И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Привести иаионические уравнения прямой к — ! у г к уравнениям в проекциях на плоскости хОг и уОг. Данные уравнения переписываем в виде к — 1 г у г 2 = — 1' 3' Находя теперь векторное произведение векторов »2, -3, 1» и »3, 1, — 2,', получаем напраз:жющий вектор прямой »5, 7, 11». Поэтому канонические уравнения будут: х — 2 д г — ! о 7 11 3 а м е ч а н и е. От общих уравнений прямой вида (7) можно перейти к каноническим, и не прибегая к векторному методу. Поедварительно остановимся несколько подробнее на уравнениях (6)~ х — о г — с у — Ь г с гп Р ' и Р Выразим ич цих х и у через г. Тогда получиьи к = Мг + х„у = Уг + у„ 228 (гл.
у пвямзя линия Решая первое из этих уравкепий относительно х, а второе относительно р, найдем искомые уравнения в проекциях: х= — 2г+ 1, у= — Зг. П р и м е р 3. Привести уравнения в пооскциях х=Зг — 2, у=2г+1 к каноническому инду.
Решая данные уравнения относительно г, получим: х + 2 р — ! г= —, г= —,—. 3 ' = г х+2 р — 1 г 3 2 Т П р и ме р 4. Принести уравнения в проекциях р= — 2, г=Зх — 1 к каноническому виду. Переписав систему ураввепнй в виде у=О х — 2, г=Зх — 1, вандеи х у-)-2 г+1 1 0 3 Прим е р 5.
Привести уравнения прямой 2х+р — г+1=0, Зх — у+2г — 3=0 к каноническому виду. Решая данные уравнения относительно х и у, найдем уравнения в проекциях 1 2 7 9 х=- — — г+ —, и= — г — —. 5 +5' 5 5' Выражаем из этих уравнений г: 2 х —— 5 г=— ! 5 и получаем канонические уравнения 2 х —— 5 1 5 7 1 5 уравнения в проекцвях можно получить и из общих уравнений прямой (7), решая общие уравнения относительно каких-нибудь двух координат, например х и д; если прямая параллельна плоскости хОЯ, то привести уравнения (7) к уравнениям (6) не удастся, но тогда ьюжно привести уравнения (7) к уравнениям в проекциях йа другую пару координатных плоскостей.
Если требуется общие уравнения прямой привести к каноническим, то можно предварительно перейти к уравнениям в проекциях. $41 условия иаэлллвльиости и иггигиджквлягиости 229 Умножая каждый иэ иаправлжощкх коэф,)л>элеатов иэ — 5, получим более простой вид канонических уравцеикй: 2, Р о ' 5 э 1 — 7 — 5' ф 8. Угол менсду двумя прямыми линиями. Углоа между пряхи>ми в ир,>страистие будем называть л>ооой из углов, образоваииых двумя ирк>и»ми, ировсдсииыми через произвольи>по точку >щраллсльпо дцииыч, ! !ри эгтп> мы услошгмск бра>ь угол в границах от О до и, если ие сделано доиолиительцых указзиий. Пус.гь ур:>висицв двух прямых линий суть: х — а, у — Ь а — с, х — а, у — Ь> г — с, > ! > >л, я, р> ' и>, я, р, Очевидце, за угол <р между ними мглкио приьчпь угол между их иаиравляющими вскторами (л>„по»,) и (ж„п>, р,) или угол, доиолия>витий его до и.
!1оэтому ио формуле (!7>1 9 !О гл. 11 имеем: соз >р =->- >о>я>, + я,пэ + у>у> с>', + л,'+ р", . '~l т', + л,'+ у„ (8) В формуле (8) можио ставить л>сбой знак, что соответствует выбору одного из двух различных углов между даииь>ми прямыми. Пример. Найти угол между прямыми х-1 у е+3 х у+2 х 1 — 4 1 2 — 2 — 1' Дкя первой прямой направляющие коэффициенты будут: к>> = 1, л,= — 4 р,=!, а для второй: л>>=2, и,= — 2, у,= — 1.
Следовательно; 1.2+( — 4) ( — 2)+1 [ — 1) 1 соэ ф уг!'+ ( — 4)'+ 1' ° У 2'+( — 2)'+ ( — 1)' ) 2 откуда и 5и 4> — — кли ф — —. 9 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, В случае периеидикуляриости прямых сов гр = — О, и из формулы (8) получаем искомос условие гл>п>, + п,п, +р,р, =О (условие перпендикуляр>эоапи). (9) 3 а м с ч а и не. Это условие получится сразу, если заметим, чт, скалЯРиое оРоизвслсиис вектоРов (п>ы п„Р,) и 1>п>„п„, У„) Долило быть равно иул>о. [гл.
ч пРямАя линия Так как направление прямой определяется отношениями лг:и:р, то условие параллельности двух прямых будет: и! л! р! — = — = — (условие параЛлельности). и, л, р, Замечание. Это условие ыо!!гио получить, заметив, что век- торы (гл„п„р,) и (т„п„рг) коллипеарпы. 3 а л а ч а. Сосо!авил!в уравнения прямой линии, проходяи(ей через данную гподсу (а, Ь, с) параллельно прямой х — а, ч — Ь, г — с, в! л р Г!усть уравнения искомой прямой будут: г — а у — Ь г — с м !ч р (б) Так как вта щиц!ая параллельна данной прямой, то должно вы- полняться условие их параллельности: л! !ч р и л р откуда можно взять М=лг, 1!!'=и, Р=р.
