И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 14
Текст из файла (страница 14)
29. Провести через точку пересечения прямых Зх — у — 3=0, 4х+ +Зу — 4=0 прямую, перпендикулярную н первой из них. 30. Провести прямую„соединяющую точку пересечения прямых 11х — 17у — 9= О, 12х+ 13у — 5= 0 с началом координат. 31. Через точку пересечения прямых х + у — 6= О, 2х — у — З=О провести прямую под углом в 45' к прямой Зх — 5 =О. 32. Найти прямую, проходящую через точку (2, — 3) и образующую с осью Ох угол, вдвое больший угла, образуемого с той же осью прямою 1 у= — х+3. 2 ЗЗ.
Через точку пересечення прямых х — 2у — 5=0 н 2х — Зу — 8=0 провести прямую, параллельную прямой Зх — 2у+2=0. 34. Через точку пересечения прямых 2х — Зу+5=0 и х — 4у+5=0 провести прямую под углом в 45' к прямой 2х — 3=0 (угол отсчитывается от прямой 2х — 3=0). 35. Стороны треугольника выражаются уравнениями х + Зу — 2 = О, 2х + у + 5 = О, Зх — 4 = О. Найти уравнения высот этого треугольника. 36. Вершины треугольника суть (О, 5), (1, — 2), ( — 6, 5). Найти уравнения перпендикуляоов, восставленных в серединах его сторон, а также точку пересечения этих перпендикуляров.
37. Вершины треугольника суть (О, !), (1, 0), (1, 1). Найти уравнения медиан. ЗВ. Вершины треугольника суть (2, 1), (О, 7), ( — 4, — 1). Найти уравнения медиан и точку их пересечения. 39*. Найти уравнение прямой, проходящей через на~ало координат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются уравнеииячи у = 4х+ 4, у= — х+ 4, 4у=х+ 1. 40.
Найти уравнение прялюй, проходящей через начало коордкнат и через точку пересечения ьмдиан треугольника, стороны которого выражаются уравнениями и х — у — 4 = О, 2х — П у + 37 = О, 2х + 79 — 17 = О. 41*. На прямой 4х+Зу — 12=0 найти точку, равноудалеиную от точек ( — 1, — 2) и (1, 4). 42. На прямой Зх+2у — 5=0 найти точку, равноудалениую сг точек ( — 1, — 1) и (3, 3). 43. Найти точку, равноудаленную от точек (2, 3), (4, 2), ( — 1, 0). 44. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: х+у †1, Зх †у+4 и точка пересечения его диагоналей (3, 3).
Найти уравнения двух других сторон, уппдиснпния 45. Даны две вершины равностороннего треугольника АВС: А(2, 1) и В (2, 5). Найти третью вершину С. 3 2 46. Даны уравнения прямых: а) 4х — 7у+9=0; б) — х — — у — 3=0; 4 5 ! 3 1 5 12 в) — х — — у — 1=0; г) — х+9 — 5=0; д) — х — — -9+5=0. Какие нз 3 ' 13 13 этих уравнений явлвются уравнениями в нормадьпам анде) 47. Найти ураииение прямой по следующим условияч: ее расстояние от начала координат равно 7 еднаицам длины и угол между осью Ох и перпендикуляром к искомой примой, проведенным из начала координат, равен 120'.
48. Написать уравнение прямой, если известно, что ее расстояние от начала координат равно 5 и что перпендикуляр, опущенный па пее пз начала координат, составляет с осью Ох угол в 60'. 49. Привести к нормальному виду уравнения следующих примых: б) бх — 8у — 9=0; г)я+у+5=0. а) Зх + 48 + 15 = 0; а) 2х + 2 РгЗу — 7 = 0; Зх+49 — 15=0 н Зх+4у+20="О. 56.
Найти расстояние между параллельнымн прямыми 5х — 12у+28=0 и 5х — 12у+15=0. 57. Даны уравнения оснований трапеции: 2х+Й вЂ” 5=0, 4х+2у — 7=0. Найти ее высоту. 58". Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(5, 2) на расстоянии 4 единиц от точки ( — 3, 1). 59. Из точки (1, — 2» провести касательные к окружности радиуса 2 — )' 85, центр которой лежит в точке (3, 6).
5 60». Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми Зх+49 — 9=0 и 12х+Оу — 8=0. Проверить, что эти биссектрисы перпендикулярны друг к другу. 61, Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми х + Зу — 26 = 0 и 4х + 78 + 29 =. О. 62. Найти уравнение биссектрисы внешнего угла А треугольника с вершинами А (О, 0), В (3, 0), С(0, 7). 63. Найти точку, рааноудалепцую от точек М(4, — 3) и В (2, -1) н отстоящую от прямой 4х+Зу — 2= 0 на расстоянии, раппом 2.
50'. Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые 15х — Зя — 5! =О и ах+ 38+ 35 =0. Найти также координаты оснований этик перпендикуляров. 51. Вор!ниной ~рсугольиика служит точна (5, — 3), а основанием— отрезок, соедипя!о!цнй точки (О, — 1) н (3, 3). Найти длину высоты треугольника. 52. Па прямой х + Зд= 0 найти точку, равноудалепную от начала координат и от прямой х+Зд — 2= 0.
53ь. дана прямая Зх — 4у — !0=0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц. 64. Дана прямая Зх+12у+2=0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц. 55". Найти расстояние между параллельнымн прямыми пгямля линия 1гл. ш 64. Даны неитр квадрата С( — 1, О) и уравнение стороны к+Зу — 5=0. Составить уравнения остальных трех сторон. 65. В прямоугольном равнобедренном треугольнике даны уравнение катета р= 2х и середина гипотенузы К (4, 2). Найти уравнения двух других его сторон. 66.
