И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 17
Текст из файла (страница 17)
17, й 4) имеем: г,— г, = л-2а, (10) где знак плюс относится к правой ветви гиперболы, а знак минус к левой. С другой стороны, как и в предыдущем параграфе, найдем: й $ г,— г,=4сх. (8) (г, — г,)(г, +г,) = 4сх, воспользуемся уравнением (10), что нам даст: г,+г, =~2 — х. Наконеп, решая последнее уравнение совместно с уравнением (1О), получим выражения для г, и г,: с г= — а+ — х; 1 а г, = а+ — х (правая ветвь); с с г = — а — — х (левая ветвь). й Я с г =а — — х; 1 г Величина —, входящая в последние формулы, называется вксненглрисилгетом гиперболы; условимся обозначать ее через е.
Очевидно, е = — есть отношение фокусного расстояния 2с к длине действие тельной осн 2а, причем теперь еь1, так как с' ьа. Итак, мы имеем следующие формулы для фокальных радиусов г, и г, гиперболы: г, = — а+ ех, г, = а+ ех (правая ветвь); г,=а — ех, г,= — а — ех (левая ветвь). (11) с Назовем прямые х= +- †, перпендикулярные к фокальной оси с гиперболы н расположенные на Расстоянии — от ее центра, днрекгирисалги гиперболы, соответствующими правому и левому фокусам. а Так как для гиперболы в > 1,то †(а и, следовательно, директрисы располагаются между вершинами.
Из уравнений (1О) и (8) находим искомые величины г, и г,. Для этого, переписав уравнение (8) в виде 8 1О) эксцентгиситвт и дигектгиса пхгеволы 87 Легко показать, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствуюгцей директрисы есть величина лостояннал, равнал е. Вследствие симметрии это свойство достаточно обнаружить относительно правого фокуса и соответствующей ему директрисы. Обозначая через й, расстояние точки М (х, у) гиперболы а до правой директрисы, из рис. 58 усматриваем, что с(, = к —— в случае, если М находится на правой ветви гиперболы, и с(,= о = — — х, если М лежит на левой ветви. Составим теперь отношее ние †' пользуясь формулами (11): Д У б — а+ ех (правая ветвь); И, а х —— е г„а — ех — (левая ветвь).
д а — — х е и В обоих случаях отношение — буб дет одинаково и равно: а — ех о — ех =е, а а — ех — — х е е что и требовалось показать. Рнс. 58. й 1О. Эксдентриситет и директриса параболы. В $ 5 настоящей главы мы определили параболу как геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки в фокуса и данной прямой— директрисы. Таким образом, обозначая через г расстояние любой точки М параболы до фокуса, а через й ее расстояние до днрек- Г трисы, мы имеем г=й, или — =1 (рис. 52). Поэтому эксценярисияет параболы принимают равныгв единице. Уравнении директрисы параболы будет: х= —— р Ф 2 если оси координат выбраны так, как это было сделано в й 5.
Объединяя результаты трех параграфов, мы получаем следующее общее определение конического сечения (эллипса, гиперболы н параболы): коническое сечение есть геометрическое место точек, ЭЛЕЫЕНТЛРНЛЯ ТЕОРИЯ КОНКЧЕСКИХ Сепений (гл. пг отношение расстояний которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная (е).
Прн этом (рис. 59) для эллипса †' = е ( 1 РМ, МФ э РМ, для параболы — '=в=! для гиперболы — '= е) 1'). М,Л'з й 11. Уравнение коннческого сечення в полярных координатах. Задача настоящего параграфа — вывести уравнение конического сечения в полярных координатах, принимая за полюс один нз фокусов н за полярную ось — фокальную ось этого конического сеченая. Рнс. 60. Рнс. 69. Пусть АВС (рнс. 60) — дуга конического сечения (эллнпса, гиперболы яли параболы),  — вершина, Р— фокус и ВŠ— соответствующая директриса. Примем точку Р за полюс, а прямую ВРР— за полярную ось, выбрав на ней направление от фокуса Р в сторону, противоположную директрисе; обозначим эксцентрнснтет крнвой через е, Пусть М, — точка дуги ВС конического сеченая, лежащая на перпенднкуляре к полярной оси, проходящем через полюс Р. Обозначим длину РМ, через р н будем называть ее 4юкальлим лараметрол конического сечения.
Пусть М (П <Р) — произвольная точка кривой. Составим уравнение, выражающее зависимость между ее полярными координатами г, !р н данными числами е, р. По общему свойству всех точек конического сечения имеем: (12) ') В Я 7 и 8 было показано, что эллнпс н гипербола обладают указанным свойством. Можно доказать я обратное! геометрическое место точек, отношение расстояний которых до данной точки и до данной прямой есть велнчина постоянная, представляет собой эллипс, если эта постоянная с' 1, н гиперболу, если она л 1. Отсюда следует, что это свойство можно принять за определснне конического сечения.
