 )Π— 5 — 13 6 3 1 — 1 0 — 2 — 19 г=-- -23 = -23 аа Р Ь> И, Ь, И, Ь, Ут Ь, с, Ь, с, Ь,с, 141 одиоРолнля сььствмл ф 6. Однородная система. Г!срейдеи теперь к исс ьедовшнно с ос темы однородных у равнений: Х, ==а,х+Ь,у+с,а=О, Х,:.. = а,х+ Ь,у+ с,а= О, ь2 ) а, Гь,) 6=О; Ь= ' д'~ьо, и, Рассмотрим определитель а,Ь,Х, Г)=а,д,Х, а, Ь, Х, Заменяя Х„Х„Х, их вььрикснььяььи, мы можем вслелствнс свойств Ч и Ч1! 13 4) представить определитель О в виде суммы трех определителей: ~а,д,Ь, ~ а, Ь, Ь, а, д, а, ру=а,д,а, а,д,а, а,д,с, а, Ь, е, аа дь сь Определители, стоящие при по два олинаковых сголбца, а определиьель Л, равный нулю лестно относительно х, у, яп х и у, равны нулю, так как имеют определитель, стоящий при е, есть но условшо, з.
е. имеет место тож- Ь, Х, Ь, Х, а = О. 124) причем для сокращения письма мы через Х„Х„Х, обозначзеч левые части уравнений, Исследование раюбьсм на три случая. 1. Если определитель ьз системы 123) отличен ог нуля, то эта система бьудет иметь одно определенное осшенне согласно 3 5. В нашем случае это будет очениьпюе решение х=-у=я=О, когорое назывзют ну.ьеаыш реьаениехн 1!. Прсдиоложпм, ыо определитель Л системы 123) равен нульо, но по крайней мере одни из его миноров отличен от нуля. Устанавливая надлежащим образом порядок уравнений и неизвестных в системс !23), можно всегда лостш нуть того, ы обы минор, оглнчный от пуля, с~оял в левом верхнем углу определителя Л. Итак, нс умсньшаи общности, мы можем считать опгхдвлптгли 2-го и 3-го погядкл [гл.
и 142 Разлагая последний определитель по элементам последнего столбпа, видим, по это ~ождество выражает линейную зависимость между Х„ Х„ Х„ причем коэффициент при Х„ очевидно, равен Ь и заведомо от.тичсп от нуля; а,Х,+а,Х,+ЬХ,=О, (24') где а, н а, суть алгебраические дополнения элементов Х„ Х,. Это тождество показывает, что третье из уравнений (23) есть слелствне первых двух.
В саь1ом деле, если при некоторых значениях х, у, х мы будем иметь Х, = Х,= О, то из тождества 124') и условия Ь с=О вытекает, что и Х, = О для этих значений х, у, г. Таким образом, в рассматриваемом случае остается решить совместно первые два уравнении системы (23). Согласно формулам 19) решение будет: Ь,с, »= с,а, '= а,Ь, т, е.
х= ЬА„у = ЬВ„х= ЬС1 где й есть произвольный множитель. Если Ь~сб, то г — 60 и получаемое решение отлично от нулевого. 11!. Предположим, наконец„ что определитель га и все его миноры рваны ну.чю. Не уменьшая общности, можем считать, что коэффнписнт а, отличен от нуля. Рассмотрим два определителя 2-го по- рядка: Каждый нз этих определителей можно прелставпть в виде суммы трех определителей 1э 4): а а х+ а Ь У+ а с х> а,а+а,Ь,Ута,с, Нстюсредственно видно, что определители, стоящие при х, равны нулю. Кроме того, равны нулю также и о11рсдслнтели, стоящие при у н я, так как по условию все миноры определителя 3 равны нулю.
Следовагсльно, В,=О, .0,=0, $6) одногоднля система Итак, в рассматриваемом случае будуг иметь мссто два тождества относительно х, у, г: (25) или а,Х,— а,Х,=О. а,Х,— а,Х,=О, (25') Эти тождества показывают, что послсдние два из уравнений (23) суть следствия первого„В самом деле, нз тождеств (25') и условия а,~О вытекает, что если Х,=О, то и Х,=Х,=О. Итак, в рассматриваемом случае достаточно решить одно первое уравнение, и мы получим решение системы (23) в виде: Ь>у+ с>г х= а> а значения у и х остаются произвольными.
Резюмируя исследования итого параграфа, приходим к следующему предложению, лУля того чтобм однородная сисгпема (23) имела решения, отличные огл нулевого, необходимо и достаточно, чпюбы определитель атой системы был раеен нулю, Если ашот опргделитель раеек нулю, но по крайней мере адик из его минорое отличен от нуля, то одно из уравнений састемы есть следствие двух других. Если же не только определилгель сиппемы [23), но и асе его миноры равны нулю, то система пригодится я одному уравнению.
Пример 1. Решать систему 2х — Зу+ с =0> х+у+ г =О, За+у — Зг =О. Определитель системы 12 — 3 11 6=1 1 1= — 23 3 1 — 2 отличен от нуля. Следовательно, данная система имеет единственное нулевое решение. П ример 2. Решить систему х+у+г=О, Зх — у+2г=О, х — Зу=О. Онределитель системы Ь= 3 — 12 = ! — 30 =О.
