И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 19
Текст из файла (страница 19)
дим ему вид Л(х, — х,) 2У =2р(х, — х,); О6 ВЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ Конно!ЕСКИХ СЕЧЕНИЙ Ггл. !ч Угловой же коэффициент д касательной будет пределом —, когда И стремитсн И' к нулю (точка М, стремится к точке М), т. е. И= 1'ип —. а-оо И Так как И и !суть приращения соответственно абсциссы и ординаты точки М конического сечения, то И является пределом отношения приращения ордннаты (функции) к приращению абсциссы (независимого переменного), когда зто последнее стремится к нулю. Из дифференциального исчисления известно, что такой предел есть производная от ординаты у ио збсциссе х, взятая для точки М(х„у,), т. е.
(ау) где значок, указывает, что значение производной нужно брать для точки (х„у,). Зависимость же функции у от независимого переменного х задается уравнением конического сечения. уо Пример 1. Составить уравнение касательной к эллипсу — + — =1 ао Ьо в точке (х,, у,). Дифференцируя уравнение эллипса, получим: 2х 2у бу Ь*» — ах + — о)у= О, откуда — = — —. ао Ьо ах а*у Следовательно, Ь = ( — у! = — †'. Уравнение касательной будет /ад) Ь'х, у — у, = — —,' (х — х,). а уо Умножая на — ', получим: Ьо' о о х' уу, до хх, о хх, ду, о до Ь' Ь' а' + а' ' ' а' ' Ь' а' + Ь* Так как точка (х„ уо) лежит из эллипсе, то правая часть последнего уравнения равна 1, и урлвйение касательной примет вид: хх, уу, — + — =!.
ао Ьо= ' хо у' Пример 2. Составить уравнение касательной и гиперболе —.— — =1 а' Ь' в точке (х„у,). Аналогично примеру 1 получим уравнение иасательной к гиперболе в виде: уд» вЂ” — — =1. ао Ь' Посмотрим, во что обратится уравнение касательной к гиперболе, если точка (х, у,) удалится в бесконечность. Перепишем уравнение касательной в ниле: Ь хо у= — 'х —— а уо до й 151 клсатнльнаи и заметим, что (х„ у,) удовлетворяет условию й ..й й Хо во "о ой ай а' Ь' Заставляя теперь точку (х„ у,) удаляться в бесконечность, следуя по гиперболе, получим, переходя к пределу в последнем равенстве /хо д' ай Г. х1й ай х, о Нт ~ — о~ = —, или !пп — о1 = —, откуда 11т — '=-~- —.
Уравнение касательной в вределе примет вид: у= — ~-~- — ~ х, нли у=-~- — х. а '),— Ьу ' Это суть уравнения двух асимптот гиперболы. Таким образом, когда аюеса касания удаляется в бесконечность, касательная стрелится к положению асииптоты гиперболы. П р н м е р 3. Составить уравнение касательной к параболе у'= 2рх в точке (х„у„).
Дифференцируя уравнение параболы, найдем: ду 2уду=2р да, нли — = 1 дх у' Следовательно, Ь= —, и уравнение касательной будет уо У вЂ” Уо = — (» — хо) р Уо или, умножая на у„ ууо уо = рл Рхо. Так как точка (хо, у,) лежит на параболе, то ее иоординзты удовлетворяют уравнению параболы у'=2рх,. Заменяя в уравнении касательной у,' его значением, найдем: уу, = рх -(- рх„или ууо = р (х+ х,). Угловой коэффициент касательной а точке М, (х„у„) коническою сечения (эллипса, гиперболы, параболы) возможно определйть, ие применяя дифференциального исчисления.
С эюй целью заметим, что направление касательной к коническому сечению в точке Ч, совпадает с направлением хорд, сепряжснных диаметру, проходящему через точку М,. Следовательно, из условия сопряженности (23') в случае эллипса получим угловой коэффициент Фй касательной в точке М , если заменим в нем йй угловым коэффицнентолй диаметра, проходящего через точку М,; заметив, что Ьй = †, получим: Уо хо ' Ь'х Ь = — —. о й й Аналогично для гиперболы иэ условия (26') найдем угловой коэффициент каса. тельной к ией в точке Мо(хо. уо): Ьйх, У= — '.
а'уо ' элсчептденяя теоеия конических сечений (гл. щ Наконец, в случае параболы угловой козффнннент Ь касательной в точке М, определится нз условия прохождения ее диаметра, имеющего уравнение (64) у= †, через точку М„ т, е. уй = †, откуда Р Р а й — Ь ай 5 16. Эллипс как проекция окружности. Пусть дан зллнпс своим каноническим уравнением у+у=' (а' ьЬ) Рассмотряи уравнение окружности хй «й —,+ — =1 ай ай описанной около яллипса (рис. 66). Назовем две точки М, и М„лежащие соответственно на вллипсе и окружности, соответствующими точками, если они имегот одку и ту же абсциссу и лежат по одну и ту же сторону от оси Ол.
