И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Аналогично, если В= О, то уравнение Ах+ Сг+О= О определяет плоскость, параллельную оси Оу, и, наконец, если А= О, то уравнение Ву + Сх + В = О определяет плоскость, параллельную оси Ох. Вообще, если в урав- ') Тот жс вывод л~ы получим сразу, если припомним, что А, В и С являются проскниями нормального к данной плоскости вектора, Если С=О, то этот вектор перпендикулярен к оси Ог, а зто значит, что сама плоскость параллельна осн Ож 207 $4] телвнвния плоскости в отгезклх пении плоскости отсутствует координата л, у или х, то плоскость параллельна соответственно оси Ог, Оу нли Ох. Допустим теперь, что два коэффициента равны путно, например О=С=О. Уравнение Ах+ ВУ= О определяет плоскость, проходящую через начало координат параллельно осн Ог, т.
е. это будет плоскость, проходящая через ось Ож Аналогично уравнение вида Ах+Ся=О определяет плоскость, проходящую через ось Оу, а уравнение Ву+Сг= О опрелеляет плоскость, проходящую через ось Ох. Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, иаприиер А =В=О, то уравнение Сл+В=О определяет плоскость, параллельную оси Ох и осн Оу, т. е.
плоскость, параллельную плоскости координат лОу. Также уравнения Ву-'С 0=0 и Ах +,0= 0 определяют плоскости, парал- г лельные соответственно плоскостям координат хОя н уОг. Если, наконец, три коэффициента равны нулю, например В=-С=О=О, то уравнение Ах= 0 нли к=О определяет плоскость координат уОж У Также уравнения Ву=О и Сг=О определиют соответственно плоскости координат хОл и хОу. ф 4. Уравнение плоскости в отрез- Ряс. 112.
ках, Рассмотрим плоскость, пересекающую нсе сри координатные осн и не проходящую через начало координат. Уравнение втой плоскости можно запнсагь в виде Ах + Ву + Сг + О = О, (13) где ни олин из коэффициентов А, В, С, О не равен нулю. Обозначим через а, Ь, с величины отрезков, отсекаемых плоскостью иа осях координат (рнс, 112). Так как точка Р(а, О, 0) лежит на плоскости, то се координаты удовлетворяют уравнению (!3): Ай+О= О, 208 1гл. гч плоскость 0 А= — —. а Наконец, координаты точки й(0, О, с) удовлетворяют уравнению(13): Се+В=О, нли С= —— 0 (14") Подставляя значении А, В и С из равенств (14), (14'), (14") в урав- нение (13) плоскости, получим: — х) — — сУ вЂ” — Π— +в= О.
х у г а Ь с Сокрангая на О, которое в силу предположения не равно нулю, найдем: к у г — — — — — +)=О Ь с+ вли — +У+ — =1, Ь (15) Это и есть искомое уравнение илоскослги в олкрвзках. Пример. Уравнение плоскости Зх — 4у+г — 5=0 написать встреаках. Полагая в данном уравнении у= г=о, найдем величину а: 5 Ь Зх — 5=0, откуда х= —, т. е. а= —, 3' 3' Аналогично, полагая х=г=О. найдем величину Ьк 5 5 — 4у — 5=0, откуда ухм — —, т. е. Ь= — — ' 4 ' Наковсп, полагая х=у=о, найдем величину вк г — 5=0, откуда г=5, т.
е. с=5, Следователю о. уравнение плоскости в стреаках будет: Х у 2 — + — + — =1. 5 5 5 3 4 Аналогично координаты точки Я(0, Ь, 0) должны удовлетворить уравнению (13), что дает: вь-(-в=о, или В= — —. ь ' (14') й 5) эглвнвнив плоскости, пгохоляиай чагвз данило то>ку 20>й й 5. Уравпение плоскости, проходящей через данную точку. Пусть требуется найти уравнение плоскости, проходлп>сй через точку М„ залаппую радиусом-вектором г,(х„ у„ г,). Возьмем лю бой вектор п (А, В, С~ ~ О и найдем уравнение плоскости, проходящей через точку М, перпендикулярно к пспу. Обозначим эту плоскость через Р (рпс.
11В). Прппсдсм радиус-вектор г(х, у, г) в любую >очку М плоскости, Тогда вектор Л1,Л илн г — г„как лежащий в плос>гости Р, Г>улет перпендикулярен к вектору п, Поэтому пх скаляр- ное произведение раино нулю п (г — г,) = О. (16) рн Это равенство есть условие того, что точка М лежит в плоскости Р, Оио справедливо для всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка М окажется вне плоскости Р.
Равенство (16) есть векторное уравнение плоскости Р, Выражая скалярное произвеление векторов через нх нроекшщ, получим уравнение той же плоскости в координатной форме А (х — х,)+ В(у — у,)+ С(г — г,) = О, (1Т) Как видно из вывода, вектор и, а потону и его проекции А, В и С совершенно произвольны (но, конечно, мы исключаем слу щй А=В=С=О, так как п-йО), Изменяя значения А, В и С, мы будем получать различные пло- скости, проходящие через данную точку М,.
Таким образом, урав- нение (17) при любых значениях коэффициентов А, В и С выражает плоскость, проходящую через данную точку. 3 я не я я н не. Уравнение плоскости, проходящей чепеэ данную точку, можно вывести, не пользуясь векторным методом. Пусть нужно найти уравп>- ние плоскости, проходящей через точку М,(х,, у„ г,). Возьмем искомое урал. пение в виде Ах+ Ву+ Сг+ 0= О. Так ках по условию искомая плоскость проходит через гпчпу М, (хп у>, г,), то координаты этой точки должны удовлетворить этому урапнеяй>о. Отс>пдп получаем условие; Ах, + Ву, + Сг, + В = О.