Минор определителя Ь, например ~1 1~ 144 опРеделитгли 2-го н З.го поРядка [гл. чг пглнчен от нуля. Следовшеги но, третье уравнение данной системы есть ледстнне двух первых, н достаточно реншть совместно два первых уравнения. Регггагг нх, найдем 14 2): х=гг! (=3/с, у= — /г( =.а, аг а! )= — 4/г где /г пронэвгогьно. П р н ив р 3. Решить снстему х — у+а=о, 2х — 2у+2Е=-О, Зх — Зу+Зх О. Определитель системы 1 — 11( 1 — 11 б=х 2 — 2 2~=2.3 1 — ! 1 =О. (3 — 33 1 — 11 Осе миноры определителя й тоже равны нуло.
Следовательно, система при- водится к одному уравнению, гго непосредственно становится ясным, если сократить второе уравнение на 2 н третье на 3. Чтобы найти решения системы, достаточно разрешить лишь первое уравнение, и получаем: у = х -1- х, где х н х остаются пронзвольнынн, ф 7, Общее исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. Обращаясь теперь к исследованию неоднородной системы Х, =-а,х+Ь у+ с а=с/„ (2(!) Х, =- — ахх+ Ьгу+ сгх =. г/ю рассмотрим отдельно ряд слу шев. 1, Если определитель Л этой системы отличен от нули, то си- стема эта имеет единствешгое решение, выражаемое формулами (22') (6 5), П. Предположим, что определитель /й равен нулю, по по крайней мере один из его минорон, за который мы можем принять, не умень- шая общности, б=(„ отличен от пуля.
В этом случае, как мы видели в э 6, левые час/и уравнений (26) связаны линейной зависимостью (24). Отсюда выгекзег, что если система (26) допускает решение, то и правые части г/„г/ю а, уравнений этой системы должны удовлетворить той же линейной эависггхгосги, т. е. должно быть: а,Ь,//, а, Ь а, Ь, Итак, случай !) подраздслнетсн на два; ф 7) овщяя исслядования систямы тгях линяйных хвлвкячий 145 !!з. Если а,й,бз, а,Ь,с(, оз Ьз з(з то система (26) несовместна, т. е.
не имеет ишсакого решения. !1,. !.слзз ! а, Ь, "з Ьз г)з аз Ьз с(, =О, то будут иметь место два равенства: а,Х, + а,Х, +5Х, =О, из которых первое выполняется тождественно относительно х, у, г, как это было установлено в 6 6, а второе получается из данного условия разложением по элементам последнего столбца. Вычитая из первого равенства второе, получаем тождество а, (Х, — с(,)+а, (Х, — зз,)+ б(Х, — л',) =О, откуда усматриваем, что третье нз уравнений (26), а именно Х, — з!з= =О, есть следствие первых двух: Х,— сз,=О, Х,— ззз=О, Чтосы найти решение системы (26), остается решить совместно лерзыс се два уравнения, которые можно переписать в виде: а,х+ Ььу = з(, — сзя, Такиаз образом, решение этой систеззы, а следовательно, и системы (26), будет вида: ) з!з — сзг Ь, ~ !пз лз — сзг! )„' «'!=о, 1' „' =о, и случай !П подразделяется на двж б н н где я остается произвольным.
!П. Пусть, наконец, определитель Ь и все сто миноры равны нулю. Нс уменьшан общности, можно считать а,~О. В этом случае, как было показано в $6, будут иззсть место две линейные зависимости (25) между левымн частями уравнений (26). Если данная систезза допускает решение, то н правые части з(„з1„ззз должны удовлетворять тем жс зависимоствм, а именно: 146 ОпРеделители 2 Го н 3"гп поРядкв (гл. 71 Ш,. Если хотя бы один из определителей отличен от нуля, то системз (26) несовместна, т. е. не имеет ре- шений. 1И,.
Если же одновременно =Он „д — — О, то будут иметь место равенствш а,Х,— а,Х,=О, а,Х,— а,Х,=О, из которых первые два вьнюлняются тождественно относительно х, у, е, как зто было установлено в й 6, а вторые два выражают условия разбираемого случая Ш,. Из последних равенств попзрным вычитанием получаем: а, (Х, — д,) — а, (Х, — д,) = О, а, (Х, — да) — аа (Хь д,) = О, откуда мы усматриваем, что последние два из уравнений (26) суть следствия первого уравнения.
Таким образом, система (26) приводится к одному первому урав- нению; решая его относительно х, получим решение системы (26): х= ' д — Ь у — с,е ! о, где у и х остаются произвольными. Резюмируя исследования настоящего параграфа, приходим к следугошим предложенпямс Если определитель Л неоднородной системы (26) ольличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формула,в (22'). Если определитель гь ривен нулю, но по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то система (26) либо несовлестна, либо неопределенна.
В нерваль случае среди определителей д-го порядка, принадлежащих шаблоне а„д„с„ аю йю с„ д„ есть по крайней льере один, отличный огн нуля, во втором случае в,е эти определители равны нулю, и система (26) приводится н двум уравнениям, 2 7) свьцее исследоваиие системы теек лииейпыд уединений 147 Если, наконец, вместе с определителем системы (26) все его миноры равны нулю, то система (26) либо несовместна„либо неопределенна. В первом случае среди определителей 2-го порядка, принадлежащих таблице (27), есть хоть один, отличныбот нуля, во второ и же случае все определители 2-го порядка этол таблицы равны нулю, и система (26) приводится и одному уравнению. Пример 1. Решить систему х+у+г=5, х †у+а, к+в=2. Определитель системы 1 11) ! — 11 =О, 1 01 1 1! ио среди его миноров есть отличиый от нуля, например! ~ ! 11= — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
