И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Среди определителей 3-го порядка таблицы 1, 1,1,5, 1, 0.1,2 имеется определитель, отличцыи от нуля, иапримерг — 111 = — 2. Следовательпо. данная система ие имеет решения, что иепосредствешю очевидно, если сложить первые два уравяепяя и сравнить результат с тршьил уравнением. П р имер 2. Решить систему х)-у+а=5, х — у+г=!, к+г=З. Определитель системы — тот же, что и в предыдущем примере, следовательио, 6=0, ио среди его макаров есть отличиый от нуля. Определители 3-го порядка таблицы 1, 1, 1, 5, 1, О, 1, 3 все реевы пулю.
Следовательно, данная система приводится к двум уравиеипям, что непосредственно становится ясным, если сложим первые два уравиеция. Решая совместно первые два уравнения, получим: х+г=З, у=2, или х=З-г, у=2, где г произвольно. Пример 3. Решить систему 2х+У+г=4, 4х+2у+2г — 5, бх+Зу+Зг=10. 148 опгедвзитвли 2-го и 3-го погядкл [гл. т| Определитель системы 211[ [211 А= 4221=6 211 =О.
633 211 Все сто миноры тоже раппы нулю. Среди определителей 2-го порядка таблипы 2, 1, 1, 4 4, 2, 2, 5 б, 3, 3, 10 есть отличный от нуля. папрггеср ~2, — — — 3. Следовательно, ашная си- 11 4[ степа несовместна, в чсч убеждаемся непосредственно, ул~нпягнв первое урзвне. ьне па 2 илн на 3. П р имер 4. Решить систему 2х+ у+ г = 4, 4х+ 2у+ 2г = 8, бх+ Зу+ Зг = 12. Определитель системы — тот жс, что и и предыдущем примере. значит, 8=0 и все его мгноры тов:е равны пулю. Определители 2.го порядка таблицы 2, 1, 1, 4, 4, 2, 2, 8, б, 3, 3, 12 зсе равны пулю. Следовательно, данная система врнводнгся к одному уравнснию, в чем непосредственно убеждаемся, если сократим второе уравнение па 2, а третье на 3 Остается решпть первое уравнение, чтобы получить решение данной системы. Таким образом, находим: е=4 — 2х — у, где х и у произвольны.
8 8, Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии. 1. 11лощадь треугольпикз. В гл, 1, й 1О мы вычислили площадь Я треугольника по координатам сто вершин и получили формулу хз У1 Уз з которуш можно переписать таким образом: х,— х, у,— у, О[ 1!г $ 8] пгиложвиия оптеделителвй к аналитической гвомвтнии 149 Прибавляя к элементам первых двух строк элементы третьей строки, найдем окончательно: х, у, 1 ! 5=-+— — 2 2.
Условие, нри котором три точки лежат на одной прямой. Если три данные точки находятся на одной прямой линии, то 5=0, и обратно. Следовательно, условием того, чтобы три данные точки (х„ у,), (х„ у,), (х„ у,) лежали на одной примой, будет х, у, 1 х $ у 1 1 3. Уравнение прямой, проходящей через лве данные точки. Заменив в последнем условии (х„у,) текущими координатами (х, у), получим уравнение первой степени: х, у, 1 х у 1 х у 1 х, у, 1 =О или х у 1 х, у, 1 ха уа =О которое определяет прямую линию, проходящую через две данные точки: (х„у,) и (х„у,).
Эту задачу возможно также решить с помощшо определителей, не прибегая к фориулс длв площади треугольника. Пусть уравнение искомой прямой линии будет Ах+Ву+С=О. Так как эта прямая согласно условию должна проходить через точки (х„у,), (х„у,), то )гоординаты последних должны удовлетворять уравнению прямой, т. е.
Ах, + Ву + С= О, Ах + Ву„+ С= О. Итак, имеем три уравнения: Ах+Ву+С=О, Ах,+Ву,+С=О, Ах,+Ву,+С=О, где х, у суть координаты любой точки пашей прямой. Эти уравнения являются однородными относительно неизвестных А, В, С. Эта система должна иметь решение, отличнос от нулевого. Как мы знаем, необходимым и достаточныи условием для этого является равенство нулю определителя систсмы, т.
е. опгвдвлнтвли 2-го и 3-го погадка [гл. ч! 150 А, В, С, А, В, С, Упражнения !. Вычислить опрслслитсли 2 0 1 1 — 4 — 1 — 1 8 3 х ух+у ух+у х х+у х у 1 1 1 х у г х' у' г' 2. Решить систслшп х — 8у — Зг = — 2. х+у+ (! + а) г =О. 4х — 11у+ 10г =О. 5х — 7у ф 8г= О. 4х — 1)у 1Ог — — 5. 5х+у — г=7. с) 2х — г=!, 0)х+д+г=а, в)х+д+г=О, Г)х+д+г=О, д)х+д+г=2, е) х — у+г=1, 2х+ 4д — г=!, х+ (1 + а) у+ г = 2а, 2х — Зу+ 4г= О, 2х — Зуф 4г = О, 2х — Зу )- 4г = 3, х+д — г=2, Полученное уравнение первой степени относительно х, у изображает, очевидно, искомую прямую.
