И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Обратно, пусть (АВС)=0, Тогда, если никакой из векторов не явлвется нулевым и никакие два из векторов не коллннеарны, А Х В и С должны быть перпендикулярны, так как нх скалярное произведение равно нулю, а так как, кроме того, Л Х В перпендикулярен к А и В, то векторы А, В, С компланарны. Следовательно, можно утверждать, что равенсглао (АВС) = 0 (35) есть необходимое и достаточное условие комплинарности векторов А, В, С. Отсюда, в частности, следует, что формулы (33), доказанные для нскомпланариых векторов, остаются справедливымн и в случае их компланарности. 1 Пример 1.
Показать, что объем треугольной пирамиды равен — абсоб лютной величины некгорно-скалярного произведения, составленного на трет еектороа-ребер, аыходаших нз одной вершины. В самом деле, объем треугольной пирамиды АВС1) можно рассматрнвть 1 как — объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС, АВ, как б на еб ах: Р Р обьем АВСВ = — 1(АВ АС А(З)).
6 П р н и е р 2. Раскрыть скобки а выражении ((А + В) (В + С) (С+ А)). Это ьыражгнне представляет 1(А+ В) Х(В+СИ (С+ А). Векторное произведение будет равно: А Х В + В Х в + А Х с + в Х с = А Х в + А Х с .( в Х с„ Умножая его скалярно на (С + А), получим: (АХ В)С+(АХ С) С+(В ХС)С+(АХ В) А+(АХС) А+(В ХС) А= = (А Х В) С+ (В Х С) А = (АВС) + (ВСА) = (АВС) + (АВС) = 2 (А ВС).
ф 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях. Обозна. чая через Х„ У„ Е, проекции вектора А, через Х„ г„ Л, проекции в.ктора В и через Х„ )г„ Е, проекции вектора С, найдем сначала (гл. зт ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГЕБРЫ (Хз 1', Е,~ (лвс)=~х, у, л,~, (36) т . е. векторно-скалярное произведение трех вектороэ, заданных своили проекцияли, равно определшнелю 3-го порядка, составлен- нолу из этих проекций. При этом следует помнить, что в 1-й, 2-й и З-й строках определителя пипзутся в обычном порядке про- екции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов.
Пользуясь формулой (36), мы видим, что условие (35), необходимое и доста- точное для колпланарности векторов А (Х„ры лз ), В (Х„ую .3,), С(хю У„.Р,), запишется в виде: Х, )з,Л, (37) П р н м е р 1. Вычисли. ь (АВС), если А (3, 4, 2), В ) 3, 5, — ! ), С (2, 3, 5). Пользуясь формулой (36), находим: )34 2 (АВС)= 3 5 — 1 = !4.
23 5 П р н и е р 2. Вывестн условие того, чтобы четыре точки Л (х„у„;,), В(хз. Уз гз) С(хз уз. гз). Р(хз, уз, г,), гежвлн в одной плоскости. Искомое условие равносвльно условию компланврностн векторов Л В, з)С, АР и, следовательно, согласно формуле (37) может быть записано в впле: ! х, — х, у, — у, г, — г, хз — хз уз — уз г, - г, = О. хз — х, Уз — У, гз — г, проекции векторного произведения А ~~б В.
Согласно формуле (30) эти проекции будут: йй1 йй Й::! Зная теперь проекции первого сомножителя А;гс'В и проекции Х„ 1'„лз второго сомножителя С, найдем по форлзуле (15) их скалярное произведение: (лвс) = (л х в) с = х, ~ ~~ ~~ ~+ у, ~ ~~ ~+ 3, ~ Но правая часть этого равенства есть нс что иное, как разложснпс определителя третьего порндка г, л, по элементам последней горизонтали.
Итак, окончательно мы будем иметь! $16) двойноя ввктогнок пгоизведвнив Пример 3. При тех же обозначениях, что н в примере 2, объем треугольной пирамиды АВСО выражается формулой ~ х, — х, у, — у, г, — г, х, — х, у — у, г — г, В самом деле, согласно примеру 1 иа $ !4 мы имеем: У= 6 ~(.4В АС АВ) (. Так как векторы АВ, АС, АО имеет соответственно проекции х, — х„ У, — Ун г, — гб х, — хь У, — У„ г, — г,; х, — х„ У, — У„ г — г„ то находим: $1 л 1 л 1 х — х у — у г — г 6 х, — х, ул — у, г, — г, где знак берется одинаковый со знаком определителя.
й 16. Двойное векторное произведение. Мы рассмотрели векторно-скалярное произведение; теперь перейдем к векторно-векторному произведению (А тт' В)х', С. В первом случае мы получили прекрасное геометрическое истолкование произведения; здесь жс мы дадим формулу, значительно облегчалощу!о вычисление. Эта формула имеет вид: (А б В) ~ С=В(АС) — А(ВС). (ЗЗ) Обозначал! искомый результат через Р, найдем его проекции Р„, Р, Р,.