В 11) кядвнвнии копичяского свчгпия в полягных коогдинзтлх 89 Прн любом расположении точки М на коническом сечении РМ=Г и УМ=И~Ма+гсозф. Р'1(е Так как „вЂ” =а, а РМ =р, то Л/,М, = — . Следовательно, ~а~о а Д!М = — +г сов ф. Р Тогда равенство (12) можно нсрепнсагь в виде г =е, — +г сов ф Р а откуда (14) 1 — а созф Уравнение (14) будет определять эллипс, если а < 1, параболу — при в=1, гиперболу, когда е >!. В уравнении (14) величина р для паоаболы имеет, очевидно, прежнее значение, т.
е, то же, что и в уравнении у =2рк. В самом деле, для параболы Р=РМ,=М,)у„т. е. р есть расстояние фокуса до директрисы (параметр параболы). Для эллипса и гиперболы можно поставить вопрос: как выразить фокальиый параметр р через полуоси а и Ь"г Кз „а В случае эллипса —, + —,=1 мы подставим в его уравнение координаты аз одной из точек эллипса, а именно М,( — с, р); после этого получим: а —,+ Ьз=( Р илн р' а* — с' Ь* Ьз ае аз откуда Ь' Ьа р'= —, и р=— а' а В случае гиперболы —,— от=1 координаты ее точки М„(с, р) подставим к' у' а* в уравнение, после чего получим: с' рз р* с' — аз Ь' — — — =1, или а' Ь' ' Ь' а' аз НЛЕМЕНТАРИАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ [ГЛ. ПГ откуда снова имеем! Ь Ь' р'= —, и р=-, а> а Итак, Ураенения эллипса, гиперболы и параболы е полярных координатах (при указанном еыборе полюса а поляоной оси) имеют одинаковый еид! Г= 1 — е соз >р ' (14) В случае гиперболы уравнение (!4) выведено для одной ее ветви, ио легко убедиться в том, что ему также удовлетворяют координаты любой точки„расу положенной на другой ветви гиперболы.
Ч 12. Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры. Рассмотрим элдипс, отнесенный к его л осям симметрии ')! х> о> — + — =1, о> Ье н систему параллельных между собой хорд с угловым Рис. 61. коэффициентом Ь> (рис. 61).Посмотрим, как располагаются середины этих хорд. Иными словаыи,выясним, каким условием связаны координаты середин параллельных между собой хорд эллипса. Возьмем любую из хорд и обозначим ее концы через М,(х„у,), М,(х„у,), а середину-через М(Х, у). Так как точки М, и М, йежат йа эллипсе, то их координаты должны удовлетворять его уравнению (16), т. е. (17) а' х*, у> — + — =1 а' Ь' (16) Выражая угловой коэффициент Ь, прямой линии М>М> через координаты двух сс точек (гл.
Ш. й 12), будем имстсе у> — у> х,— х,' (10) Наконец, заметив, что точка М является серединой отрезка М,М„получим: Х= —, х,+х, 2 (20) е 2 (2!) ') Оси симметрии эллипса приняты за координатные оси. причем для эллипса и гипербоды фокальный параметр р связан с параметрами а н Ь формулой Ь' р= (1б) а' $12) диАИИТР!е эллипсА. сопРнженные дизиетРы 9! Исключим из пяти соотношений (17) — (21) четыре вспомогательные вели- чины х„х„у„у,.
С этой целью, вычитая равенство (!7) нз равенства (13), найдем: х' — х у' — у' 3 < ° 3 < — + — =О, а' Ь' (х, — х,) (х, + х,) + (у, — у,) (у, + у,) Ьз а< Внося в последнее равенство согласно (20) вместо суммы х,+к, ее впзченне 2Х. а вследствие (21) вместо суммы у, +у, ее значение 2У н согласно (19) вместо разности у,— у, ее выражение Ь,(кз — х<), мы придадим ему внй: (х,— х,)2Х й,(х — к,)2)г сакра<цап на 2(х, — х,) '), мы получим окончательно' Х Ь,У вЂ”,+ — ', =о, аз Ьз откуда (прн й< ~ 0) У= — —, Х.
Ьз азу< Таким образом, координаты середин параллельных между собой хорд эллипса связаны линейной зависныостыо. И, значит, середины параллельных хорд располагаются на прямой Ьз у = — — к. (22) "< В наших рассуждениях мы предполагали, что рассматриваемые хорды имеют угловой коэффициент й, и, следовательно, не параллельны оси Оу. Середины хорд, параллельных осн Оу, тоже лежат на прямой — нз осн Ох (в силу симметрии эллипса относительно осн Ок).
Итак, середины паралкелвнык корд эллипса лежат на прямой. Прямая, проходя<ноя через середины параллельных хорд эллипса, назызаетгя его диаметром. Все диаметры эллипса пр.кадят через центр. Обозначая угловой коэффициент диаметра эллнпса через йм имеем: Ь* а"й, ' (23) или Ь< йй,= — —. < (23') Условимся называть д<иметр эллипса сопряженным хордам, через середины которых он проходит. Условие (23) нлн (23') связывает между собой угловые коэффициенты пвраллелы<ых хорд н сопряженного им диаметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