Легко проверить, что координаты двух данных точек удовлетворяют составленному уравнеии!о. Действи- тельно, подставляя вместо х, у координаты данной точки, получим в левой части опрсдс.титель с двумн олинаковыми строками, кото- рый, очевилпо, равен пулю. Полученное уравнение можно рассма- тривать также, как условие того, что три точки (х, у), (х„ у,), (х„ у,) лежат на одной прямой. 4, Условие, при котором три прнмые пересекаются в одной точке, Пусть трн данпьш прямые липин Л,х+Ву+С,=О, А,х+Ву+С,=О, пересекаются в одной то ~кс (х„у,).
Координаты втой точки должны удовлезворять уравнениям данных прнмыл: А,х,+В,у,+С,=О, А,х,+В,у,+С,=О, Этн равенства показ!гвают, что однородная система Л,х+ Вьу+ С,а= О, А,х+ В у+ С в=О, А,х+ Вьу+ С,г = О имеет ненулевое решение х=х„ у =у„ г= 1. Следовательно, опре- делитель втой системы должен быть равен нулю, что н дает пам искомое условие: упРАжнения 1 у)х, уг )+ )хз уа !+ (х, у, )+)х, у, )1 При каком порядке обхода вершин выражение в скобках будет иметь знак +Р О. Упростить выражения: )созсг а!п 3 1) з!па з(п() 1 ~ ) 1 соз и соз 1! а) 1а(па соз!) 11; б) — сова соз() 1~! в) созга ! соз(сс+р) .
О О 1 О О 1 соа/3 соз(а+()) 1 !О. Вычислить определитель 11. Найти х нз уравнений: — 4 хб =О: в) 35 !О =О. ) х* 4 9 а)~ х23 =О; б) 111 12. )!оказать тождество: г ах а'+ х' ап а'+у" аг а'+ г' 1 1 =а(х — П)(у — г)(г — х). 1 3. Вычислить площадь треугольника с вершинлни в точках (1, — 2), (2, 3), (4, 5). 4. Лежат ли три точки (1, )), (3, 3), (О, О) на одной прямойу 5.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки (3, 2) и ( — 1, 3). О. Найти высоту треугольника с вершинами А (х„у,), В(хг Ие), С(хн р,). 7. Пользуясь решением предыдущего упражнения, нанти п.тогйаедь треугольника с вершинами А (хо у~), В(хт. Уз). С(хг Пз). 8. Показать, что площадь выпуклого четырехугольника АВС(1 с вершннамн А (хо уг), В(х„рк), С(хн р,), 0(хм у,) равна ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Г Л >'в В А 1 МЕТОД КООРДННАТ В ПРОСТРАНСТВЕ ф 1. Прямоугольные координаты.
Укажевв теперь способ, позволяюший оппеделять положение любой точки пространства числачн. Через некоторую точку О пространства проведем три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу, Ог — оси координапв, относительно которых мы будем определять положение точек пространства. Осн координат обычно располагают так, как зто указано на рнс.
82; осн Ох п Оу — горизонтально, з ось Ог— вертчвкзльно; при этом ось Ох направляют н вперел (в сторону читателя),асыку — слева в >вг направо, ось Ох — снизу вверх ). Ось Ох называется осью абсцисс, Оу — осью ординит, Π— осью аппликат. Точка пересе'вения координатных осей нззызается наса. лолв координапв. Наконец, выберем единицу масштаба. Теперь положение всякой точки прост- ранства можно определить тремя дейстяптель- б ж ными числами — коордннатамн этой точки, Рнс. 82 В самом деле, всякой точке М соот- ветствует три точки Р, О, )в> на осях координат, являюнвиеси ее нроекшпшн на этн оси'). Обратно, зная точки Р, вв> и вс на осях, можно построить едииствепную точку М в пространстве, длн которой Р, О и й явлшотся проеквпичн н,в координатные оси.
Таким образом, определение положения точки Л1 сводится к определению положений ее проекций Р, О н Р, лежащих соответственно на осях Ох, Оу н Оз. йаы уже знаем, что положение точки Р осн Ох вполне определяется числом х, прелсганлиюшнм собой величину направленного отрезка ОР. Это число х, координата точки Р— нроскцнн то нвн Л4 на ось Ох,— нринимаегсч ') См. замечание 2 в копие этого параграфа, ') Пйс'каня точки М прострав>ства на ось — зтс точка пересечения осн с перненднху.варной к ней плсскпстыо, прсхсзяшей чарва М.
153 5 И пгимоягольныя коогдинаты за перву1о координату точки М и называется ее абсписсой. Совертяенио так же положение точек !! и !с вполне определяется числами у и г, прелставля|ощимн собой величины направленных отрезков 04 и Ой, с!псла у и г, координаты точек я н тс,— проекций тонин М иа осн Оу н Ог, принимаются со ответственно за вторую н третью коор- .Ш' л" динаты точки М. Вторая координата у называется ордикатлой и третья л г — аллликажой. Танки«ьбразон, положение любой 1 точки Л! поостранства вполне определяется трояк лй чисел х, у, г, первое 1 из которых валяется абсписсой то ~ни, ~0 второе — оодшютой и третье — анпгнкатой. Координаты точки условимся запи- / !'7 сывать в скобках рядом с буквой, обозначающей ее, ставя на первом месте абсциссу, на ятором — ординату и иа Х !й! третьем — аппликзту М 1х, у, г!. Оси координат Ох, Оу и Ог, Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
