И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Так как это ') к, — х, Ф О, так как по услонню рассматриваемые хорды имеют угловой коэффициент й< н, следовательно, не параллельны оси Оу, элгчеитлгнкя теОРия конических се'гений [гл. гч условис (23) с,гщетрнчно относительно Ф, и ую т. с.
Яе мснястся после перестановки lг, и ум то отсюда закл1очаелк если дйачетр с угловым коэффициентом Ф, сопряжен хордам с угловым козффнииентом Ь„то и диамегр с угловым лозффнциептом Ь, сопряжен хордач с угловьщ коэффициентом йю Таким образом, мы получаем лару диаметры, из которых каждый делит каналам хорды, параллельные другами диачеагру (рнс.
61). Такие два диаметра эллипса назмвшотгн сопряженными между содой. Их угловые коэффициенты Ь, и Ье связаны условием (23) или (23'). Итак, у эллипса имеется бесчисленное множество пар сопряженных между собой диаметров'. каждому диаметру соответствует свой сопряженвый диаметр. В частности, оси координат (оси симметрии эллипса) представляют собой пару сопряженных диаметров. Зги два сопряженных между собой диаметра эллипса являются взаимно перпендикулярны.чи. Такие диаметры называют главными диаметрами эллипса. Из условия (23') следует, что угол между любой другой парой сопряженных между собой диаметров эллипса (Ь гг а) отличен от прямого. Если же Ь вЂ” а, т.
е. эллипс обращается в окружность, то условие (23') обращается в условие перпендикулярности: /г, Ь = — 1. Таким образом, л1обыс два сопряженных диаметра окружности йерпендикулярны между собой, т. е. всякий диаметр окружности есть главный диаметр (ось симметрии). Из услония (23) видно, что угловые коэффициенты Й, и Й, двух сопряженных диаметров эллипса имеют разные знаки, т.
е. диаметры проходят в смежных четвертях. При увеличении Ь,(Ф, ) 0) угловой коэффициент Ье по абсолютной величине уменьшается, т. е. алгебраически также увели~наестся. Эго показывает, что при вращении диаметра эллипса против часовой стрелки сопряженный с ним диаметр вращается в ту же сторону. П ример. Определить длину диаметра эллипса ха+ 2уг ж1. сопряженного диаметру, делящему пополам пйрвый координатный угол (длиной диаметра считают расстояние между точками пересечения его с кривой). Угловой коэффициент данного диаметра есть 1. Из условия (23) находим угловой ком[фициейг Ье диаметра, ему сопряженного: Ьз йе г 1 1 Здесь Ф,=1, а'=1, Ь'= †.
Следовательно, Ь,= — —. Уравнение этого 2 ' диаметра будет: 1 у = — — х. 2 Чтобы найти его длику, нужно определить точки его пересечения с эллипсом, для чего решим совлмстно уравнения эллипса и диаметра: 1 кз+2у*=! и у= — — х. 2 Подставляя в первое уравнение выражение у нз второго, найдем: /2 х'+ — х'=1, — ха=1, х'= —., откУда к=-1- 1гг — )г 3. Зная абсциссы точек пересечения, найдем их ординаты: $13! ДИАМЕТРЫ ГИПЕРВОЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ По формуле расстояния между двумя точками находим длину й искомого диаметра: откуда й 13.
Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры. Рассмотрим теперь гиперболу, отнесенную к ее осям симмегрин: уг — — — =1 а' Ь' и систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом й,(рис, бк). Производя вычисления, аналогичные проделанным для эллипса, найдем, по середвны этих хорд лежат па прямой, имеющей уравнение Ьт у= —,к, (25) агу, которое может быть получено из уравнения (22) заменой Ь' на — Ь', так как уравнение гиперболы отличается от уравнения эллипса лишь знаком при Ь'.
Точно так же середины хорд, параллельаых оси Оу, лежат на оси Ох. Следовательно, середины параллельных между собой корд гиперболы лежат па прямой. Эта прямая называется диаметром гиперболы. Итак, осе диаметры гиперболы суть прямые, поохсдягцие через центр, Обозначая угловой коэффициент диаметра гиперболы через Ь,, имеем: Ь' Ь, = †,„ , (26) атй,' или Ьэ Ьгйе = -э .
(26 ) Условимся называть диаметр гиперболы сопряженным хордам, через середины которых он проходит. Условие (26) или (26') Рис. 62. связывает между собой угловые коэффициенты параллельных хорд и сопряженного нм диаметра. Так как условие (26') симметрично относительно Ь, и йю то отсюда заключаем: если диаметр с угловым коэффициентом Ь, сопряжен хордам с угловым коэффициентом то диаметр с угловым коэффициентом Ь, сопряжен хордам с угловым коэффйциентом Ье Таким образом, мы получаем пару диаметров, из которых каждый делив пополам хорды, параллельньге другому диаметру (рис. 62). Такие деа диаметра гиперболе позыеаются сопряженными между собой.
