И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 13
Текст из файла (страница 13)
!'.слн же точка не лежит на данной прямой, то ее к<>ординаты этому уравнени>о удовлетворять не будут, так как в этом случае проекция соответству>ощсй ломаной на ось не булет равна р. Следовательно, уравнение (23) является уравнением данной прямой. Уравнение видз (23) называется нормальным уравнением прямой.
Заметим, что нормальное уравнение прямой «арактернзуется двумя особенностями: 1) свободный член его — р =О, 2) сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице соя* а+ з! и' а = 1. Как бы ни располагалась прямая относительно коордннзтны:< осей, ее уравнение всегда можно записать в нормальном виде. й 15. Приведеиве общего уравнения первой степени к нор- мальному виду. Пусть дано общее уравнение первой степени: Ах+ Ву+ С= О. (24) Покажем, что такое уравнение можно привести к нормальному виду. С этой целью помножим обе части уравнения на постоянный мно- житель М, подобрав его так, чтобы получилось уравнение вида (23). Уравнение (24) преоб>разуется к внлу> МАх+ МВу+МС=О.
(24') Чтобы уравнение (24') было вида, одинакового с уравнением (23), нужно положить: МА=со«а, МВ=з!па, МС= — р. (25) Из равенств (25) легко найдем неизвестные М, а и р выра- женными через известные коэффициенты А, В, С. В самом деле, возводя первые два из равенств (25) в квалрат и складывая, получим: М'А'+ М'В' = соз' а+ з!и' и = 1, [гл. !и 66 пгямля линия или М' (А'+ В*) = 1, откуда М =+ — = —. Умножая 1 1 Уз'+4' 5 М= (26) В формуле (26) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена С, как зто видно из последнего равенства (25).
Прн С=О знак можно выбрать произвольно. Подставляя найденное значение М в равенства (25), получим формулы для сова, а!па и р: А . В С сова= , з!п а=, р= . (25') — )гА'+В' ж У л'+В' У А'+В' Итак, уравнение (24) приводится к нормальному виду путем умножения его на множитель М, определяемый по формуле (26), Этот множитель М носит название морлгирующего множителя. Пример. Уравнение примой лнянн Зх — 4д — 5=О привести к нор.
мальному виду. Нормнруююлй множитель равен: на него данное уравнение, получим: 3 4 5 5 — х — — р- !=о. 3 4 Для данной прямой, следовательно, имеем: р= 1, сова= —, в)на= — — . 5 й 16. Расстояние от данной точки до данной прямой. Условимся называть отклонением данной точки от данной прямой число В, равное длине перпендикуляра, опущенного из втой точки на прямую, взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и со знаком минус, если оии лежат по одну сторону от прямой, т Лля точек, лежащих на прямой,отклонение равно нулю.
р Пусть даны прямая линия уравнением в нормальном виде х сов а+у айна — р = О (27) Я Х и точка А(х, у ). Найдем отклонение 1' 1 Р а! точки А от данной прямой, Рнс. 47. Рассмотрим ломаную линию ОТКР (рис. 47) н возьмем ее проекцию на ось !. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкюощего отрезка (гл. 1, 6 8), то пр ОКАКР= яр ОР= р, (28) 9 16) гдсстояпия от данной точки до длиной пгямой 67 С другой стороны, проекциа ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. 1, 9 8), т. е. пр О)7АКР=пр О77+пр ЙА+прАК+прКР. Следовательно, равенство (28) перепишется в виде: пр Ой+ пр ЙА+ пр АК+ цр КР= р.
(28') Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус углз между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. 1, 9 8), го яр ОК = х, соя ( — и) = х, соя а, и р !7А = у, соя ( —, — и ) = у, в! п а. Учитывая, кроне того, что пр АК= — г(, г!р КР=О, пр ОР=р и подставляя найденные значения в равенство (28'), будем иметь! х, соя а+ у, я! п а — г( = — р, откуда 4(=х соя ц У 51п Я Р. (29) 3 4 — — х-(-=р- й=ц 5 5 Отклонение равно: 3 4 т 3 а= — — "( — 1!+ — ! — 2= — — 2= —— 5 +5 Ь 5 Отрицательный анак для и прямой с гой же стороны, 3 )и(= — ° 5 указывает на то, что данная точка лежит от что и начало координат. Искомое рассгоянне ь + г Следовательно, чтобы получить отклонение точки А (х„у,) от данкой прямой, нужно а левую часть нормального уравнении этой прямой подставить вместо текущих координат коорДинаты олиной точки х, и у,.
Очевидно, расстояние точки от прл,иой есть абсолютная величина отклонения и вычисляется по формуле | г() = ! х, соя а+у, гип а — р(. (29') Пример. Найти расстояние от точки ( — 1, 1) до прямой Зх — 4э |- + !9=9. Приводим данное уравнение к нормальному виду, умножая его на яор. 1 1 мнруютнй множитель Лт = — = — =. Получим нормальное ураа- 9+! ь наине пряморл [гл. и! пгямяя линия ф 17, Уравнение прямой в полярной системе координат. Положение прямой линии на плоскости будет вполне определено, если задать се расстояние р от полюса 0 и угол а между полярной оськ! и осью 1, проходящей через !кщюс перпендикулярно к прямой (рис, 43).
