И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Назывзя пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, прохолящих через данную прямую, мы можем сказать, что уравнение (15) является уравнением лучка плоскостей, так как оно опрсдсл|ш| все плоскости пучка (кроме второй из данных плоскостей). П р н и е р. Составить уравнение плоскости, проходящей чсрез прямую х+у — г=О, х — у+г — 1=0 н точку (1, 1, — 1). Уравнение шобой плоскости, проходящей через данну|о прикую, имеет нчд: х+ у — г + Х (х — р+ г — 1) = О.
Условие прохождения этой плсскосги через точку (1, 1, — 1) дает: 3+1( — 2) =О, о|куда )г= —. 3 2 ' Подставляя это значение Х в уравнение п>чка плоскостей, получнэс 3 х+ е — 2 + — (х — о+ 2 — 1) = О, 2 илн Бх †у+а †. ф 9. Пересечение прямой с плоскостью. Пусть даны уравнения прямой линни: х — а й — Ь г — с (! 6) т и р и уравнение плоскости: Ах+ Ву+ Сг+В = О. (17) Координаты точки пересечения прямой ликии (16) с плоскостью (17) должны одновременно удовлетворять уравнениям (16) и (17), а потому для их определения нужно совместно решить зти уравнения, считая х, у, г за неизвестные.
234 (гл. я пгямля линия Приравнивая каждое из равных отношений уравнений (16) вспомогательному неизвестному 1, получаем четыре уравнения первой степени с четырьмя неизвестными х, у, Я и 1; — — — Ах+ Ву+Сг+ Р=О. т ' л ' р Из первых трех уравнений находим соответственно: х=а+т1, у=Ь+пГ, г=с+рг. (18) Подставляя эти значения х, у и г в четвертое уравнение, получаем: А(а+тГ)+ В(Ь+п1)+С(с+рГ)+Р=О нлн Аа+ ВЬ+ Се+ Р+1(Ат+ Вп +Ср) = О, откуда находим Аа+ ПЬ+ Сс+Гз (19) Ат+ па+ Ср * Внося найденное значение г в формулы (18), получим координаты искомой точки пересечения прямой линии (16) плоскостью (17).
Если Ат+Вп+ Ср~=О, то Ф, вычисленное по формуле (19), имеет определенное конечное значение; следовательно, в эзом случае прямая пересекает плоскость в одной точке. В случае Ат+ Вп+Ср= О, Аа+ВЬ+Сс+РфО прямая параллельна плоскости (в силу первого равенства), а точка (а, Ь, с), через которую прямая проходит, лежит вне плоскости, следовательно, прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью. Наконец, если Ат+ Вп+ Ср = О, Аа+ ВЬ+ Сс+ Р = О, то прямая параллельна данной плоскости (в силу первого рзвенства) и проходит через точку (а, Ь, с), лежащую в этой плоскости (в силу второго равенства); следовательно, прямая вся лежит в пло- скости. й 10. Условие, при котором две прнмые лежат в одной пло. скости.
Две прямые в пространстве, вообще говоря, не лежат в одной плоскости, Посмотрим, при кзком условии две прямые х — а, Я-Ь, а — с, х — а, у — Ь, г — г, — 1 т, л, р, та и, ра лежат в одной плоскости. $10) условия, при котогом двя пеямыв лвжзт в одной плоскости 235 Обозначим направляющий вектор первой из них через в„ а второй — через в,. Как видно из данных уравнений, первая прямая проходит через точку (и„ Ь„ с,), радиус-вектор которой мы обозначим через г,.
Вторая же прямая проходит через точку (а„ Ь„ с,). Радиус-вектор этой точки обозначим через г,. Проведем вектор из точки (а„ Ь„ с,) в точку (а„ Ь„ с,)„ Он выразится так: г, — г„ а проекциями его буд) т и,— п„Ьз — Ь, и с,— с,. Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если эти три вектора в„ з, и г, — г, компланариы. Следовательно, искозюе условие заключзетсн в равенстве нулю смешанного произведения этих трех векторов (тл. !1, ф 14), т, е, ((г, — г,) з,з,) = О.