С этой целью сначала определяем проекции вектора А лс' В н получаем по формуле (ЗО): (А ~ В) АхВг АхВ (А ~ В) АгВх А В Далее, применяя ту я<с формулу (ЗО), находит!: Р,=(А~(В) С,— (А ~(В),С = =(А,„— А„В'! С вЂ” (А  — А В '! С„= =В„(А С +А С ) — А„(В С +В,С ). Прибавив и вычтя по А„„ф, получим: Рх = Вх(АхСх+ АхСу+ АгСг) Ах(В»С + ВуС + ВхСл) ° Более кратко последнее выражение запишется так; Рх =х В„(АС) — А„(ВС), 192 элементы ВектОРной алгееРы [Гл. п Аналогичные формулы получаются и лля двух других проекций: О =В (АС) — А,(ВС), О,=В,(АС) — А,(ВС).
Зная проекции вектора Р, пишем сальный вектор Р: О=О„1+,() [+В,(с. Внося вместо О», В, О, только что полученные значения, имеем: Р = (В„1+ В,)+ В,(с) (АС) — (Ав1+ А,[+ Л,й) (ВС), или Р = В (АС) — А (ВС). Заменяя, наконец, Р его значением, найдем требуемую формулу (38). Заметим, что в двойном векторном произведении весьма важно различать порядок перегтюжения. Так, например, вычисляя А )((В )( С), мы получим совершенно другой вектор, а именно: Ар,(В ~(С)= — (В К С) )(А=(С)(В) к,А=В(АС) — С(АВ). Итак, получается формула А Х (В Х С) = В (АС) — С (АВ).
(39) Из сопоставления формул (38) и (39) можно вывести следуюпьее правило для запоминании рззложения двойного векторного проязведення: двойное векторное произведениг равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, .яанус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других, При круговой перестановке векторов А, В, С формула (38) при. водит к трем разным векторам: (АХ В) КС=В(АС) — А(ВС), (В ~( С) ~( А = С (ВА) — В (СА), (С)(А) ~(В=А(СВ) — С(АВ).
Складывая вместе эти три равенства, получиь1 тождество (АХВ)ХС+(ВХС)ХА+(СХА) ХВ=О. (4О) Одно из применений формулы (39) состоит в выводе разложения данного вектора В на две колгпонентн, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору А. В самом деле, положив в формуле (39) С=А, найдем: АХ(В ХА)=В(АА) — А(АВ)=В(А') — А(АВ). Решая это уравнение относительно В, получим: В= еь А+ль [Ач;(ВХА)1 (41) 193 упРАжнения Первый нз слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен вектору А, а второй перпесрдирсулярен к нему, Формула (41) для разложения упрощается, если А есть единичный вектор.
Тогда А=1 и формула (41) примет вид: В = (АВ) А+ А Х (В Х А). (42) Мы разобрали лва случая произведений трех векторов; опи играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего числа векторов могут быть сведены к низшим произведениям. Пример !.
Показать, что если а [ Ь, то аХ «аХ[а Х(а Х ЬЦ[ =аЬ. В самом деле". а Х ( а Х Ь) == а ( ай) — Ь (а а) = — Ьаэ. р'мпожзя векторно слева на а, получвм: а Х [а Х (а Х ЬЦ = — а' (а Х Ь) = а' (Ь Х а). Повторяя ту же операпжо, найдем.' а Х «аХ[аХ(а ХЬЦ[=а' [а Х(Ь ХаЦ=а Ь(аа) — а а(аЬ) =и Ь, что и нужно. Чнтагелю рекомендуется проверить этот резулызт геометрически. П р нмео е.
Вы~ислиэь (аХ Ь) (с Хбр Обозначая временно (с Х б) = е, произведем в векторно-скалярном прояз- всдении (а Х Ь) е перестановку; тогда получим: (а Х Ь) (с Х б) = (а Х Ь) е = в (Ь Х е) = а [Ь Х (с Х бЦ = = а [с (Ьб) — д (ЬсЦ = (ас) (Ьб) — (аб) (Ьс), )ас аб[ (а Х Ь)(с Х б) ~ Ь ~Ьс В частности, при д = а найдем: (а Х Ь) (а Х с) = а' (Ьс) — (аЬ) (ас).
Упражнении 1. Ланы две прямоугольные декартовы системы координат с одинаковыми направлениями асей. Радиус-вектор нового начала координат гр «а, Ь, с[. Найти зависимость между радиусами-векторами г «х, у, е[ и г, «хь у, х,« произвольной точки относительно старой и новой систем. Е". Ланы дее прямоугольные декартовы системы координат с общим началом. Найти выражения координат х, у, г произвольной точки етносительно старой системы через координатй х„ уь г, той же точки в новой системе. 3. Найти Формулы нреобраэоввния прямоугольных декартовых координат в общем случае. 4.
Локзээть, что если днз~ опали четырехугольника делят друг у п подам, то чсрырсхугольннк речь пзрэллелограмм. б. Найти чадиу"-век:ор дочки пересечения медиан тр угольника, веошнны эогорого эгшаны векторами г„г„г,. Выразить также агвет в коорлнпашх, 194 »гл. ц элементы вектогной ялгевны 6. Найти радиус-вектор, а также координаты центра тяжести системы трех материальных точек М„ М„ М„ в которых сосредоточены массы т„ /из, тм 7. Доказать перпепдикулярность векторов А»3, 2, 1» н В»2, — 3, 0». 8. Найти длину и направленно вектора А »1, 1, 1».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