ПолоМг'г. р) жительпым направлением оси 7 будем считать направление от пол!оса к данной прямой (если прямая проходит через по- Р люс, то положительное направление оси а 7 может быть выбрано произвольно). (7 Р Очевидно, все точки данной прямой линии, и только онн, обладают следующим свойством: проекция иа ось 7 отрезРис. 48. ка ОМ, проведенного из полюса 0 в точ- ку М прямой линии, равна р. Обозначая через г и ф координзты произвольной точки прямой линии, указан. ное свойство мы можем записать в виде гсов (ф — и) =р, Это и есть уравнение прямой линии в полярных координатах, Упражнения 1 Найти уравнение прямой, отсекаюшей на осн Оу отрезок, величина которого равна 5, и наклоненной к осн Ох под углом: а) 45'! 6) 60', в) 135'! г) 180".
2, Напнсагь уравнение прямой, наклоненной к оси Ох под углом в 30' н отгекаюпгей па осн Оу отрезок, величина которого равна — 3. 3. Найти уравнение прямой, прохоляшей через начало координат и наклоненной к оси О» пох углом: а) 45"; б) 135'1 в) 180'. 4. Прнвестгг к виду уравнений с угловым коаффнпнеитам уравнения прямых: а) х — у — 1=0; б) 4х — 2у+3=0; в) Зх+2у — 5=0; г! 2х+ 58 = 0; д) Зд — 7 = О.
5, Написать уравнение прямой, отсекаюшей на осях Ох и Ор отрезки. величины которых соответственно равны 3 и — 4. 6. Написать уравнения прямых а) Зх+2у — 6=0; б) К=бх — 3; в) р=х — 1; г) 2х — Зу+7= 0 в форме уравнений в отрезках. 7. Найти угол наклона примой х — у — 5=0 к оси Ох. 8. Построить прямые, определяемые уравнениями Зх — Зр+ 15=0, Зх+Зу=О, 2х+ 3=0, Зр — 7=0. я, Какое расгюложенне относительно осей координат имеют прямые, выражаемые уравнениями — + — = 1 — — — = 1, — — + — = 1, — —.
— — = 17 3 5 ' 3 5 ' 3 5 ' 3 5 69 УПРАЖНЕНИЯ 10. Лиагонали ромба, равные 8 и 6 единицам длины, приняты зв осв коорлииат. Найти уравнения сторон этого ромба. 11. Определить площадь треугольника, заключен|юге между осями координат и прямой 2х+5д — 20=0. 12. Най|и площадь треугольника, ограниченного прямыми у — 2=0, Зх — 2д+4=0, х — 2у — 7=0. 13. Какая зависимость должна быть между коэстувциептаыи а и Ь, х д чтобы прямая — + — =1 была наклонена к оси Ох под углом: а) 45'; Ь б) 60о.
в) !35 7 14. Исследовать, как расположены относительно осей координат слелующие прямые: а) х — 2у=О; б) х — 1=0; в) у+1==0; г) х — у=.=О; д) х+у=0; е) 5х=0,' ж) Зд=О; з) Зх+2у — 6=0. Построить эы! прямые. 15. Найти уравнение примой, проходящей через точку (2, 3) а наклоненной к оси абсцисс под углом в 45'. 16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2, — 3) параллельно прямой, соединяющей точки (1, 2) и ( — 1, — 5). 17. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1. 2) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки (4, 3) и ( — 2, !). 18. Ланы вершимы четырехугольника АВСВЕ А(2, 2), В(5, 1), С(3, 6), В(0, 3). Найти точку пересечения его диагоналей.
19, Вмчислнть угол между прямьшн: а) у= — х+2, д=Зх — 7; 1 2 б) у=Зх — 4, у=Зх+5; в) у = Зх — 1, у = — — х + 4', г) 2х + Зу — 1 = 0; 4х + 6у + 2 = (С 1 3 д) )г Зх — д — 1=О, РгЗх — Зд+ОхмО; е) —" — — =1, — — — =1; Г2 3 ' 25 !5 ж) 2х — у+5=0, х+Зу — 2=0; з) ах+3» — 1=0, х+2у=О; н) х+4у+3=0, 5у+ 7=0, х — д — 3=0, х — Зд — 4=0, 4х+2у+3=0 23. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с вершинами А(2, 1), В(3, 1), С(1, 2).
24. Ланы две вершины треугольника А(2, 2). В(3, О) и гочка пересечения его медиан 0 (3, 1). Йайти третью вершину С. 25. Найти уравнение прямой. которая проходит через неча:ю координат и а)параллельна прямой д=2х+3;б) перпендикулярна к прямой ухх — х — 1. 1 3 в) образует угол в 45' с црямой у = Зх +5. 20.
Найти угол между прямыми: Зх — 2д+7 = 0, 2х+Зу — 5=0. 21. Провести через точку (3, 3) прямые, составляющие углы в 45' г прямой 5х — 4у — 1 =0. 22. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого выражены уравнениями ПРЯМЛЯ ЛИНИЯ [гл. н! 26. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку ( — 2, 3) и а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе 1 координатного угла; в) параллельна прямой у= 4х — 7; г) образует угол в 60' с прямой у = 2х — 1; 1 д) перпендикулярна к прямой у= — х+В. 2 27, Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой 9=5х+1, восставленных в точках пересечения ее с осями координат, 28. Провести через точку пересечения прямых х — у — 3 = О, 2х+ + Зу — 11=0 прямую, параллельную прямой 5х — 4у — 17=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