Псрснисзв это условно в проекннях, получим: а — а Ь вЂ” Ь с — с з 1 г 1 ш, л, р, =О. т, и, р, П р и и е р 1, Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) и пересекающей две данные прямые: « р з « †! р — 2 « — 3 1 2,'! ' 2 1 4 Уравнения искомой прямой, проходящей через точку (1, 1, 1), суть: « — ! р — 1 з — ! т и р Условие нахождения этой прямой с первой пз данных прямых в одной плоскости имеет внд: ! 1 1 1 1 2 3 =О нли ш — 2и+Р=О.
/л и р Условие нахождения искомой прямой со второй из данных прямых в одной плоскости запишется в ниде: ! О 1 2 2 1 4 =О или 2т+4и — 2Р=О, ьт и Р что по сокращении на 2 даст: т+2и — Р= О. Остается определить отношение иыи:р из двух уравкеиий: т — 2и+Р=- =О и т+2и — Р=О. Разделив каждое из этих уравнений на р, находим шщзвестиые: т и 1 — = О, — = —, т. е. вы и: р = О:1:2. Р Р 2 [гл. ч пгяь(яп линия Г!охстапляя в уравнения исиочой прямой высота т, и, р, соответс(венин О, 1, 2, получит( окончагелы(ые уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, 1) н люкащей в одной плоскости с первой нряьюй н в одной плоское(и со второй прямой: х — 1 и — 1 г — 1 2 Легка проверить, что эта прямая действительно пересекагтгя с ка(явой нз двух заданных прямых '). !! р и мер 2.
С(ставить уравнения грямой, проходящей ( г(ез точку (1, 1, Ц, Х и 2 пересекюощей прячу(о — = — =-, н перпендикулярной х прю;ои 1 2 3 х — 1 у — 2 г — 3 2 ! 4 Уравнен (я искомой прямой будут: х — 1 у — 1 г 1 л( (( р где отношение т:л:р определяс(ся из условий: т — 2л+р=О, 2т+л+4р=О, нз которых первое есть условие пахан(де)(ия искомой прямой в а(ной плоскости с первой из данных прямых (см. пример 1), а второе выражает перпендикуляр- ность искомой прямой со второй из данных прямых.
Из этих условий находим: т:л: р = 9:2:( — 5). Уравнения искомой прямой будут: х — 1 у — 1 г — 1 9 2 — 5 Упражнения Прямая 1. Указать особенности в расположении следующих прямых: /Ах+Ву+Сг+Р=О, /Ву +Сг +Р =О, /Ах +Сг =О, /ау+ 2Х=О, )А,х+С,г=О; )5х — 1 =0; ж /2Х+Зу — 72 — 5=0 ) 14х+Зу — 7г — 5=0. 2э, При каком значении свободного члена Р прямая Зк — у+2г — 6=0, х+4у — г+Р=О пересекает ось Ог? ') Вообще говоря, при других числовых данных могло би случиться, что прчмэя, найденная укаэанным образол(, параллельна однои илн даже обеим иэ заданпык прямых. В этом случае мы заилючилн бы, что ие с)ществует прямой, цроходнщей через данную точку и пересекающейся с обеими прныыт(н, 23? у и Р А и н щ! и я 12.
Привести уравнения прямых а )х=Зг — 5, бг 1х=2г — 5, (д=2г — 8; ' )(д=бг+7," 1д=4, '1 г = Зх+ 12 к каноническому виду. 13. Найти углы ьгежду прямыми; 3 ! д=рх — 7, /д= 2 х+8, ' '( г=2х+ 5; 1 1 г=Зх; ~у=6, * '( г= — х+6. В 14. Онрсделиг направляющие косинусы прямой х+2д — г — 2=0, х+д — Зг — 7=0. Нй Найти направляющие косинусы прямой х+д — г=О, х — д+2=0. 16. Найти угол межд)" прямыми ~+- 2х — 2д — г-'-8=0, 14х+ д+Зг — 21=-0, х+ 2д — 2г 4. 1 = 0; ( 2х+ 2д — Зг+ 15 = О. 3*.