Обозначая их обгг~ую абсциссу вел ОР= х и ординаты — велРМ, =у и вел РМ,=)г, имеем: л яй яй хй 1 й —,+ —,=1, —,+ —,=1. а' Ь' ' а' а' Сравнив два последних уравнения, заключаем, что „й 1й Ьй а'' Рнс, 66. или, разрешив зто уравнение относительно у', получаем: й Ь .у = — 1" откуда окончательно Ь у= — 1; а Так как — ~~ 1, то мы вправе положить Ь Ь вЂ” =соя гр, а и зависимость между ордннатами соответствующих точек представится в виде: у= 1 снего. УПРАЖНЕНИЯ Последняя формула показывает, что величина у направленного отрезка РМ, может быть рассматриваема как проекция направленного отрезка РМ, (рис.
67), если угол между РМ, и РМ, принять равным е). Ь)т Отсюда следует, что если поместить окружность в плоскости, наклоненной к плоскости эллипса под уг- ')з лом гр, то эллипс будет являться ортогональной проекцией этой окружности (рнс. 67). Рис. б7 5 17. Параметрические уравнения эллипса. Сохраняя обозначения рис. 66 предыдущего параграфа, капомним, что координаты соответствующих точек М,(х,у) и М,(Х, У) вллипса и окружности связаны соотношениями: (36) Так как параметрические уравнения окружности имеют вид (гл, П, 2 б)1 Х=а сов 1, )г= а з)п г, то, заменяя в (Зб) Х и г'их выражениями через параметр 1, получим х=а сов|, Ь у= — аайп1, илн окончательно х= — а сов 1, у =Ьз(п г.
Это и есть параметрические уравнения эллипса. Упражнения Окружность 1. Написать уравнение окружности, зная, что: а) цектр окружности лежит з точке ( — 2, — 3) и радиус ее равен 3 еди ницам длины; б) центр лежит з точке (2, — 3) н окружность проходит через точку (5, !); з) концы одного из диаметров имеют координаты (3, 9) и (7, 3) 2ч. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (9, 3), ( — 3, 3), (11, 1). злементлРнля теория кОнических сечений (гл. тч Зз. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения Ахз+ Вху+ Су'+ Ох+ Еу+Р =О, чтобы оно определяло окружность радиуса Ь с центром в точке (3, 2)7 4з.
Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением: ) х +У' — 4х+2У+1=0; б) 2х'+2уз ) 5» в) ха+У' — бх — 7=0; г) х'-(-у'-)-ау=О. 5. Най~и уравнение окружности, касающейся осей координат на расстоя- ниях а единиц от начала координат. 6. Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в начале координат н пересекзющсй ось Ох в точке (6, 0), 7. Найти уравнение окружности„касающейся оси Ох в начале координат и пересекающей ось Оу в точке (О, — 8).
8. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке ( — 5, 0) н имеющей радиус, разный 3 единицам длины. Оз. Найти уравнение окружности, центр которой лежит в точке (4, 7) и которая касается прямой Зх — 4У+ 1 = О. 10». Вывести уравнение касательной к окружности (х — а)'+(у — Ь)з=г' в точке (хз Уо). 11. Составить уравнение касательной к окружности х*+у'=гз в точке (хз уз). 12. Написать уравнение касательной к окружности (х+1)'+(у — 3)'=25 в точке (3, 6). 13". Найти уравнения касательных к окружности х'+уз= 10, прохо- дящих через точку ( — 5, — 5).
14. Найти уравнения касательных к окружности х'+уз=5, проходящик через точку ( — 7, 1). 15". а) Нанти касательные к окружности х*+ уз= 13, паааллельиые прямой 4х+бу — 5=0. 6) Найти касательные к окружности х'+у +5х=О. перпендикулярные к прямой 4х — Зу + 7=0. 16*. Найти длину (а) касательной, проведенной из точки М (7, 8) к окруж- ности (х — 2)" + (у — 3)' = 14.
17. а) Даны точки А ( — 6, 0) н В(2, 0). Найти геометрическое место точек, нз которых отрезки ОА и ОВ видны под равнмми углами. 6) Все хорды ОФ окружности х*+уз=2ах, проведенные иэ начала координат, продолжены за точку й( иа расстояние )УЛ1 =Ой. Найти геометрическое место точек М. Эллипс 18. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) полуоси его равны соответственно 5 и 4; б) расстояние между фокусами равно 8 и большак ось равна 1О; в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6; г) большая полуось равна 1О и эксцентриситет равен 0,6; д) малая полуось равна 6 н эксцептриситет равен 0„8; е) эксцезтрнситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8; ж) сумма полуосей равна 10 и расстояние между фокусами равно 4 Ргб. 19. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а) 16х'+25У'=400, б) 9х'+у'=36.
20. Определить эксцентриситет эллипса, если: а) отрезок, соединяющий его фокусы, виден из конца малой аси под прямым углом; унга!пикник б) расстояние мюкху фокусазш равно расстоянию между концами больш й и малой осей; в) его большая ось втрое болыпе напои; г) с1о оси относятся, как 5:3. 21. Дан экснеитриситет эллипса е.
Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриснтета характеризует форму эллипса? 22. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его нахо- дится в точке (5, 0). Составить уравнение эллипса, зная, что эксцентриситез его ранен О, 6. 23. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8, 0) и оси ординат в точке (О, — 5). Написать уравнение эллипса, если известно, что осн его параллельны осям координат. 24. Эллипс касается оси ординат в точке (О, 5) и пересекает ось абсцисс в точках (5, О) и (1!, 0). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат. х' у' 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