Найти геометрическое место точек, рванешь квадратов расстояний которых от двух данных точек равна постоянной величине. 61. Основание треугольника неподвижно, а вершина движется по данной прямой. Найти уравнение линни, описываемой центром тяжести этого треугольника. ГЛЛ ВЛ 1У ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ й 1. Предварительные замечания. Общее уравнение второй степени относительно переменных х и у может содержать члены второй степени (х', ху и у'), первой степени (х и у) и нулевой степени (свободный член)„ В соответствии с этим общее уравнение второй степени можно ззпясать в виде: Ах' + Вху + Су' + ЕЬ + Еу + Е = О. Здесь по крайней мере одни нз коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля.
Вопрос о том, какие линии будет определять это уравнение при различных значениях его коэффициентов А, В, С, О, Е, Е, будет рещаться в главе Ч. В настоящей главе будут рассмотрены некоторые специальные виды уравнения второй степени. й 2. Окружность. Мы видели (гл. !1, й 1), что окружность с центром в точке С(а, Ь) и радиусом В имеет уравнение (х — а)'+ (у — Ь)' = !с*. Раскрывая скобки, придании уравнению (1) вид: х'+ у' — 2ах — 2ду + (а' + Ь' — В') = О, (1') нли х'+у'+ !)х+ Еу+ Е= — О, где положено О= — 2а Е= — 2Ь й=а'+Ьь — В' Уравнение (1") является уравнением второй степени. Итак, окружность имеет уравнение второй степени относительно текущих координат, Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени определяет окружность, Действительно, из уравнения (1 "] усматриваем, что в уравнении окружности ковфсйициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат (ху) отсутствует. Обратно, если этн два условия (равенство коэффициентов при х' н у' и отсутствие члена ху) осуществлены, Т4 элементАРИАИ теоРия конических сечений [ГЛ.
Ч! то уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как оно приводится к виду (1") путем деления на коэффициент при х''), Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем рещить, является ли оно уравнением окружности или нет, Например, уравнение х'+у' — 2х+4у — 4=0 определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны предварительно определить координаты ее центра и радиус. С этой целью данное уравнение мы приведем к виду (1). Такое преобрззоеанне есть не что иное, как представление уравнения (1") в виде (1). )!Озьмсм в данном уравнении щсны, содержащие х, г, е. х' — 2х, и представим этот двучлен в виде: х' — 2х =(х — 1)' — 1, т.
е. выделим из членов, содержащих х, полный квадрат линейного двучлена (х — 1). Далее возьмем члены, содержащие у, т. е. у' + 4у, и, преобра- зуя этот двучлен такич же образом, получим: у'+ 4у = (у+ 2)' — 4, После этого данное уравнение запишстся так! (х — 1)' — 1 + (у + 2)' — 4 — 4 = О, Перенося свободные члены вправо, будем иметь: (. — 1)'+(у+2)'=9. Сравнивая это уравнение с уравнением окружности (1), усматриваем, что а=1, Ь= — 2, ТТ=З.
Такич образом, центром окружности является точка (1, — 2) и радиус окружности равен 3. По этим данным мы можем построить окружность. П р имер. Найти координаты центра н радиус окружности х'+у' — 2х= о. Придавая уравненюо знд (х — !)' — !+у'=О. Нли (х — !)з+д'= 1, заключаем, что радиус окружное!и равен 1, центром же служит точка (1, О). 0 Е,, з 0'+Е' — 4Р ') Так как а= — —, Ь = — — н К'=а'+ аз — Р= то при 0'+ Е* — 4Р ь О уравнение (1") определяет окружность радиуса У'0 -(- Е! — 4Р !Т=-,, при 0'+ Е' — 4Р=О уравнение (1") определяет окруж- 2 ность нулевого радиуса (точку), при 0'+ Е' — 4Р < О уравнение (!") не определяет никакого геометрического образа; в этом случае говорят, что оно онределает мннмую окружносзь, ьз) эллипс й 3.
Эллипс. Эллипсом называется геолсетрическое лсесто точек, сулла расстояний которых до двух данных точек, назы- ваемых фокусалси, есть величина постоянная (эта постояш|ая должна быть больше расстояния между фокусами) '), Чтобы составить уравнение эллипса, примем за ось абсцисс прямую, соединя- ружу/ ющую две данные точки Г, и г„выбрав на ней положительное направлениеот г, к Г,; начало кооРдинат возьмем в се- Рдейте д г=,гс,бг редине отрезка, соединяющего две данные точки (рис.
49). Обозначим через 2с Рнс. 49. расстояние Р,Р, между фокусами. Тогда координаты точек го, и г, будут соответственно (с, О) и ( — с, О). Обозначая через х и у координаты произвольной точки М эллипса, выразим длины отрезков гзМ и г,М по формуле расстояния между двумя точками (гл.
1, 9 5): Г,М = $' (х — с)*+ у', г,М=")/(к+ с)'+у*. По определению вллипсз сумма Г,М+Р;М есть величина постоян- ная. Обозначая ее через 2а, инеем: Р,М+ г",М=2а, или г Д:д ч.еч г[ .~- 1'ч.у'=2 . Это есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Чтобы найденное уравнение эллипса приняло простейший вил, нужно в этом уравнении освободиться от радикалов. Перенося один радикал направо, получим: гг* — г -- у' = ь — ьз* ь 'г -ь у' или — 4сх = 4а' — 4а )/ (х+ с)'+у', ох+ а' = а )/г(х+ с)*+ у'. т. е. ') Ясао, что ага постоянная не может быть меньше расстояния между фокусами; если же она будет равна расстоянию л1ежду фокусами, то рассматриваемым геометрическим местом точек буде( отрезок прямой, ограниченный лап. ными точками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