Следовательно, уравнения искомой прямой суть: (10) х,— х„у,— у, и г,— г,. Уравнения искомой прямой примут вид: х — х! у — у! г — 2! (11) х, — х, у, — у, г, — г, 3 а и е ч а н и е. Можно вывести (!!) и бег применения векторного метода. Уравнения прямой, проходящей через М,(х„уо г,), будут х — х, у — у, г — г, и л Р х,— х, у,— у, г,— г, Так как точка М,(хн у„г,) лежит на прямой, то — ' х — а у Ь 2 †и л р й б.
Уравиеивя прямой, проходящей через две днниые точки. Пусть нужно найти уравнения прямой, проходящей через точки М,,(х„ у„ г,) и М,(х„ у„ г,). Будем искать вти уравнения в канонической форме. Для решения задачи дос~аточно знать координаты одной нз точек, лежащих иа втой примой, и направляющий вектор. За такую точку можно принять любую из двух данных. Возьмем, например, М,(х„у„г,). За направляющий же вектор прямой примем вектор М,М,. Проекциями его на координатные оси будут: 7) УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРПОСТИ 231 х=и=г.
й 6. Угол между примой н плоскостью. Пусть уравнения прв. мой линии суть: х — и п — Ь г — о и> и Р а уравнение плоскости: Ах+Ву+Се+О=О. Углом ф между прямой и плоскостью Г>удем называть любой из лзух смежных углов, образовзнных прямой и ее проекцией на пло- скость. Найдем синус угла >р; при этом в дальнейшем мох>но считать,что й ~ — ', ,> Р> потому что синусы смежных углов равны.
л Угол †, †>р будет,как видно иа рис. ! 18, > углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Его косинус легко найдем по направля>ошим коэффициентам А, В,Сперпендикулярак плоскости и направляющим коэф- Рнс. !1З. фипиентал> т, л, р данной прямой; заиетин, что соз ( — '- — >р)=з!П>р, получим окончательно> ) Ат+ Вп+ Ср1 У А*+ В" +С" У >п'-г п>+ р' ' Числитель злесь взят по абсолютной величине, тек кок з!п>ГРЛО.
(12) й 7. Условия параллельноств и перпендикулярности прямой и плоскости. В случае параллельности прямой линии х — и Л вЂ” Ь >и п р н плоскости Ал+Ву+Ся+ г)=О угол между ними равен нулю, следовательно, Рйпф=О и формула (12) дает искомое условие Ат+ Вл+ Ср= О ( условие параллельности), (13) Замечание. Это условие получится сразу, если зал>етим, что векторы (А, В, С) н (лг, и, р) перпендикулярны, н, значит, их скалярное произведение равно нулю. Сопоставляя зги равенства, получим (11), П р н м г р. Составить уравнения прямой линни, проходящей через начало когрлянаг н точку (1, 1, !).
Эаесь к> —— ГВ =г,=о; х,=р,=г,=1. Слелозьтельно, пользуясь уравнениями (!1), йолучнь> искал>ые уравнения 232 пгяь1ля линия [гл. ч Условие перпендикулярности пряыой и плоскости совпадает с условием параллельности этой пряьюй и перпендикуляра к плоскости, т. е. будет: А В С вЂ” = — = — (услоеке перпендикулярности). (14) т п р 3 а д а ч а. Составить уравнение геометрического места всех прямых, прохооящих через точку (а, Ь, с) параллельно плоскости Ах+Ву+Сг+О=О. Уравнение любой пряьюй, проходящей через точку (а, Ь, с), будет: г=г,+М, где г, — ралиус-вектор данной точки, а а есть тот вектор, которому прямая параллельна. Так как искомая прямая должна быть перпеидику.чарна к вектору п (А, В, С), то должно иметь место па=О.
Умножая уравнение прямой па вектор п, получим: гп = г,п+ уап, или (г — г,) п =- О, так как па=О. Уравнение (г — г,)п = О определяет плоскость, проходящую через точку с радиусом-вектором г, перпендикулярно к вектору п. Переводя его в координатную форму, будем иметь: А(х — а)+ В(у — Ь)+ С(г — с) =О. Замечание. Эту же задачу можно решить, ие прибегая к векторному ызтоду. Уравнения любой пряыой, проходящей через точку (а, Ь, с), суть: г — а у — Ь г — с т л р Условие параллельности искомых прямых и данной плоскости выразится равенством Ат+ Вп+Ср=о. Заменяя в последнем условии т, л и р величинами г — а, у — Ь н г — с, им пропорциональными, получзем: А (х — а) + В (у — Ь) + С (г — с) = О.
ф 8. Уравнение пучка плоскостей. Пусть уравнения данной прямой суть: Ах+Ву+Се+0=0, А,х+Ву+ Се+О, =О. Составим уравнение первой степени: Ах+ Ву+ Сг+1Э+ Х(А,х+ В,у+ Се+1),) =О, (1б) которое при любом значении постоянного Х опрелеляст плоскость, пкнвсечвнив пеямой с плоскостью 233 Если точка лежит на дзшюй прю|ой линии, то ее координаты одновременно удовлетворяют обоим урзвнениям втой прямой и, следовательно, уравнению (15) при любом значении Х. Таким образом, уравнение (1о) определяет плоскости, проходящие через данную прямую.
Обратно, всякая такан плоскость определяется одной точкой М(х„у„г,], лежащей вне данной прямой линии; значение настоян|гого Х, соответствующее втой плоскости, найдется из условия Ах, + Ву, + Сг, + 77+ Х (А,х, + В у, + С г, + 7), ) = О, если только А,х,+В у,+С 2, +774: О. Таким образом, уравнение (15) при соо|ветствующем выборе Х определяет л|ооую плоскость, прохолящую через данную прямую, за исключением липп одной из дзпных плоскостей, именно плоскости А,х+В,у+С|я+г)г=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