При каках значениях коэффициентов В и Р прямая х — 2д+ г — 9= О, Зх+ Вд+ г+ Р = 0 лежит в плоскости хОд? 4». Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях вряыой Лх+Вд+Сг+Р=О, Ах+В д+Сг+Р,=О, для того чтобы прямая: а) проходила через начало координат, б) была парал- лельна оси Ох; в) пересекала ось Од; г) совпадала с осью Огр 5. Определить, лежат ли точки А(5, — 2, — 3) и В(8, 3, 1) иа прямой 5х — Зд — 31 = О, Зх+ 4д+ 7г+ 14 = О.
6. Проверить, что, исключив из двух уравнений предыдущей задачи: а) ко- ординату д, б) координату х, получим в обоих слу щах уравнение плоскости, проходящей через точку А н ис проходящей через точку В. уэ. Дана прямая 2х — Зд+ 4г — 12=0, х+ 4д — 2г — 10 =0. Найти уравнения плгюкосгей, просктируюших эту прямую на координатные плоскости. В. Дана прямая Зх+ 2д — 4г — 5 = 0 бх — д — 2г + 4 = О. Найти уравнения проекций этой прямой иа координатные плоскости. Оэ.
Найти проекцию прямой х+д †г †, х †у+а+1 на плоскость х+ д+ г = О. 10. Найти проекцию прямой 2х+Зд+4г+5=0, х — бд+Зг — 7=0 нэ плоскость 2х+2д+г — 15=-0. И. Определвть направляющие косинусы прямых: х — 2 д — 3 г — 1 х д — 3 г — 8 4 — 12 ' — — 2 4 — 12 3 ' 2 — 1 — 2 238 (гл. ч птячзя линия 17. Через точку (2, — 3, — В)провести прямую, параллельную: а) оси Ог) х — 2 у - 4 г +3 б) прямой — , 3 — 2 5 18. Составить уравнения прямой, проходящей через точки (3, — 2, — 1) и (5, 4, 5). 19.
Найти уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку (а, Ь, с). 20. 1!роверить, лезкат ли прямые ) х=7г — 17, ( х=4г — !1, я = Зг — 1; ( у = — 1Ог + 25; 4х+у+Зг=О, ( Зх — 28+г+5=0, 2х+Зу+2г — 9=0; ) х — Зу — 2г — З=О; в] х+2у — г — 2=0, ! 2х — к+Зг — 4=0, х+Зг+г — 1=0; ст Зх+у — г — 3=0 в одчой плоскости.
21. Найти уравнения прямой, проходящей через точку ( — 3, 5, — 9) и пересекающей пря»ыс: ! у=Зх+5, / д=4х — 7, '! г=2х — 3; ) г=бх+10. 22. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 2, 3), перс секающей ось Ог и перпенднкулнрнои к прямой х =у= г. 23. Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми -- (= х=Зг — 1, ( у=2х — 5, у = 2г — 3; ( г = 7х+ 2 а перпендикулярной к ним обеим. 24. Провести через точку (7, 3, 5) прямую, направляющие косинусы ко- 1 2 2 торой суть —, —, —,. Найти уравнения прямой, пересекающей первуюпря- 3' 3' 3' мую, проходящей через точку (2, — 3.
— 1) и образукяцей с осью Ох угол в 60'. 25. Найти уравнсния прямой, проходящей через точку (а, Ь, с) и пересе- кающей прямые х — о, р — Ь, г — с, х — а, Π— Ь, г — с, ай и, р~ /из лз и. 26. Найти уравнения прямой, преходив!сй через точку (а, Ь, с), пересека. ющей ось Ог и перпендикулярной к прямой х к г Рз 27, Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми хе юг+а, ) х=т,а+ам у=пг+Ь; ) у=в г+Ь, н перпендикулярной к ним обеим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