Вычитал э>п тождество пэ первоначального уравнения. получаем искомое урви пеппе: А (х — к,) + В (У вЂ” У,) + С (г — гм = О, (17) 8 М. М пяия>яоп (гл. тч 218 плоскость где А, В и С произвольны. Изменяя любым способом нх значения, мы булем получать разные плоскости. Но все опи будут проходить через точку М, (х„у„г,). в чем легко убедиться также непосредственно подстановкой координат атой точки в уравнение (17).
Оно будет обращаться в тождество независимо от значений коэффициентов. Таким образом, уравнение (17) прн любых значениях коэффициентов А, В и С (кроме случая А = В =С= О) гыражает плоскость, проходящую через данную точку М,(г„ ум «1). П р и и е р. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 2, 3).
Уравнение нскомой плоскостн будет: А (г — 1) + В (у — 2) + С (г — 3) = О. 8 б. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Пусть нужно найти уравнение плоскости, прохолящей через три данные точки, пе лежащие па одной прямой. Обозначая их раднусывекторы через г„г, и г„а тскущий радиус-вектор через г, мы легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом деле, векторы г — г„ г, — г, и г, — г, должны быть компланаряы (они все лежат в искомой плоскости). Следовательно, вскторно-скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю: (18) (г — г,) (г, — г,) (г, — г,) = О.
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки г„ г„ г, в векторной форме. Г!среходя к коордннатзм, получим уравнение в координатах; ! х — х, у — у, х — х у х,— х, у,— у, г — « ! « — « 3 3 « — « ° ° (18') где г(х, у, «), г,(х„у„«,), г,(х„у„«,), г,(х,„у„«,). Если бы три данные ~очки лежали на одной прямой, то векторы г,— г, и г,— г, бьщи бы коллннсарны. Поэтому соответствующие элементы двух последних строк определителя, стоящего в уравнении (18'), были бы пропорциональны и определитель тождественно равен нулю. Следовательно, уравнение (18') обращалось бы в тождество при л~вбых значениях х, у и «.
Геометрически это значит, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат н три данные точки. А (х — х,)+В(у — д,)+С(г — гД=О. (17) Замечание 1. Эту же задачу можно решить, не пользуясьвекторамн. Обозначая координаты трех данных точек соответственно через г„у„г,, г„ум г, н х„ум г„напашем уравненне любой плоскости, проходящен через первую точку: % б) эпавнвннв плоскости, пгоходящвй чвгвз тги данные точки 211 (! 9') 2А+2В+ЗС=О н 2А — 2 — 2С=О, или А В 2 — — 2 —, — 2 = О. С 2 — +2 —,+3=0; А, В С С Складывая второе уравнение с первым.
найдем; Л А 1 4 — + 1=0, откуда С ' С 4' Подставляя во второе уравнение, получим: В о С 4 ' Итак, А:В;С= 1:5:( — 4). Подссавляя в уравнение (17') вместо А. В, С соответственно 1, 5, — 4 (насда, иы пропорциональные), получим: (х — 1)+ 3 (у — 2) — 4(г — 3) =О, и 1и х + 5у — 4г + 1 = О. П р н и е р 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (0,0,0),(1, 1,1),(2,2,2). Уравнение любой плоскости, проходящей через точку (О, О, 0), будет! Ах+ Ву+ Сг =О. Условия прохождения этой плоскости, через точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) суть; А+В+С=О и 2А+2В+2С= О.
Сокращая второе уравнение на 2, видим. что для определения двук нензве. А В стныя отношений —, и —. имеет одно уравнение С С вЂ” -(- — + ! =о. А В С С А В Отсюда получим —,= — — — 1. Подставлня теперь в уравнение плоскости С С Л В А С С ' С х+ — у+г=О вместо —, его значение, найдем: В т  — — — 1у! х+ — у+г=О С ~ С Чтобы получить уравнение исколюй плоскости, нужно потребовать, чтобы уравнена (17) удовлетворялось координатами двух других точек: А (х, — х )+ В(у,— у )+С(г, — г )=О, А (х, — х,) + В (у, — у,) + С (г, — г,) = О.
(19) Из уравнекий (19) нужно определить отношения двух коэффициентов к трстьсчу и внести найденные значения в уранн ние (!7). П р и м е р !. Состзвить уравпение плоскости, проходящей через точки (1, 2, 3), ( — 1, О, 0) н (3, О, !). Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет: А (х — И + В (у — 2) + С (г — 3) = О, (! 7') Условия прохождения плоскости (17') через две друтие точки н первую точку суть: 212 (гл, <ч плоскость нли (В+С) х — Ву — Сгк— в О.
Эш и есть уравнение искомой плоскости; оно зависит от произвольных В < количеств В, С ( а именно, от отношения — 1, т, е. имеется бесчисленное С /' множество плоскостей, проходящих через три данные точки (три данные точки лежат на ошюй прямой линни). 3 ам е ч а н и е 2. Задача о проведении плоскости через три данные точки. не лежащие па одной прямой, легко решается в общем виде, если восполь. зоваться определителями. Действительно, так как в уравнениях (17) и (!9) коэффициенты А, В, С ие могут быть одновременно равны нулю, то, рассмат- ривая эти уравнения как однородную систему с тремя неизвестными А, В, С, пишем необходимое и достаточное условие существования решения этой системы, отличного от пулевого (ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
