И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Когда точка М с коордннатючн х, у, з движется по плоскости, то ее координаты меняются так, что зсе время связаны некоторым условием. Посмотрим, каково это условие. Постронм на рис. 1!1 координатную лол~ан)то линию ОРЗЧ произвольной точки М плоскости. Возьмем проекцию этой ломаной на ось!. Заметив, по проекция ломаной равна проекции ее замыкаюпге~о отрезка (гл. 1, й 3), будем иметь: пр ОРВМ=пр ОМ =р. (3) С другой стороны, известно, что проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев (гл. 1, $3)! следовательно, равенство (3) перепишется так: пр ОР+ пр РЗ+ пр ЯМ = — р.
!4) й 2) пгивтдепив овщвго угьвнения плоскости к поемьльпому виду 203 Так как проекция отрезка равна его величине, умноженной па косинус угла между асыа проекций н осью, на которой лежит отрезок (гл. 1, 4 3), та пр Ор=хсази, пр Ра=усазб, прЮМ=э сазу. Подставляя этн значения в равенства (4), получим: х саз и+ у саз () + г саэ у = р, нлн х саэ а+ у с аз () + г саз т — р = О. (2) Как уже указывьласьь уравнение (2) выражает собой условие, при котором точка М (х, у, г) лежит на данной плоскости, н называется нормальным уравнением этой плоскости. Получьнцае уравнение (2) — первой степени относительно х, у, е, т. е. всякая плоскость может белль лреоставяена уравнениеи первой степени относшпеяьно ткущих координат.
2 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой стедеви д нормальному виду. В предыдущем параграфе было доказано, что всякая плоскость ыожет быть представлена уравнением первой степени. Теперь докажем обрзтную теорему: всякое уравнение лероой степени лвевкду лзрелзя лерелгенныжи определяет плоскость. Возьмем уравнение первой степени общего вида: Ах+ Ву+ Сг+ О=О.
(5) Будем рассматривать А, В и С как проекции на оси координат Ох, Оу и Ог некоторого постоянного вектора и, а х, у и х как про- екции радиуса-вектора г точки М. Тогда уравнение (5) может быть переписано в векторной форме следующим образом (гл. 1, $9)ь гп + Е) = О. (5') Покажем, что урапнецие (5') может быть приведено к нормальному виду (1'), Рассмотрим следующие случаи: 1) Пусть Ок. О. Тогда разделим уравнение (5') на модуль вектора и, т.
е. нз л. Получим: гп + — =О, так как — =и . Обозначив отрицательное число — через — р, гле п ь 0 и и р положительно, будем иметь нормальное уравнение гп" — р=О. 2) Если .0 .ь О, то разделим уравнение (5') па ( — и), после чего оно примет внд г ( — и ) — — = О. ь и )з Обозначив же положительное число — через р получим нори В мальное уравнение. 204 (гл. пг плоскость 3) Если г)=О, то уравнение (5') можно раздедить как на и, так н на ( — и), В первом случае мы получим гп'=О, а во втором г( — п')=О.
Каждое из них является нормальным уравнением вида (!'). Таким образом, уравнение (5') всегда может быть приведено к нормальному виду (1'). Но нормалыюе уравнение определяет плоскость. Следовательно, уравнение (5'), а значит, и исходное уравнение (5), определяет плоскость. Таким образом, теорема доказана. Уравнение (5) называется обгцим уравнением плоскости, Условимся всякий вектор, отличный от нулевого, перпендикулярный к плоскости, называть нормальным вектором п.тоскости. Тогда, очевидно, вектор п (А, В, С) будет одним нз нормальных векторов плоскости.
Таким образои, коэффициенты А, В, С при текущих координатах в урзвнении (5) имеют простой геометрический смысл: онн являются проекциями нормального вектора на координатные осн. Свободный член с) непосредственного геометрнчсского смысла не имеет, но его абсолютная величина, разделенная на длину и нормального вектора п, равна расстоянию плоскости от начала координат. Легко усмотреть, что нормзльнос уравнение плоскости в координатной форме (2) есть частный случай общего уравнения (5). Это— тот случай, когда за нормальный к плоскости вектор выбран елнничный вектор, направленный из начала координат перпендикулярно к данной плоскости. Из предыдущего мы усмзтриваем способ приведения уравнения (5) или (5') к нормальному виду (2) или (!').
Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, надо его разделить на длину вектора п(А, В, С), взяв ее со знаком + или —, смотря по тому, будет ли свободный член Л отрицательным или положительным. Иными словами, для приведения общего уравнения (5) первой степени к нормальному виду нужно умножить его на множитель М =+. 1 У А'+ В'+ Сь ' (6) в совпадает с нормальным уравнением (2). Сяеловательно, имеем: МА=сова, МВ=созр, МС=созу, МО= — р, (1) причем знак множителя следует взять противоположным зяаку свободного члена с) в уравнении (5) (при О=О знак множителя выбирается произвольно), Этот множитеть М носит назвзнне нормирующего множителя. После умножения на М уравнение (5) принимает вид: МАк+ МВу + МСз + Мс) = 0 9 2) пгиведкник овгцвго увлвнкния плоскости к ногмлльному виду 205 Подставив найденное по формуле (6) значение Л в последние равенства, получим формулы для соз а, соз р, соз у и р: соз а =+- —, соз р = 4- А В Г'Аз+В'+Сз' У А'+ Вз-)-Сч С вЂ” О (8) соз у =-+- 1 г-).
г-';г ' ГЭВ'~-в В этих формулах (8) надо брать верхние знаки, если 0(0(М .э0), и нижние в противном случае. 3 ам е ч а н и е 1. Установить геометрический смысл уравнения первой степени, а также найти правило приведения общего уравнения к нормальному виду, можно не прибегая к векторному методу. Отправляясь от уравнения первой степени общего вида (5), спросим себя, каково геометрическое м;сто тех точек пространства, координаты которых х, у, г удовлетворяют нашему > равнениюг )>>ы г окажем, что искомое геометрическое место точек будет плоскость.
С этой целью умножим наше уравнение на постоянный множитель М, подобрав его так, чтобы получилось нормальное уравнение, т. е. уравнение вида (2). Уравнение (5) преобразуется к виду МАх+ МВу+ МСг+ М)> = О. (9) Чтобы уравнение (9) было вида, одинакового с уравнением (2), нужно положить МА=сова, МВ=соа8, МС=созу, М1>= — р. (10) Из равенств (1О) легко найдем неизвестные М, а, 6, у и р выраженными через известные коэффициенты А, В, С, )>, если воспользуемся вспомогательныы равенством соз' а + соз' 8+ соз'у = 1 (ч, 2, гл.
1, 6 4). Рейс>вительно, возводя в квадрат первые три из равенств (10) и складывая, найдем: М'А'+ М'В'+ М*С*= сов'а+ соз'()-(- соз'у = 1, илп М*(А*+В +С*)=1, откуда 1 М=-~- (6) ггАз+ В'+ С' В формуле (6) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена, как это видно нз последнего равенства (!О).
подставив найденное значение л! э равенства (10), получим формулы (6) для соза, соз 8, сову и р. Итак, уравнение (5) приводится к нормальному виду путем умножения его на множитель М, определяемый по формуле (6). Этот множитель М носит название норлирующего лножитгяя. Так как нормальное уравнение определяет, как мы видели в предыдущем параграфе, плоскостгн то отсюда следует, что и общее уравнение (5) определяет ляоскоань. Итак всяявв уравнение первой <тглгни мвлгду х, у, г олргдгялет нявгквгть как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовчетзоржот этому уравнение.
Зал>е ча вне 2. Если два уравнения определяют одну п ту же нлоскосггы то соответствующие коэффициенты их пропорциональны. [гл. втг 206 плоскость Действительно, будучи приведены к нормальному виду, оба вти уравнения перейдут в одно и то же нормальное уравнение. Коэффициенты каждого из них пропорционзльны соответствующим коэффициентам итого нормального уравнения, а потому пропорпиональиы и между собой. Пример. Уравнение плоскости х — 2у+2г — 3=0 привести к нормальному виду.
Нормирующий множитель будет: 1 1 М=+ У)в+( — 2Р+ 2.= 3 ' умножая на него данное уравнение, получим; 1 2 2 — х — — у+ — г — 1=0. 3 3 3 Для данной плоскости, следовательно, имеем: 1 2 2 сова= —, совр= — —, сову= —, р=1, 3' 3' 3' й 3. Исследование общего уравнения плоскости. Посмотрим, какое положение относительно осей координат занимает плоскость, заданная уравнением Ах+ Ву+ Сл+.0 = О, (12) если некоторые козффипиенты втого уравнения обращаются в нуль. Если О=О, то уравнению (12) удовлетворяют х=у=я=О, т.
е. координаты начала; таким образом, плоскость проходит через начало координат. Если С=О, то уравнение (12) будет: Ах+ Ву + В = О. (12') Рассматривая зто уравнение на плоскости хОу, мы будем иметь прямую линию. Рассматривзя же уравнение (12') в пространстве, мы будем иметь геометрическое место тех точек, которые проектируются на плоскость хОу в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (12') определяет плоскость, параллельную оси Ох ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