Их угловые коэффициенты Ь, и Ь, связаны условием (26) или (26'). Итак. у гиперболы имеется бесчисленное множество пар сопряженных диаметров: каждому диаметру соответствует свой сопряженный диаметр, Оси координат (оси симметрии гиперболы) предстаеляют собой пару сопряженных и перпендикулярных диаметроо. Такие два диаметра называют емыпыми диамегпрами гиперболы. влементхиндя теогия конических сечений (гл. ш Из условия (26) видно, что угловые коэффициенты Ь, и Ь, двух сопряженных диаметров гиперболы имеют одинаковые знаки, т. е. дйзистры проходят Ь в одинаковых четвертях и лежат по разные стороны аснмптоты (если ! Ь, ! С вЂ”, ЬТ то )Аз!) — ~з один из них пересекает гиперболу в двух точках, а другой а/ гипеоболы не пересекает (рис.
63). С увеличеннел~ Ь,(Ь, ) О), как следует из условия (26)„ Ь„ оставаясь положительным, уменьшается. Зто показывает, что при вращении диаметра гипер- болы против часовой стрелки сопряжену пый с ним диаметр врапшется в обратную сторону„ т. е. по часовой стрелке. При этом, если угловой коэффициент Ь, одного из диаметров стремится Ь к †, то угловой коэффициент й, сопря- х Ь 0 женного диаметра тоже стремится н —, а' й !4. Лиаметры параболы.
Рассмотрим, наконец, параболу, заданную каноническим уравнением у'= 2рк, (27) Рис. 63. и возьмем систему параллельных между собой хорд с угловым коэффициентом Й. Выясним, как располагаются середины этих хорл. Обозначим концы любой из зтнх хорд через М>(хп у,), М,(х„ у,), а середину — через М (Х, )'). Так как точки М, н М, лежат на параболе, то нх координаты должны удовлетворять ее уравнению (27), т. с. у,' = 2рх„ (26) уз = 2рл,.
(26) С другой стороны, прямая линия М,М, имеет угловой коэффициент гг, что дает нам соотношение (гл. В!, 6 12) (36) х — х ' е Наконец, заметна, что точка М является серединой отрезха М,М„получим: 2 Я1) Г= —. 61+ Уз 2 (32) Исключим из пяти соотношений (28) — (32) четыре вспомогательные величины х„х„рп у,.
С этой целью. вычитая равенства (28) иэ равенства (29), найдем: у' — у', = 2р (х, — к, ). нлн (у, — УВ (У, + у,) = 2р (х, — к1). Внося в последнее равенство согласно (32) вместо суммы у, +у, еезначенне2Г, $151 кдслтсльнля сокращая на 2(х,— х,)'), получим окончательно Иу=р, откуда (так как Л ~ О) Л' (33) Таким образом, середины параллельных хорд параболы лежат иа прямой (34) й(ы предполагали, что рассматриваемые хорды не параллельны оси Оу.
Середины хорд, параллельнмх осн Оу, тозке лежат иа прямой — па оси Ох (так как ось Ох является осью симметрии параболы). Итак, середины параллельных хорд параболы лежат на прямой. Эта прямая называется диаметром параболы. Диаметр, проходящий через середины параллельных хорд данного яапраалеиия, условимся называть сопряженным хордам этого Рис.
64 направления. Как видно нз уравнения (34), асе диаметры нарабольз лараллельны осн Ох (оси симметрии параболы) (рнс. 64). Ось Ох (ось симметрии параболы), в отличае от остальных диаметров параболы, является диаметром, перпендикулярным к сопряженным ему хордам. Такой диаметр называют глалным диаметром параболы. Я 16. Касательная.
Рассмотрим точку М (»,, у„) па ко пнческом сечении (эллипсе, гиперболе или параболе) и проведем через нее секущую ММ, (рнс. 66). Эта секущая пересекает коническое сечение в двух точках: М и М,. Оставляя точку М неподвижной, заставим вторую точку пересечения М, неограниченно приближаться к точке М, следуя по коническому сечению. Пои этом секущая ММ, будет вращаться около точки М,и то предельное наложение, которое займет секущая, когда таил М, гольетгл а М, називагтсл касательной к коническому сечению в точке М. Точка М называется точкой прихаснозенил.
Уравнение касательной как прямой, проходящей через точку М(хм у,), будет (гл. 1К6 4 9) у — у,=й(х — х,), (36) где Л есть угловой козффипиеит касательной в точке М, подлежащий определению. Чтобы определить А, обозначим координаты точки М, через х,+Л, у„) 1; тогда угловой коэффипиент секущей ММ, как прямой, проходящей через две точки М (х„у,) и М, (х„+Л, у,+1), будет — (гл. Н1,5 12). Л ') х,— х, тб, так как рассматриваемые хорды имеют угловой коэффициент Л и, следовательно, не параллельны оси Оу. а вследствие (30) вместо разности у,— у, ес аырзжснке Л(х„— х,), мы прида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
